翻訳によって生成されたサーフェス
翻訳面: 定義 微分幾何学 において、 並進面は 並進 によって生成される 面 です 。
共通点を持つ2 つの 空間曲線 の場合 、曲線は点 が 上を移動する ようにシフトされます 。この手順により、曲線は 表面、つまり 並進面 を生成します。
c
1
、
c
2
{\displaystyle c_{1},c_{2}}
ポ
{\displaystyle P}
c
1
{\displaystyle c_{1}}
ポ
{\displaystyle P}
c
2
{\displaystyle c_{2}}
c
1
{\displaystyle c_{1}}
両方の曲線が共通の平面に含まれている場合、変換面は平面（平面の一部）になります。このケースは通常無視されます。
楕円、放物面、放物線、円柱、双曲面。平行移動面としての放物面 変換面: 生成曲線は正弦弧と放物線弧です 水平円をらせんに沿って移動する 簡単な 例 :
直円筒 : 円 (または別の断面) であり、 直線です。
c
1
{\displaystyle c_{1}}
c
2
{\displaystyle c_{2}}
楕円 放 物面は および によって生成できます (両方の曲線は 放物線 です)。
ず =
x
2
+
ええ
2
{\displaystyle \;z=x^{2}+y^{2}\;}
c
1
:
(
x
,
0
,
x
2
)
{\displaystyle \ c_{1}:\;(x,0,x^{2})\ }
c
2
:
(
0
,
y
,
y
2
)
{\displaystyle \ c_{2}:\;(0,y,y^{2})\ }
双曲 放物面は 、 （放物線）と（下向きに開いた放物線） によって生成できます 。
z
=
x
2
−
y
2
{\displaystyle z=x^{2}-y^{2}}
c
1
:
(
x
,
0
,
x
2
)
{\displaystyle c_{1}:(x,0,x^{2})}
c
2
:
(
0
,
y
,
−
y
2
)
{\displaystyle c_{2}:(0,y,-y^{2})}
平行移動面は簡単にモデル化できるため、 記述幾何学 [1] [2] や建築 [3] でよく使用されます。 微分幾何学
では、極小曲面は平行移動面または 中弦曲面 （下記参照） として表されます。 [4]
ここで定義されている変換面は、複雑なジオメトリ 内の 変換面 と混同しないでください 。
パラメトリック表現 2つの空間曲線 と 平行移動面は 次 のように表される: [5]
c
1
:
x
→
=
γ
1
(
u
)
{\displaystyle \ c_{1}:\;{\vec {x}}=\gamma _{1}(u)\ }
c
2
:
x
→
=
γ
2
(
v
)
{\displaystyle \ c_{2}:\;{\vec {x}}=\gamma _{2}(v)\ }
γ
1
(
0
)
=
γ
2
(
0
)
=
0
→
{\displaystyle \gamma _{1}(0)=\gamma _{2}(0)={\vec {0}}}
Φ
{\displaystyle \Phi }
（TS）
x
→
=
γ
1
(
u
)
+
γ
2
(
v
)
{\displaystyle \quad {\vec {x}}=\gamma _{1}(u)+\gamma _{2}(v)\;}
および には原点が含まれます。明らかに、この定義は曲線 およびに関して対称です 。したがって、両方の曲線は 母線 (一方は 母線 ) と呼ばれます。表面の任意の 点は、それぞれ およびのシフトされたコピーに含まれます 。 における 接平面 は、この点における母線の接ベクトルによって生成されます (ただし、これらのベクトルが 線形独立 で ある場合)。
c
1
{\displaystyle c_{1}}
c
2
{\displaystyle c_{2}}
X
{\displaystyle X}
c
1
{\displaystyle c_{1}}
c
2
{\displaystyle c_{2}}
X
{\displaystyle X}
前提条件が満たされない場合、 (TS) で定義される曲面には 原点と曲線が含まれない可能性があります 。しかし、いずれの場合でも、曲面には、曲線のいずれかのシフトされたコピーがそれぞれ パラメトリック曲線 ととして含まれます 。
γ
1
(
0
)
=
γ
2
(
0
)
=
0
→
{\displaystyle \gamma _{1}(0)=\gamma _{2}(0)={\vec {0}}}
c
1
,
c
2
{\displaystyle c_{1},c_{2}}
c
1
,
c
2
{\displaystyle c_{1},c_{2}}
x
→
(
u
0
,
v
)
{\displaystyle {\vec {x}}(u_{0},v)}
x
→
(
u
,
v
0
)
{\displaystyle {\vec {x}}(u,v_{0})}
2つの曲線は、 いわゆる対応する 中弦面 を生成するために使用できます。そのパラメトリック表現は
c
1
,
c
2
{\displaystyle c_{1},c_{2}}
（MCS）
x
→
=
1
2
(
γ
1
(
u
)
+
γ
2
(
v
)
)
.
