8 次三角形タイル

幾何学において、8次三角形のタイリングは、双曲平面の正則なタイリングです。これは、各頂点の周りに8つの正三角形を持つ、シュレーフリ記号{3,8}で表されます。

半対称性[1 ⁺ ,8,3] = [(4,3,3)]は、2色の三角形を交互に配置することで表すことができます。

[(4,4,4)] 対称性からは、ミラー削除演算子と交代演算子によって 15 個の小さなインデックス サブグループ (7 個は一意) が存在します。ミラーは、その分岐順序がすべて偶数で、隣接する分岐順序を半分にカットする場合に削除できます。2 つのミラーを削除すると、削除されたミラーが出会った半次回転点が残ります。これらの画像では、基本領域が交互に白と黒に着色され、色の境界にミラーが存在します。各基本領域に 3 つの二分ミラーを追加すると、832 対称性が作成されます。サブグループ インデックス-8 グループ、[(1 ⁺ ,4,1 ⁺ ,4,1 ⁺ ,4)] (222222) は、[(4,4,4)] の 交換子サブグループです。

より大きなサブグループ [(4,4,4 ^* )] が構築され、インデックス 8 では、(2*2222) から回転点が削除されて (*22222222) になります。

基本ドメインに二分ミラーを追加することで、対称性を842 対称性に倍増できます。ドメインごとに 3 つの二分ミラーを追加することで、対称性を 6 倍に拡張して832 対称性にすることができます。

ウィトフ構成からは、正八角形と 8 次三角形のタイリングに基づく 10 個の双曲均一タイリングが存在します。

タイルを、元の面には赤、元の頂点には黄色、元の辺には青で描くと、10 通りの形になります。

これは(4 3 3)双曲タイリングから生成することもできます。

ウィキメディア・コモンズには、オーダー 8 の三角形タイリングに関連するメディアがあります。

• 8面体ハニカム
• 正多角形のタイル張り
• 均一平面タイリングのリスト
• 正多面体の一覧

• Weisstein、Eric W.「双曲型タイル張り」。MathWorld。
• Weisstein, Eric W.「ポアンカレ双曲面ディスク」。MathWorld。
• 双曲面と球面のタイルギャラリー
• KaleidoTile 3: 球面、平面、双曲面のタイルを作成する教育用ソフトウェア
• 双曲平面モザイク、ドン・ハッチ