水文モデル

縮尺模型は、物理的または化学的プロセスを視覚化しやすいサイズで近似するのに役立つ。^{[ 1 ]}模型は、1次元（コア、柱）、2次元（平面、断面）、または3次元で作成でき、質問に答えるために必要なさまざまな特定の初期条件と境界条件を表すように設計できる。

スケールモデルでは、通常、自然界の物体と類似した物理的特性（重力、温度など）が使用されます。しかし、一部の特性を自然界の値に維持すると、誤った予測につながる可能性があります。^{[ 2 ]}粘度、摩擦、表面積などの特性は、適切な流れと輸送挙動を維持するために調整する必要があります。これには通常、無次元比（レイノルズ数、フルード数など）を一致させる必要があります。

アクリル製の縮尺模型に砂、シルト、粘土を詰めて、地下水の流れを視覚化することができます。^{[ 3 ]}このシステムに水とトレーサー染料をポンプで送り込むことで、模擬地下水の流れを再現できます。物理的な帯水層モデルの中には、2次元から3次元のものもあり、ポンプや障壁を使って簡略化された境界条件をシミュレートします。^{[ 4 ]}

水文学では、ダルシーの法則、オームの法則、フーリエの法則、フィックの法則の類似性を利用して流体の流れを表すためにプロセス類似法が用いられます。流体の流れの類似法は、それぞれ電気、熱、溶質のフラックスです。^{[ 5 ]}流体ポテンシャルの対応する類似法は、電圧、温度、溶質濃度（または化学ポテンシャル）です。水理伝導率の類似法は、電気伝導率、熱伝導率、溶質拡散係数です。

初期のプロセスアナログモデルは、グリッド状の抵抗器で構成された帯水層の電気ネットワークモデルでした。^{[ 6 ]}電圧は外側の境界に沿って割り当てられ、その後、領域内で測定されました。抵抗器の代わりに電気伝導率紙^{[ 7 ]を使用することもできます。}

統計モーメント（平均、標準偏差、歪度、尖度など）は、データの情報内容を記述するために使用されます。これらのモーメントは、適切な度数分布を決定するために使用でき、^{[ 12 ]}それを確率モデルとして使用できます。^{[ 13 ]}一般的な手法としては、Lモーメント比^{[ 14 ]}とモーメント比図^{[ 15 ]があります。}

深刻な干ばつや暴風雨などの極端な事象の頻度は、平均値に近いデータではなく、分布の裾に焦点を当てた分布の使用を必要とすることが多い。これらの手法は総称して極値分析と呼ばれ、極端な事象の可能性と不確実性を特定するための方法論を提供する。^{[ 16 ] [ 17 ]}極値分布の例としては、ガンベル分布、ピアソン分布、一般化極値分布などがある。ピーク流量を決定する標準的な方法は、log-Pearson Type III (log-gamma) 分布と観測された年間流量ピークを使用する。^{[ 18 ]}

相関の程度と性質は、ピアソン相関係数、自己相関、またはT検定などの方法を使用して定量化できます。^{[ 19 ]}モデルのランダム性または不確実性の程度は、確率論^{[ 20 ]}または残差分析^{[ 21 ]}を使用して推定することもできます。これらの技術は、洪水ダイナミクス^{[ 22 ] [ 23 ]} 、嵐の特性^{[ 24 ] [ 25 ] 、およびカルストシステムの地下水流[ 26 ]}の特定に使用できます。

水文学では、回帰分析を用いて独立変数と従属変数の間に何らかの関係が存在するかどうかを判断します。二変量図は物理科学において最も一般的に使用される統計的回帰モデルですが、単純なものから複雑なものまで、さまざまなモデルが利用可能です。^{[ 27 ]}二変量図では、線形モデルまたは高次のモデルをデータに適合させることができます。

因子分析と主成分分析は、水文変数間の関係を特定するために使用される多変量統計手法です。^{[ 28 ] [ 29 ]}

畳み込みとは、2つの異なる関数に対して演算を行い、3つ目の関数を生成する数学演算です。水文モデリングにおいては、畳み込みを用いて河川流量と降水量の関係を分析することができます。また、降水イベント後の下流における流量を予測するためにも畳み込みが用いられます。このモデルは、流域を水が移動する際の「遅延時間」を予測するため、「遅延畳み込み」と呼ばれます。

時系列分析は、データ系列内および異なる時系列間の時間的相関を特徴付けるために使用されます。多くの水文現象は、歴史的確率の文脈で研究されています。時系列データセット内では、時系列分析の統計的手法を使用して、イベントの頻度、傾向、および比較を行うことができます。^{[ 30 ]}これらの手法によって回答される質問は、都市計画、土木工学、およびリスク評価にとって重要な場合がよくあります。

マルコフ連鎖は、以前の状態または事象に基づいて、ある状態または事象の確率を決定するための数学的手法です。^{[ 31 ]}事象は、雨天などのように、依存関係のあるものでなければなりません。マルコフ連鎖は、1976年に降雨イベントの長さを日数でモデル化するために初めて使用され、^{[ 32 ]}洪水リスク評価やダム管理に引き続き使用されています。

支配方程式は、システムの挙動を数学的に定義するために使用されます。代数方程式は単純なシステムによく用いられ、常微分方程式や偏微分方程式は空間的にも時間的にも変化する問題によく用いられます。支配方程式の例としては、以下のようなものがあります。

マニングの式は、河道の粗度、水力半径、および河道勾配の関数として流速を予測する代数方程式である。

${\displaystyle v={k \over n}R^{2/3}S^{1/2}}$

ダルシーの法則は、水理伝導率と水理勾配を用いて、定常的な一次元地下水流を記述する。

${\displaystyle {\vec {q}}=-K\nabla h}$

地下水流動方程式は、帯水層の透水係数と貯留係数を用いて、時間とともに変化する多次元的な地下水流動を記述する。

$${\displaystyle T\nabla ^{2}h=S{\partial h \over \partial t}}$$

移流分散方程式は、溶質分散係数と地下水流速を用いて、定常一次元流における溶質の移動を記述する。

$${\displaystyle D{\partial ^{2}C \over \partial x^{2}}-v{\partial C \over \partial x}={\partial C \over \partial t}}$$

ポアズイユの法則は、せん断応力を用いて層流、定常、一次元流体の流れを記述する。

${\displaystyle {\partial P \over \partial x}=-\mu {\partial \tau \over \partial y}}$

コーシーの積分は、境界値問題を解くための積分法である。

${\displaystyle f(a)={\frac {1}{2\pi i}}\oint _{\gamma }{\frac {f(z)}{za}}\,dz}$

物理モデルは、研究対象システムの固有の側面を特徴付けるためにパラメータを使用します。これらのパラメータは、実験室およびフィールド調査を使用して取得するか、観測された挙動とモデル化された挙動の間の最良の一致を見つけることによって推定できます。 ^{[ 41 ] [ 42 ] [ 43 ] [ 44 ]}物理的および水文学的に類似した隣接する流域間では、モデルパラメータは滑らかに変化し、パラメータの空間的転用可能性を示唆しています。^{[ 45 ]}

モデル評価は、較正されたモデルがモデラーのニーズを満たす能力があるかどうかを判断するために使用されます。水文モデルの適合度を測る一般的な指標として、ナッシュ・サトクリフ効率係数があります。