6 次正方形タイル

幾何学において、6次の正方形タイリングは双曲平面の規則的なタイリングである。これはシュレーフリ記号{4,6} で表される。

このタイリングは、正方形の辺として交わる 4 つのミラーの双曲万華鏡を表し、各頂点の周りには 6 つの正方形があります。オービフォールド表記によるこの対称性は、4 つのオーダー 3 のミラー交差を持つ (*3333) と呼ばれます。コクセター表記では、[6,4 ^* ]と表すことができ、 [6,4] 対称性の 3 つのミラーのうち 2 つ (正方形の中心を通る) を削除します。*3333 対称性は、基本領域を二分するミラーを追加することで663 対称性に倍増できます。

この 2 色の正方形のタイルは、この対称性の偶数/奇数の反射基本正方形領域を示しています。この 2 色のタイルは、wythoff 構成t ₁ {(4,4,3)} を持ちます。2 番目の 6 色対称性は、六角形の対称領域から構築できます。

1956年頃、MCエッシャーは2次元平面上で無限大を表現するという概念を探求しました。カナダの数学者HSMコクセターとの議論がきっかけで、エッシャーは双曲平面を規則的に並べた双曲タイル張りに興味を持つようになりました。エッシャーの木版画「Circle Limit I～IV」はこの概念を実証しています。最後の作品「Circle Limit IV (Heaven and Hell)」 (1960年)は、ポアンカレ円板投影の双曲平面上で対称性によって天使と悪魔を繰り返しタイル張りしています。

下のアートワークには、6 次正方形タイルの正方形対称領域を示すために、近似双曲面ミラー オーバーレイが追加されています。よく見ると、各正方形の周囲にある 4 人の天使と悪魔のうち 1 人が裏面として描かれていることがわかります。このバリエーションがなければ、アートワークは各正方形の中心に4 倍の回転点を持ち、(4*3)、[6,4 ⁺ ] 対称性になります。^[1]

^{このタイリングは、正多面体の列と頂点図形(4 n} )を持つタイリングの一部として位相的に関連しています。

このタイリングは、シュレーフリ記号{n,6}とコクセター図を持つ6次の頂点を持つ正則タイリングのシーケンスの一部として位相的に関連している。 無限に進んでいきます。

ウィキメディア・コモンズには、オーダー6の正方形タイリングに関連するメディアがあります。

• 正方形のタイル
• 双曲面上の均一なタイリング
• 正多面体の一覧

• John H. Conway、Heidi Burgiel、Chaim Goodman-Strauss、The Symmetries of Things 2008、ISBN  978-1-56881-220-5 (第 19 章、双曲アルキメデスのモザイク分割)
• 「第 10 章: 双曲空間における正則ハニカム」。幾何学の美: 12 のエッセイ。ドーバー出版。1999 年。ISBN 0-486-40919-8LCCN  99035678 。

• Weisstein、Eric W.「双曲型タイル張り」。MathWorld。
• Weisstein, Eric W.「ポアンカレ双曲面ディスク」。MathWorld。
• 双曲面と球面のタイルギャラリー
• KaleidoTile 3: 球面、平面、双曲面のタイルを作成する教育用ソフトウェア
• 双曲平面モザイク、ドン・ハッチ
• GenusView 0.4 プレビュー {4,6} 双曲タイリングとそれに一致する 3D トーラス サーフェスのビュー。