コノイド

幾何学において、コノイド（ギリシャ語のκωνος  「円錐」と- ειδης  「類似」に由来）は、その罫線（線）が追加の条件を満たす 線織面です。

（１）すべての罫線は、準線平面である平面に平行である。

（２）すべての罫線は固定された線、軸と交差する。

円錐面の軸が準線平面に垂直である場合、円錐面は直円錐面です。したがって、すべての罫線は軸に垂直です。

（１）により、任意の円錐体はカタラン面となり、次のようにパラメトリックに表現できる。

${\displaystyle \mathbf {x} (u,v)=\mathbf {c} (u)+v\mathbf {r} (u)\ }$

固定パラメータu = u ₀を持つ任意の曲線x ( u ₀ , v )はルーリングであり、c ( u ) は準線を表し、ベクトルr ( u )はすべて準線平面に平行です。ベクトルr ( u )の平面性は次のように表すことができます 。

${\displaystyle \det(\mathbf {r} ,\mathbf {\dot {r}} ,\mathbf {\ddot {r}} )=0}$。

準線が円の場合、円錐面は円錐面と呼ばれます。

コノイド​​という用語は、アルキメデスの論文『コノイドと球状体について』ですでに使用されていました。

パラメトリック表現

${\displaystyle \mathbf {x} (u,v)=(\cos u,\sin u,0)+v(0,-\sin u,z_{0})\ ,\ 0\leq u<2\ pi ,v\in \mathbb {R} }$

は、xy平面の単位円を準線とし、準線平面はy-z平面に平行な直円錐を描く。その軸は直線である。${\displaystyle (x,0,z_{0})\ x\in \mathbb {R} \ .}$

特長:

1. 水平面との交差は楕円になります。
2. ${\displaystyle (1-x^{2})(z-z_{0})^{2}-y^{2}z_{0}^{2}=0}$は暗黙的な表現です。したがって、直円錐体は次数 4 の曲面です。
3. ケプラーの法則によれば、半径と高さの直円錐体の正確な体積は次のようになります。${\displaystyle r}$${\displaystyle h}$${\displaystyle V={\tfrac {\pi }{2}}r^{2}h}$

暗黙的な表現は直線上の点によっても満たされます。これらの点には接平面は存在しません。このような点は特異点と呼ばれます。 ${\displaystyle (x,0,z_{0})}$

パラメトリック表現

${\displaystyle \mathbf {x} (u,v)=\left(1,u,-u^{2}\right)+v\left(-1,0,u^{2}\right)}$

${\displaystyle =\left(1-v,u,-(1-v)u^{2}\right)\ ,u,v\in \mathbb {R} \ ,}$

は、方程式 で放物円錐を表します。円錐の準線は放物線、軸は y 軸、準線面は xz 平面に平行な平面です。建築家はこれを屋根面として使用します (下記参照)。 ${\displaystyle z=-xy^{2}}$

放物円錐体には特異点がありません。

1. 双曲放物面
2. プルッカー円錐
3. ホイットニー アンブレラ
4. ヘリコイド

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  双曲放物面
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  プルッカー円錐
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  ホイットニー傘

特異点を持つ円錐面は数多く存在し、代数幾何学で研究されています。

他の線織面と同様に、円錐体は梁や棒を使って作ることができるため、建築家に大変興味を持たれています。直円錐体は簡単に作ることができます。棒を軸に通して、その軸の周りでのみ回転できるようにします。その後、準線で棒を曲げて円錐体 (放物線円錐体とも呼ばれます) を生成します。

• mathworld: プルッカー円錐
• 「コノイド」、数学百科事典、EMS Press、2001 [1994]

• A. Gray、E. Abbena、S. Salamon、「Mathematica による曲線と曲面の現代微分幾何学」、第 3 版。フロリダ州ボカラトン:CRC プレス、2006 年。[1] ( ISBN 978-1-58488-448-4 ) 
• ウラジミール・Y・ロベンスキー『MAPLEによる曲線と曲面の幾何学』[2]（ISBN 978-0-8176-4074-3）