水文学モデル

水文モデルは、現実世界のシステム (地表水、土壌水、湿地、地下水、河口など) を簡略化したものであって、水資源の理解、予測、管理に役立ちます。水の流れと水質は、通常、水文モデルを使用して研究されます。

コンピュータ モデルが登場する前は、水文学モデリングではアナログ モデルを使用して流れと輸送システムをシミュレートしていました。方程式を使用して水文学システムを記述、予測、管理する数学モデルとは異なり、アナログ モデルでは非数学的アプローチを使用して水文学をシミュレートします。

アナログ モデルには、物理​​システムの小型バージョンを使用するスケール アナログと、同等の物理特性 (電気、熱、拡散など) を使用して対象のシステムを模倣するプロセス アナログという 2 つの一般的なカテゴリがあります。

縮尺モデルは、物理的または化学的プロセスを、視覚化しやすいサイズで近似的に表すのに便利です。^[1]モデルは、1次元（コア、柱）、2次元（平面、プロファイル）、または3次元で作成でき、質問に答えるために必要なさまざまな特定の初期条件と境界条件を表すように設計できます。

スケールモデルでは、通常、自然界に似た物理的特性（重力、温度など）が使用されます。しかし、一部の特性を自然界の値のままにしておくと、誤った予測につながる可能性があります。^[2]適切な流れと輸送挙動を維持するには、粘度、摩擦、表面積などの特性を調整する必要があります。これには通常、無次元比（レイノルズ数、フルード数など）の一致が含まれます。

地下水の流れは、アクリルで作られ、砂、シルト、粘土が詰められたスケールモデルを使用して視覚化できます。^[3]水とトレーサー染料をこのシステムに送り込み、シミュレートされた地下水の流れを表現することができます。一部の物理的な帯水層モデルは2次元から3次元の間で、ポンプとバリアを使用して簡略化された境界条件をシミュレートします。^[4]

プロセス類似体は、水文学において、ダルシーの法則、オームの法則、フーリエの法則、およびフィックの法則の類似性を利用して流体の流れを表すために使用されます。流体の流れの類似体は、それぞれ電気、熱、および溶質の流束です。^[5]流体ポテンシャルの対応する類似体は、電圧、温度、および溶質濃度（または化学ポテンシャル）です。水力伝導率の類似体は、電気伝導率、熱伝導率、および溶質拡散係数です。

初期のプロセスアナログモデルは、グリッド内の抵抗器で構成された帯水層の電気ネットワークモデルでした。^[6]電圧は外側の境界に沿って割り当てられ、その後ドメイン内で測定されました。抵抗器の代わりに 電気伝導率紙^{[7]を使用することもできます。}

統計モデルは、水文学においてデータやデータ間の関係性を記述するために一般的に使用される数学モデルの一種です。 ^[8]統計的手法を使用して、水文学者は観測変数間の経験的関係を開発し、^[9]履歴データの傾向を見つけ、^[10]または起こりうる嵐や干ばつのイベントを予測します。^[11]

統計的モーメント（例：平均、標準偏差、歪度、尖度）は、データの情報内容を表すために使用されます。これらのモーメントを使用して適切な頻度分布を決定することができ、^[12]確率モデルとして使用できます。^[13]一般的な2つの手法には、Lモーメント比^[14]とモーメント比図があります。^[15]

深刻な干ばつや嵐などの極端な事象の頻度を調べるには、平均値に最も近いデータではなく、分布の末端に焦点を当てた分布を使用する必要があることが多い。これらの手法は総称して極値分析と呼ばれ、極端な事象の発生確率と不確実性を特定するための方法論を提供する。^{[16] [17]}極値分布の例には、ガンベル分布、ピアソン分布、一般化極値分布などがある。ピーク流量を決定する標準的な方法は、対数ピアソンタイプIII（対数ガンマ）分布と観測された年間流量ピークを使用する。^[18]

