放物面

幾何学において、放物面は対称軸を1 つだけ持ち、対称中心を持たない2 次曲面です。「放物面」という用語は、同様の対称性を持つ 円錐曲線を指す放物線に由来しています。

対称軸に平行な平面によって作られる放物面の各平面断面は放物線です。他のすべての平面断面が双曲線、または交差する 2 本の線 (接平面による断面の場合) である場合、放物面は双曲面です。他のすべての空でない平面断面が楕円、または 1 つの点 (接平面による断面の場合)である場合、放物面は楕円面です。放物面は楕円面または双曲面のいずれかです。

同様に、放物面は、円筒ではない二次曲面として定義され、 2 次部分が複素数で 2 つの異なる線形因子に因数分解できる暗黙の方程式を持ちます。因子が実数の場合、放物面は双曲面であり、因子が複素共役の場合、放物面は楕円面です。

楕円放物面は楕円カップのような形をしており、軸が垂直のときに最大点または最小点を持ちます。 x、y、z の3軸を持つ適切な座標系では、方程式^[1]で表すことができます。 ここで、aとb はそれぞれxz平面とyz平面の曲率レベルを示す定数です。この位置では、楕円放物面は上向きに開いています。 $${\displaystyle z={\frac {x^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y^{2}}{b^{2}}}.}$$

双曲放物面（双曲面と混同しないでください）は、鞍のような形をした二重線条面です。適切な座標系では、双曲放物面は次の式で表すことができます。^{[2] [3]} この位置では、双曲放物面はx軸に沿って下向きに開き、 y軸に沿って上向きに開きます（つまり、x = 0平面の放物面は上向きに開き、 y = 0平面の放物面は下向きに開きます）。 $${\displaystyle z={\frac {y^{2}}{b^{2}}}-{\frac {x^{2}}{a^{2}}}.}$$

任意の放物面（楕円または双曲面）は、2 番目の放物面によって方向付けられた移動放物線によって生成できるため、 変換面です。

適切な直交座標系では、楕円放物面は次の式で表される。 $${\displaystyle z={\frac {x^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y^{2}}{b^{2}}}.}$$

a = bの場合、楕円放物面は円放物面または回転放物面です。これは、放物線をその軸を中心に回転させることによって得られる回転面です。

円形放物面には円が含まれています。これは一般的な場合にも当てはまります ( 「円形」セクションを参照)。

射影幾何学の観点から見ると、楕円放物面は無限遠平面に接する楕円体です。

平面断面

楕円放物面の平面断面は次のようになります。

• 放物線は、平面が軸に平行であれば、
• 平面が接平面である場合、点。
• それ以外の場合は楕円または空。

円形放物面の軸上には焦点（または焦点）と呼ばれる点があり、放物面が鏡である場合、焦点にある点光源からの光（またはその他の波）は、放物面の軸に平行な平行光線に反射されます。これは逆の場合も同様で、放物面の軸に平行な平行光線は焦点に集中します。証明については、「放物面 § 反射特性の証明」を参照してください。

そのため、円形放物面の形状は、天文学において放物面反射鏡やパラボラアンテナに広く使用されています。

回転する液体の表面も円形の放物面です。これは液体鏡望遠鏡や固体望遠鏡の鏡の製造に使用されます (回転炉を参照)。

• 
  円形放物面鏡に入ってきた平行光線は焦点Fに反射されるか、その逆になる。
• 
  パラボラ反射鏡
• 
  グラスの中の回転する水

双曲放物面は二重線条面です。つまり、相互に斜めの線が 2 組含まれています。各組の線は共通平面に対して平行ですが、互いに平行ではありません。したがって、双曲放物面は円錐面です。

これらの特性は双曲放物面の特徴であり、双曲放物面の最も古い定義の 1 つで使用されています。双曲放物面は、固定された平面に平行で 2 つの固定された斜線と交差する移動線によって生成される表面です。

この特性により、コンクリート屋根からスナック食品まで、さまざまな材料からさまざまな目的で双曲放物面を簡単に製造できます。特に、プリングルズの揚げスナックは、切断された双曲放物面に似ています。^[4]