{\displaystyle \quad {\vec {x}}={\frac {1}{2}}(\gamma _{1}(u)+\gamma _{2}(v))\;.}
並進面と弦中央面としてのヘリコイド 同一の母線を持つ並進面としてのヘリコイド
c
1
,
c
2
{\displaystyle c_{1},c_{2}}
変換面としてのらせん: 任意のパラメトリック曲線は、紫色のらせんのシフトされたコピーです。 ヘリコイド は、 一般化されたヘリコイド と 線織面 の特殊なケースです。 極小曲面 の例であり 、並進曲面として表すことができます。
パラメトリック表現によるヘリコイド
x
→
(
u
,
v
)
=
(
u
cos
v
,
u
sin
v
,
k
v
)
{\displaystyle {\vec {x}}(u,v)=(u\cos v,u\sin v,kv)}
ターンアラウンドシフト （ドイツ語：Ganghöhe） がある 。新しいパラメータ [6] を導入すると、
2
π
k
{\displaystyle 2\pi k}
α
,
φ
{\displaystyle \alpha ,\varphi }
u
=
2
a
cos
(
α
−
φ
2
)
,
v
=
α
+
φ
2
{\displaystyle u=2a\cos \left({\frac {\alpha -\varphi }{2}}\right)\ ,\ \ v={\frac {\alpha +\varphi }{2}}}
正の実数
の場合、新しいパラメトリック表現が得られる。
a
{\displaystyle a}
X
→
(
α
,
φ
)
=
(
a
cos
α
+
a
cos
φ
,
a
sin
α
+
a
sin
φ
,
k
α
2
+
k
φ
2
)
{\displaystyle {\vec {X}}(\alpha ,\varphi )=\left(a\cos \alpha +a\cos \varphi \;,\;a\sin \alpha +a\sin \varphi \;,\;{\frac {k\alpha }{2}}+{\frac {k\varphi }{2}}\right)}
=
(
a
cos
α
,
a
sin
α
,
k
α
2
)
+
(
a
cos
φ
,
a
sin
φ
,
k
φ
2
)
,
{\displaystyle =(a\cos \alpha ,a\sin \alpha ,{\frac {k\alpha }{2}})\ +\ (a\cos \varphi ,a\sin \varphi ,{\frac {k\varphi }{2}})\ ,}
これは、2つの同一の （！）母線
を持つ平行移動面のパラメトリック表現である。
c
1
:
γ
1
=
X
→
(
α
,
0
)
=
(
a
+
a
cos
α
,
a
sin
α
,
k
α
2
)
{\displaystyle c_{1}:\;\gamma _{1}={\vec {X}}(\alpha ,0)=\left(a+a\cos \alpha ,a\sin \alpha ,{\frac {k\alpha }{2}}\right)\quad }
そして
c
2
:
γ
2
=
X
→
(
0
,
φ
)
=
(
a
+
a
cos
φ
,
a
sin
φ
,
k
φ
2
)
.
{\displaystyle c_{2}:\;\gamma _{2}={\vec {X}}(0,\varphi )=\left(a+a\cos \varphi ,a\sin \varphi ,{\frac {k\varphi }{2}}\right)\ .}
図に使用されている共通点は です。(同一の)母線は、 方程式 の円筒上にある、 方向転換したらせん状です 。任意のパラメトリック曲線は、母線 (図では紫色) のシフトされたコピーであり、 z 軸を含む 半径 の直円筒に含まれます 。
P
=
X
→
(
0
,
0
)
=
(
2
a
,
0
,
0
)
{\displaystyle P={\vec {X}}(0,0)=(2a,0,0)}
k
π
,
{\displaystyle k\pi \;,}
(
x
−
a
)
2
+
y
2
=
a
2
{\displaystyle (x-a)^{2}+y^{2}=a^{2}}
c
1
{\displaystyle c_{1}}
a
{\displaystyle a}
新しいパラメトリック表現は、方程式 を持つ円筒内にあるヘリコイドの点のみを表します 。
x
2
+
y
2
=
4
a
2
{\displaystyle x^{2}+y^{2}=4a^{2}}
2 つの同一の母線 (緑の螺旋) の弦中央面としての螺旋。 新しいパラメトリック表現から、ヘリコイドも中弦面であることがわかります。
X
→
(
α
,
φ
)
=
(
a
cos
α
,
a
sin
α
,
k
α
2
)
+
(
a
cos
φ
,
a
sin
φ
,
k
φ
2
)
=
1
2
(
δ
1
(
α
)
+
δ
2
(
φ
)
)
,
{\displaystyle {\begin{aligned}{\vec {X}}(\alpha ,\varphi )&=\left(a\cos \alpha ,a\sin \alpha ,{\frac {k\alpha }{2}}\right)\ +\ \left(a\cos \varphi ,a\sin \varphi ,{\frac {k\varphi }{2}}\right)\\[5pt]&={\frac {1}{2}}(\delta _{1}(\alpha )+\delta _{2}(\varphi ))\ ,\quad \end{aligned}}}
どこ
d
1
:
x
→
=
δ
1
(
α
)
=
(
2
a
cos
α
,
2
a
sin
α
,
k
α
)
,
{\displaystyle d_{1}:\ {\vec {x}}=\delta _{1}(\alpha )=(2a\cos \alpha ,2a\sin \alpha ,k\alpha )\ ,\quad }
そして
d
2
:
x
→
=
δ
2
(
φ
)
=
(
2
a
cos
φ
,
2
a
sin
φ
,
k
φ
)
,
{\displaystyle d_{2}:\ {\vec {x}}=\delta _{2}(\varphi )=(2a\cos \varphi ,2a\sin \varphi ,k\varphi )\ ,\quad }
2 つの同一の母集団です。