相関関係の程度と性質は、ピアソン相関係数、自己相関、T検定などの方法を使用して定量化できます。^[19]モデル内のランダム性または不確実性の程度は、確率論[20]または残差分析[21]を使用して推定することもできます。これら^の手法は^、洪水のダイナミクスの特定、 ^{[22] [23]、}暴風雨の特性評価、^{[24] [25]}、およびカルストシステムの地下水の流れに使用できます。 ^[26]

回帰分析は、水文学において、独立変数と従属変数の間に関係が存在するかどうかを判断するために使用されます。二変量ダイアグラムは、物理科学で最も一般的に使用される統計的回帰モデルですが、単純なものから複雑なものまでさまざまなモデルが利用可能です。^[27]二変量ダイアグラムでは、線形モデルまたは高次モデルをデータに適合させることができます。

因子分析と主成分分析は、水文変数間の関係を識別するために使用される多変量統計手法である。 ^{[28] [29]}

畳み込みは、2 つの異なる関数を数学的に演算して 3 番目の関数を生成することです。水文学的モデリングに関しては、畳み込みを使用して、河川流量と降水量との関係を分析できます。畳み込みは、降水イベント後の下流の流量を予測するために使用されます。このタイプのモデルは、このモデリング方法を使用して水が流域を通過する際の「遅延時間」を予測するため、「ラグ畳み込み」と見なされます。

時系列分析は、データ系列内および異なる時系列間の時間的相関を特徴付けるために使用されます。多くの水文学的現象は、歴史的確率の文脈で研究されています。時間データセット内では、時系列分析の統計的手法を使用して、イベントの頻度、傾向、比較を行うことができます。^[30]これらの手法を通じて回答される質問は、多くの場合、都市計画、土木工学、リスク評価にとって重要です。

マルコフ連鎖は、以前の状態またはイベントに基づいて状態またはイベントの確率を決定する数学的手法です。^[31]イベントは、雨天などの依存関係にある必要があります。マルコフ連鎖は、1976年に降雨イベントの長さを日単位でモデル化するために初めて使用され、^[32]洪水リスク評価やダム管理に使用され続けています。

水文学におけるデータ駆動型モデルは、従来の統計モデルに代わるアプローチとして登場し、水文学的プロセスのさまざまな側面を分析および予測するためのより柔軟で適応性の高い方法論を提供しています。統計モデルは確率分布に関する厳密な仮定に依存していますが、データ駆動型モデルは、相関分析、時系列分析、統計モーメントなどの人工知能、機械学習、統計分析の技術を活用して、履歴データから複雑なパターンと依存関係を学習します。これにより、より正確な予測が可能になり、基礎となるプロセスに関する洞察が得られます。^[33]

データ駆動型モデルは、20世紀後半に誕生して以来、水資源の予測、意思決定、管理の改善に役立つことから、水分野で人気を博しています。水文学でデータ駆動型モデルを使用している注目すべき出版物には、ソロマティンとシーク（2004年）による「降雨流出モデリングへの機械学習技術の応用」^[34]や、ヴァリプールら（2021年）による「水文学的予測と予測のためのデータ駆動型モデリングアプローチ」^[35]などがあります。これらのモデルは、降雨量、流出量、地下水位、水質の予測によく使用されており、水資源管理戦略を最適化するための貴重なツールであることが証明されています。

概念モデルは、物理的概念を使用して水文システムを表します。概念モデルは、重要なモデル コンポーネントを定義するための出発点として使用されます。次に、モデル コンポーネント間の関係は、代数方程式、常微分方程式、偏微分方程式、または積分方程式を使用して指定されます。次に、解析的または数値的手順を使用してモデルを解きます。

概念モデルは、水文学的入力と出力を関連付ける重要なコンポーネント（例：機能、イベント、プロセス）を表すために一般的に使用されます。 ^{[37]これらのコンポーネントは、対象}システムの重要な機能を説明し、多くの場合、エンティティ（水の貯蔵）とこれらのエンティティ間の関係（貯蔵間のフローまたはフラックス）を使用して構築されます。概念モデルは、特定のイベント（入力シナリオまたは結果シナリオ）を説明するためにシナリオと結合されます。