双曲放物面は、ガウス曲率がどの点でも負であるため、鞍面です。したがって、線織面ではありますが、展開可能ではありません。

射影幾何学の観点から見ると、双曲放物面は無限遠平面に接する一枚の双曲面です。

またはの方程式の双曲放物面(これは軸の回転まで同じ)は、直角双曲面との類推により、直角双曲放物面と呼ばれることがあります。 ${\displaystyle z=axy}$${\displaystyle z={\tfrac {a}{2}}(x^{2}-y^{2})}$

平面断面

双曲放物面の平面断面の方程式 は $${\displaystyle z={\frac {x^{2}}{a^{2}}}-{\frac {y^{2}}{b^{2}}}}$$

• 平面がz軸に平行で、方程式が次の形式である場合、直線となる。${\displaystyle bx\pm ay+b=0}$
• 平面がz軸に平行で断面が直線でない場合は放物線となる。
• 平面が接平面である場合、交差する直線のペア、
• そうでなければ双曲線。

鞍型屋根は、直線状の材料から簡単に作れるため、双曲放物面になることが多いです。例をいくつか挙げます。

• フィリップス パビリオンエキスポ '58、ブリュッセル (1958)
• IIT デリー- ドグラ ホールの屋根
• 東京カテドラル聖マリア大聖堂（1964年）
• セント・リチャード教会、ハム、ロンドン、イギリス (1966)
• アメリカ合衆国カリフォルニア州サンフランシスコの聖マリア被昇天大聖堂(1971)
• カナダ、アルバータ州カルガリーのサドルドーム（1983年）
• スウェーデン、ヨーテボリのスカンジナビアム(1971)
• ロセアノグラフィック、スペイン、バレンシア (2003)
• ロンドン ヴェロパーク、イギリス (2011)
• ウォーターワールド レジャー & アクティビティ センター、レクサム、ウェールズ (1970)
• マークハム ムーア サービス ステーションの屋上、A1 (南行き)、ノッティンガムシャー、イングランド
• カフェ「コメタ」、ロシア、モスクワのソコル地区（1960年）。建築家 V.ヴォロディン、エンジニア N.ドロズドフ。取り壊されました。

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  ワルシャワ・オホタ駅、双曲放物面構造の例
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  双曲放物面を示す表面
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  Restaurante Los Maniales、ソチミルコ、メキシコ
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  スペイン、バレンシアのL'Oceanogràficにある双曲放物面の薄いシェル屋根(2019 年撮影)
• 
  ノッティンガムシャーのマーカム・ムーア・サービスステーションの屋根（2009年撮影）

楕円放物面の 束 と双曲放物面の束は 、放物面円筒である 同じ表面 に近づきます(図を参照)。 $${\displaystyle z=x^{2}+{\frac {y^{2}}{b^{2}}},\ b>0,}$$$${\displaystyle z=x^{2}-{\frac {y^{2}}{b^{2}}},\ b>0,}$$$${\displaystyle z=x^{2}}$$${\displaystyle b\rightarrow \infty }$

楕円放物面は、単純に次のようにパラメータ化され、 ガウス曲率 と平均曲率 は両方とも常に正であり、原点で最大値を持ち、表面上の点が原点から離れるにつれて小さくなり、その点が原点から無限に離れるにつれて漸近的にゼロに近づきます。 $${\displaystyle {\vec {\sigma }}(u,v)=\left(u,v,{\frac {u^{2}}{a^{2}}}+{\frac {v^{2}}{b^{2}}}\right)}$$ $${\displaystyle K(u,v)={\frac {4}{a^{2}b^{2}\left(1+{\frac {4u^{2}}{a^{4}}}+{\frac {4v^{2}}{b^{4}}}\right)^{2}}}}$$ $${\displaystyle H(u,v)={\frac {a^{2}+b^{2}+{\frac {4u^{2}}{a^{2}}}+{\frac {4v^{2}}{b^{2}}}}{a^{2}b^{2}{\sqrt {\left(1+{\frac {4u^{2}}{a^{4}}}+{\frac {4v^{2}}{b^{4}}}\right)^{3}}}}}}$$