図では、 はらせん 上 と （同一の）らせん 上に存在します 。弦の中点は です 。
P
1
:
δ
1
(
α
0
)
{\displaystyle P_{1}:\delta _{1}(\alpha _{0})}
d
1
{\displaystyle d_{1}}
P
2
:
δ
2
(
φ
0
)
{\displaystyle P_{2}:\delta _{2}(\varphi _{0})}
d
2
{\displaystyle d_{2}}
M
:
1
2
(
δ
1
(
α
0
)
+
δ
2
(
φ
0
)
)
=
X
→
(
α
0
,
φ
0
)
{\displaystyle \ M:{\frac {1}{2}}(\delta _{1}(\alpha _{0})+\delta _{2}(\varphi _{0}))={\vec {X}}(\alpha _{0},\varphi _{0})\ }
翻訳面の利点 建築 曲面（例えば屋根）は、 曲線用の
ジグ と、同じ曲線のジグをいくつか使用して製造できます 。ジグは、数学の知識がなくても設計できます。ジグを配置する際には、変換面のルールのみを遵守する必要があります。
c
2
{\displaystyle c_{2}}
c
1
{\displaystyle c_{1}}
記述幾何学 平行 投影面を作成するには 、1) 2 つの母線の投影を作成し、2) 曲線の治具を作成し 、3) この治具を使用して、平行投影面の規則に従って曲線のコピーを描画する必要があります。表面の輪郭は、治具を使用して描画された曲線のエンベロープです。この手順は、直交投影と斜投影には有効ですが、 中心投影 には有効ではありません。
c
1
{\displaystyle c_{1}}
微分幾何学 パラメトリック表現による並進面の場合、
の
偏導 関数 は 曲線の単純な導関数です。したがって、混合導関数は常に であり、 第 2 基本形式 の 係数も です 。これは、(たとえば) ヘリコイドが極小面であることを示すために不可欠な要素です。
x
→
(
u
,
v
)
=
γ
1
(
u
)
+
γ
2
(
v
)
{\displaystyle {\vec {x}}(u,v)=\gamma _{1}(u)+\gamma _{2}(v)\;}
x
→
(
u
,
v
)
{\displaystyle {\vec {x}}(u,v)}
0
{\displaystyle 0}
M
{\displaystyle M}
0
{\displaystyle 0}
参考文献
^ H. Brauner: Lehrbuch der Konstruktiven Geometrie 、Springer-Verlag、2013、 ISBN 3709187788、9783709187784 、p. 236 ^ Fritz Hohenberg: Konstruktive Geometrie in der Technik 、Springer-Verlag、2013、 ISBN 3709181488、9783709181485 、p. 208 ^ Hans Schober: Transparente Schalen: Form、Topologie、Tragwerk 、John Wiley & Sons、2015、 ISBN 343360598X 、9783433605981、S. 74 ^ Wilhelm Blaschke、Kurt Reidemeister: Vorlesungen über Differentialgeometrie und geometrische Grundlagen von Einsteins Relativitätstheorie II: Affine Differentialgeometrie 、Springer-Verlag、2013、 ISBN 364247392X 、9783642473920、p. 94 ^ Erwin Kruppa: Analytische und konstruktive Differentialgeometrie 、Springer-Verlag、2013、 ISBN 3709178673、9783709178676 、p. 45 ^ JCC ニッチェ: Vorlesungen über Minimalflächen 、Springer-Verlag、2013、 ISBN 3642656196、9783642656194 、p. 59 G. Darboux: Leçons sur la théorie générale des surfaces et ses Applications géométriques du calcul infinitésimal 、1–4、Chelsea、再版、972、pp. Sects. 81–84、218 Georg Glaeser: Geometrie und ihre Anwendungen in Kunst、Natur und Technik 、Springer-Verlag、2014、 ISBN 364241852X 、p. 259 W. Haack: Elementare Differentialgeometrie 、Springer-Verlag、2013、 ISBN 3034869509 、p. 140 C. レオポルド: Geometrische Grundlagen der Architekturdarstellung。 コールハマー版 、シュトゥットガルト、2005 年、 ISBN 3-17-018489-X 、p. 122 DJ ストルイク: 古典微分幾何学の講義 、ドーバー、再版、1988年、pp. 103、109、184
外部リンク 
![{\displaystyle {\begin{aligned}{\vec {X}}(\alpha ,\varphi )&=\left(a\cos \alpha ,a\sin \alpha ,{\frac {k\alpha }{2}}\right)\ +\ \left(a\cos \varphi ,a\sin \varphi ,{\frac {k\varphi }{2}}\right)\\[5pt]&={\frac {1}{2}}(\delta _{1}(\alpha )+\delta _{2}(\varphi ))\ ,\quad \end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a0f11bc9850270b520fe023a742d935c82b78b3a)
