双曲空間における均一なハニカム

双曲幾何学では、双曲空間内の一様ハニカムは一様多面体セルの一様モザイクである。3次元双曲空間には、コンパクトな凸一様ハニカムのコクセター群族が9つあり、これらはウィトフ構成として生成され、各族のコクセター図の環の順列によって表される。

ハニカムは、コクセター群によって定義されるコンパクト形式とパラコンパクト形式に分けられ、前者のカテゴリには有限セルと頂点図形 (有限部分群) のみが含まれ、後者にはアフィン部分群が含まれます。

ここでは、 9つのコンパクトコクセター群を、そのコクセター図^{[1]とともに、}基本単体領域 の相対体積の順に列挙する。^[2]

これら 9 つのファミリーは、合計 76 個の一意の均一ハニカムを生成します。双曲均一ハニカムの完全なリストは証明されておらず、非ウィソフ形式が不明な数だけ存在します。2 つの既知の例を、以下の {3,5,3} ファミリーとともに示します。ミラー除去半減として関連するファミリーは 2 つだけです: [5,3 ^1,1 ] ↔ [5,​​3,4,1 ⁺ ]。

偶数次の枝で区切られた2つ以上のミラーのセットを削除することで生成できる、非単体的領域を持つラジカル部分群は2つだけあります。1つは[(4,3,4,3 ^* )]で、コクセター図で表されます。三方台形 基本領域を持つ指数 6 の部分群↔1つのミラーを復元することで拡張できます。もう1つは[4,(3,5) ^* ]、インデックス120、正十二面体基本領域です。

また、無限遠の理想的な頂点を含む、無限または境界のない面または頂点図を持つパラコンパクト一様ハニカムを生成する、ランク 4 のパラコンパクト コクセター群も 23 個あります。

その他のパラコンパクト コクセター群は、ヴィンバーグ多面体基本領域として存在し、これには、平行ミラーを含むランク 5 グラフとしてのこれらの三角双錐 基本領域(二重四面体) が含まれます。均一ハニカムは、これらのグラフのリングのすべての順列として存在しますが、少なくとも 1 つのノードが無限次数ブランチにわたってリング化される必要があるという制約があります。

コクセター群の環置換によって生成される9つの形式がある: [3,5,3]または

関連する非ウィソフ形式の一つは、{3,5,3}頂点図形から4つの（四面体に配置された）頂点を削除して五角形の反対称角柱と隙間を埋める十二面体を作成し、四面体縮小十二面体と呼ばれる。^[3]もう1つは、反対称頂点を2つ削除して構築される。^[4]

ビットランケーテッド形式とランシネーテッド形式（5と6）には、2つの正多面体の面（{4,10|3}と{10,4|3}）が含まれています。

コクセター群の環置換によって生成される15の形式がある: [5,3,4]または。

この族は、半対称性[5,3,4,1 ⁺ ]によって群[5,3 ^1,1 ]と関連している。↔、4次の分岐後の最後のミラーが非アクティブな場合、または3番目のミラーが非アクティブな場合は交互に↔。

コクセター群の環置換によって生成される9つの形式がある: [5,3,5]または

ビットランケーテッド形式とランシネーテッド形式（29と30）には、2つの正多面体の面{4,6|5}と{6,4|5}が含まれています。

11の形式があり（[5,3,4]族と共有されないのは4つだけ）、コクセター群の環置換によって生成される：[5,3 ^1,1 ]または分岐環の状態が一致する場合、拡張対称性は[5,3,4]族に倍増する可能性がある。↔。

コクセター群の環置換によって生成される 9 つの形式があります。

ビットランケーテッド形式とランシネーテッド形式（41と42）には、2つの正多面体{8,6|3}と{6,8|3} の面が含まれています。

コクセター群の環置換によって生成される 9 つの形式があります。

ビットランケーテッド形式とランシネーテッド形式（50と51）には、2つの正多面体{10,6|3}と{6,10|3} の面が含まれています。

コクセター群の環置換によって生成される形式は 6 つあります。リングの対称性に基づいて、4 つの拡張対称性が考えられます。、、、 そして。

この対称性族は指数6の根基部分群とも関連している。↔は[(4,3,4,3 ^* )]によって構築され、三角台形 基本領域を表します。

切頂形状（57と58）には、2つの正多面体（{6,6|4}と{8,8|3}） の面が含まれています。

コクセター群の環置換によって生成される 9 つの形式があります。

切頂形状（65と66）には、2つの正多面体（{10,6|3}と{6,10|3}） の面が含まれています。

コクセター群の環置換によって生成される形式は 6 つあります。リングの対称性に基づいて、4 つの拡張対称性が考えられます。、、、 そして。

切頂形状（72と73）には、2つの正多面体（{6,6|5}と{10,10|3}） の面が含まれています。

ウィソフ型でない均一コンパクト双曲型ハニカムは無数に知られており、未発見のものもたくさんあるかもしれない。2つはイコサヘドロン型ハニカムの減少として上記に挙げられている{3,5,3}。^[6]

1997年、ウェンディ・クリーガーは、任意の整数pに対して、8個の立方体と頂点に12個のp角柱からなる擬似二十面体の頂点図形を持つ均一な双曲型ハニカムの無限列を発見した。p = 4の場合、すべてのセルは立方体であり、結果は5次の立方体ハニカムである。p = 2の場合は、ユークリッド立方体ハニカムに退化する。 [ ^6]

