極値理論

極値理論または極値分析（EVA）とは、統計分布における極値の研究である。

これは、構造工学、金融、保険数理、経済学、地球科学、交通予測、地質工学など、多くの分野で広く利用されています。例えば、水文学の分野では、 100年に一度の大洪水のような異常に大規模な洪水が発生する確率を推定するためにEVAが使用されることがあります。同様に、防波堤の設計においては、沿岸技術者は50年に一度の波を推定し 、それに応じて構造物を設計します。

実用的な極値分析には、主に2つのアプローチが存在する。

最初の方法は、予備段階としてブロック最大値（最小値）系列を導出することに基づいています。多くの場合、年間最大値（最小値）を抽出して年間最大値系列（AMS）を生成するのが一般的で便利です。

2番目の方法は、連続記録から、値が特定の閾値を超える（または特定の閾値を下回る）期間のピーク値を抽出することに基づいています。この方法は一般にピーク超過閾値法（POT）と呼ばれます。^{[ 1 ]}

AMSデータの場合、分析は部分的にFisher–Tippett–Gnedenkoの定理の結果に依存し、フィッティングのために一般化極値分布が選択される可能性があります。 ^{[ 2 ] [ 3 ]}しかし、実際には、より広い範囲の分布から選択するためにさまざまな手順が適用されます。ここでの定理は、同じ分布からの非常に大きな独立したランダム変数の最小値または最大値の極限分布に関連しています。1年内の関連するランダムイベントの数はかなり限られている可能性があるため、観測されたAMSデータの分析が一般化極値分布（GEVD）以外の分布を選択することにつながることが多いのは驚くべきことではありません。^{[ 4 ]}

POTデータの場合、分析には2つの分布を当てはめる作業が含まれる場合があります。1つは対象期間内の事象数に関する分布、もう1つは超過事象の大きさに関する分布です。

最初のケースではポアソン分布が一般的な仮定であり、超過値には一般化パレート分布が使用されます。裾のフィッティングは、ピカンズ・バルケマ・デ・ハーンの定理に基づいて行うことができます。^{[ 5 ] [ 6 ]}

Novak (2011) は、「POT メソッド」という用語を、閾値が非ランダムな場合に限定し、ランダムな閾値を超える場合とは区別している。^{[ 7 ]}

極値理論の応用例としては、以下の確率分布の予測が挙げられる。

極値理論の分野は、L. Tippett (1902–1985) によって開拓されました。Tippett は英国綿工業研究所に勤務し、綿糸をより強くする研究に取り組んでいました。研究の中で、糸の強度は最も弱い繊維の強度によって決まることを発見しました。RA Fisherの協力を得て、Tippet は独立変数を仮定した極値の分布を記述する 3 つの漸近極限を得ました。EJ Gumbel (1958) ^{[ 28 ]}はこの理論を体系化しました。これらの結果は、変数間のわずかな相関を許容するように拡張できますが、古典的な理論は分散のオーダーの強い相関には拡張されません。特に興味深い普遍性クラスは、相関が距離とともに対数的に減少する対数相関場です。

単一変数の極値に関する理論は、極値定理（フィッシャー・ティペット・グネデンコ定理とも呼ばれる）によって規定されており、特定の統計変数に対して、極値の3つの可能な分布のうちどれが適用されるかを記述する。${\displaystyle X}$。

複数の変数における極値理論では、対処しなければならない追加の問題が生じます。発生する問題の1つは、何が極端な事象を構成するかを指定しなければならないことです。^{[ 29 ]} 単変量の場合はこれは簡単ですが、多変量の場合はこれを明確に行う方法はありません。根本的な問題は、実数値の集合を順序付けることは可能ですが、ベクトルの集合を自然な方法で順序付ける方法がないことです。

例えば、単変量の場合、一連の観測値が与えられた場合${\displaystyle \ x_{i}\ }$観測値の最大値（または最小値）を取るだけで、最も極端な事象を簡単に見つけることができます。しかし、2 変量の場合、一連の観測値が与えられた場合、${\displaystyle \ (x_{i},y_{i})\ }$しかし、最も極端な事象をどのように見つけるかはすぐには明らかではない。ある人が値を測定したとしよう。${\displaystyle \ (3,4)\ }$特定の時刻と値${\displaystyle \ (5,2)\ }$後日、これらの出来事のうち、どちらがより極端なものと見なされるでしょうか？この質問に対する普遍的な答えはありません。

多変量の場合のもう 1 つの問題は、限界モデルが単変量の場合ほど完全に規定されていないことです。単変量の場合、モデル ( GEV 分布) には、理論では予測できない値がデータに分布を当てはめることで得られる 3 つのパラメータが含まれます。多変量の場合、モデルには未知のパラメータだけでなく、理論では正確な形式が規定されていない関数も含まれます。ただし、この関数は特定の制約に従わなければなりません。^{[ 30 ] [ 31 ] [ 32 ]} このような制約に従う推定量を考案するのは簡単ではありませんが、最近いくつか構築されています。^{[ 33 ] [ 34 ] [ 35 ]}

応用例として、二変量極値理論は海洋研究に適用されている。^{[ 29 ] [ 36 ]}

非定常時系列の統計モデリングは1990年代に開発されました。^{[ 37 ]}非定常多変量極値の手法はより最近導入されました。^{[ 38 ]} 後者は、極値間の依存関係が時間経過または別の共変量によってどのように変化するかを追跡するために使用できます。^{[ 39 ] [ 40 ] [ 41 ] [ 42 ]}

• Belzile, LR; Dutang, C.; Northrop, PJ; Opitz, T. (2023). "極値ソフトウェアのモデラー向けガイド". Extremes . 26 (4): 595–638 . arXiv : 2205.07714 . doi : 10.1007/s10687-023-00475-9 .
• 「Rにおける極値統計」 . cran.r-project.org（ソフトウェア）。2023年11月4日。— Rにおける極値統計のためのパッケージ。
• 「Extremes.jl」 .github.com （ソフトウェア）。— Juliaの極値統計のためのパッケージ。
• 「定常および非定常極値解析のソースコード」 . amir.eng.uci.edu（ソフトウェア）。カリフォルニア州アーバイン：カリフォルニア大学アーバイン校。