双曲放物面^[2]は、 ガウス曲率 と平均曲率 を持つようにパラメータ化されると 、$${\displaystyle {\vec {\sigma }}(u,v)=\left(u,v,{\frac {u^{2}}{a^{2}}}-{\frac {v^{2}}{b^{2}}}\right)}$$$${\displaystyle K(u,v)={\frac {-4}{a^{2}b^{2}\left(1+{\frac {4u^{2}}{a^{4}}}+{\frac {4v^{2}}{b^{4}}}\right)^{2}}}}$$$${\displaystyle H(u,v)={\frac {-a^{2}+b^{2}-{\frac {4u^{2}}{a^{2}}}+{\frac {4v^{2}}{b^{2}}}}{a^{2}b^{2}{\sqrt {\left(1+{\frac {4u^{2}}{a^{4}}}+{\frac {4v^{2}}{b^{4}}}\right)^{3}}}}}.}$$

双曲放物面を 角度 ⁠ だけ回転させると、$${\displaystyle z={\frac {x^{2}}{a^{2}}}-{\frac {y^{2}}{b^{2}}}}$$π/4⁠ + z方向に（右手の法則に従って）回転すると、結果は表面となり 、 a = bであれば、これは次のように簡略化されます。 最後に、 a = √ 2とすると、双曲放物面 は、掛け算表の幾何学的表現（いわば 3 次元ノモグラフ）として考えることができる 表面と合同であることがわかります 。 $${\displaystyle z=\left({\frac {x^{2}+y^{2}}{2}}\right)\left({\frac {1}{a^{2}}}-{\frac {1}{b^{2}}}\right)+xy\left({\frac {1}{a^{2}}}+{\frac {1}{b^{2}}}\right)}$$$${\displaystyle z={\frac {2xy}{a^{2}}}.}$$$${\displaystyle z={\frac {x^{2}-y^{2}}{2}}.}$$$${\displaystyle z=xy}$$

2つの放物面R ² → R関数 と は 調和共役 であり、一緒に解析関数を形成します。 これはR → R放物面関数の解析接続です。 f ( x ) = ⁠$${\displaystyle z_{1}(x,y)={\frac {x^{2}-y^{2}}{2}}}$$$${\displaystyle z_{2}(x,y)=xy}$$ $${\displaystyle f(z)={\frac {z^{2}}{2}}=f(x+yi)=z_{1}(x,y)+iz_{2}(x,y)}$$× ²/2⁠ .

対称放物面皿の寸法は、次の式で表されます。 ここで、Fは焦点距離、Dは皿の深さ (頂点から縁の平面までの対称軸に沿って測定)、Rは縁の半径です。これらはすべて同じ長さの単位である必要があります。これら 3 つの長さのうち 2 つがわかっている場合は、この式を使用して 3 つ目の長さを計算できます。 $${\displaystyle 4FD=R^{2},}$$

皿の表面に沿って測定された皿の直径を求めるには、より複雑な計算が必要です。これは「線径」と呼ばれることもあり、皿を作るために切断して曲げるのに適したサイズの平らな円形の材料（通常は金属）のシートの直径に相当します。計算には、2 つの中間結果が役立ちます: P = 2 F (または同等のもの: P = ⁠2^位/2次元⁠）であり、 Q = √ P ² + R ^{2 で}あり、ここでF、 D、およびR は上記のように定義されます。表面に沿って測定された皿の直径は、次のように定義されます。 ここで、 ln x はxの自然対数、つまりe を底とする対数を意味します。 $${\displaystyle {\frac {RQ}{P}}+P\ln \left({\frac {R+Q}{P}}\right),}$$

皿の容積、つまり縁が水平で頂点が底にある場合に皿が保持できる液体の量（例えば、放物面状の中華鍋の容量）は、記号が上記のように定義されている場合、次のように表されます 。これは、円柱（π R ² D）、半球（⁠） の容積の公式と比較できます。$${\displaystyle {\frac {\pi }{2}}R^{2}D,}$$2π/3⁠ R ² D（ただしD = R）と円錐（ ⁠π/3⁠ R ² D）。π R ²は皿の開口面積、つまり縁に囲まれた面積で、反射皿が遮ることができる太陽光の量に比例します。放物面皿の表面積は、回転面の面積公式を使用して求めることができます。 $${\displaystyle A={\frac {\pi R\left({\sqrt {(R^{2}+4D^{2})^{3}}}-R^{3}\right)}{6D^{2}}}.}$$

• 楕円体 – 変形した球のように見える二次曲面
• 双曲面 – 無限大の二次曲面
• パラボラスピーカー – コヒーレントな平面波を生成するパラボラ型スピーカー
• パラボラ反射鏡 – 放物面の形状を持つ反射鏡

• ウィキメディア・コモンズの放物面に関連するメディア