他に知られている4つのものは非コンパクト族に関連している。切り取られた立方体で構成されている 無限の8次三角形タイル しかし、後者は無限遠で球面と直交し、双曲空間とまったく同じ曲率を持ち、残りのモザイクの鏡像で置き換えることができ、切り取られた立方体のみで構成されるコンパクトな均一なハニカムになります。（したがって、それらは球状半多面体の半面に類似しています。）^{[6] [7]}モザイクでも同様のことができます。小さな菱形八面体からなる 、無限次8三角形タイル 、および無限の8次正方形タイリング 8次の正方形のタイルは既に無限遠の球面と直交しており、8次の三角形のタイルに三角柱のセットを追加すると、その中心点を通る面も無限遠の球面と直交する。鏡像に置き換えると、小さな菱形八面体と三角柱を含むコンパクトなハニカムが得られる。^[8] 2023年にはさらに2つのそのような構造が発見された。最初のものは、そして同じ円周半径を持ち、前者は切頂八面体である。 6次の正方形のタイル 後者は立方八面体である 6次の正方形のタイルコンパクトな均一なハニカムは、共通する6次の正方形のタイルを捨て、切頂八面体と立方八面体のみを使用することで得られます。2つ目は、同様の構成から生じ、（小さな菱形十二面体を持つ 、八面体 、および4次五角形タイル ） そして（これは、五角柱を持つ4次五角形タイルの柱である。 および4次五角形タイルこれら2つは同様に同じ円周半径を持ち、共通する4次五角形のタイリングを捨てて、両方の有限セルのみを使用することで、コンパクトな均一なハニカムが得られます。^[9]

2021年には、別の非ウィソフィアンが発見された。これは、頂点図形として8つの頂点が削除されたスナブキューブを持ち、各頂点に2つの八面体と8つのスナブキューブが含まれている。^[6]その後、クリーガーは、頂点図形としてスナブキューブを持ち、各頂点に32の四面体と6つの八面体を含む非ウィソフィアンを発見し、このハニカムの切り詰められたバージョンと修正されたバージョンは依然として均一であることを確認した。2022年、リチャード・クリツィングは、この構成を一般化し、任意のスナブキューブを使用できるようにした。頂点図形として：結果はp=4または5の場合にはコンパクト（それぞれスナブ立方体またはスナブ十二面体の頂点図形）、p=6の場合には準コンパクト（スナブ三角錐の頂点図形）、p>6の場合には超コンパクトとなる。繰り返しになるが、これらのハニカムの切断版および平行移動版は依然として均一である。^[6]

平行六面体ドメインに基づく他の形式も存在します。2つの既知の形式は、歪んだ小さな菱立方八面体の頂点図形を持つ立方八面体ハニカムを一般化したものです。1つの形式には小さな菱立方八面体、立方八面体、立方体があり、もう1つには小さな菱二十十二面体、二十二十十二面体、立方体があります。（四面体対称多面体を持つバージョンは、立方八面体、八面体、立方体を使用する立方八面体ハニカムです。）^[9]

これは 76 個の Wythoffian 均一ハニカムの完全な列挙です。完全性のために交互配列がリストされていますが、ほとんどは均一ではありません。

ウィキメディア・コモンズには、双曲 3 次元空間の均一タイリングに関連するメディアがあります。

• 双曲面上の均一なタイリング
• 正多面体の一覧#双曲 3 次元空間のタイル分割
• 超小型均一ハニカム

• J. ハンフリーズ(1990)、「反射群とコクセター群」、ケンブリッジ高等数学研究、29
• HSM Coxeter (1954)、「双曲空間における正則ハニカム」国際数学者会議議事録、第 3 巻、ノースホランド、pp. 155–169。Coxeter (1999)、幾何学の美: 12 のエッセイ、ドーバー、ISBN 0-486-40919-8の第 10 章として再版。 
• HSM Coxeter (1973)、「Regular Polytopes」、第3版、Dover Publications、1973年。ISBN 0-486-61480-8。(表IおよびII: Regular polytopesとhoneycombs、pp. 294–296) 
• J. ウィークス 『空間の形』第 2 版、ISBN 0-8247-0709-5、第 16 章から第 17 章: 3 次元多様体上の幾何学 I、II 
• A. Felikson (2002)、「双曲四面体のコクセター分解」(プレプリント) arXiv :math/0212010
• CWL Garner,双曲型3次元空間における正則歪曲多面体。J. Math. 19, 1179–1186, 1967. PDF [3] 2015-04-02にWayback Machineでアーカイブ
• NWジョンソン（2018）『幾何学と変換』第11章～第13章
• NW Johnson、R. Kellerhals、JG Ratcliffe、ST Tschantz (1999)、双曲型コクセター単体の大きさ、Transformation Groups、第4巻、第4号、pp 329–353 [4]
• NWジョンソン、R.ケラーハルス、JGラットクリフ、STチャンツ、双曲型コクセター群の通約性類H ³：p130。[5]
• Klitzing、リチャード。「双曲型ハニカム H3 コンパクト」。