たとえば、流域モデルは、支流をボックスとして表し、矢印を本流を表すボックスに向けて表すことができます。概念モデルでは、重要な流域の特徴 (土地利用、土地被覆、土壌、下層土、地質、湿地、湖沼など)、大気の交換 (降水量、蒸発散量など)、人間の利用 (農業、都市、工業、航行、火力および水力発電など)、流れのプロセス (陸上、合流、基底流、水路の流れなど)、輸送プロセス (堆積物、栄養素、病原体など)、およびイベント (低流量、洪水、平均流量など) を指定します。

モデルの範囲と複雑さはモデリングの目的によって異なり、人間や環境のシステムがより大きなリスクにさらされる場合は、より詳細なモデルが必要になります。システム モデリングは、数学的関係を使用してデータを入力する概念モデルの構築に使用できます。

例1

線形貯水池モデル(またはナッシュ モデル) は、降雨流出解析に広く使用されています。このモデルでは、線形貯水池のカスケードと一定の一次貯留係数K を使用して、各貯水池からの流出量を予測します (流出量は、次の貯水池への入力として使用されます)。

このモデルは連続方程式と貯留-放出方程式を組み合わせ、各貯水池からの流出を記述する常微分方程式を生成します。タンク モデルの連続方程式は次のとおりです。

${\displaystyle {dS(t) \over dt}=i(t)-q(t)}$

これは、時間の経過に伴う貯蔵量の変化が流入量と流出量の差であることを示しています。貯蔵量と排出量の関係は次のとおりです。

${\displaystyle q(t)=S(t)/K}$

ここでKは貯水池の排水速度を示す定数であり、値が小さいほど流出速度が速い。この2つの式を組み合わせると次の式が得られる。

${\displaystyle K{dq \over dt}=iq}$

そして解決策は次のようになります:

${\displaystyle q=i(1-e^{-t/k})}$

例2

一連の線形貯留層を使用する代わりに、非線形貯留層モデルを使用することもできる。^[39]

このようなモデルでは、反応係数とも呼ばれる上記の式の定数K を、貯蔵量 (S) と放出量 (q) に対するこの係数の依存性を示すために、別の記号、たとえばα (アルファ) に置き換える必要があります。

左の図では関係は二次式です。

α = 0.0123 q ² + 0.138 q - 0.112

支配方程式は、システムの動作を数学的に定義するために使用されます。代数方程式は単純なシステムによく使用され、常微分方程式と偏微分方程式は、時間とともに空間が変化する問題によく使用されます。支配方程式の例には、次のものがあります。

マニングの方程式は、水路の粗さ、水力半径、水路の勾配の関数として水流速度を予測する代数方程式です。

${\displaystyle v={k \over n}R^{2/3}S^{1/2}}$

ダルシーの法則は、透水係数と動水勾配を使用して、安定した 1 次元の地下水の流れを説明します。

${\displaystyle {\vec {q}}=-K\nabla h}$

地下水流動方程式は、帯水層の透過率と貯留率を使用して、時間とともに変化する多次元の地下水流動を記述します。

${\displaystyle T\nabla^{2}h=S{\partial h \over \partial t}}$

移流分散方程式は、溶質の分散係数と地下水の速度を使用して、安定した 1 次元の流れにおける溶質の動きを記述します。

${\displaystyle D{\partial ^{2}C \over \partial x^{2}}-v{\partial C \over \partial x}={\partial C \over \partial t}}$

ポアズイユの法則は、せん断応力を用いて層流の安定した一次元流体の流れを説明します。

${\displaystyle {\partial P \over \partial x}=-\mu {\partial \tau \over \partial y}}$

コーシー積分は境界値問題を解く積分法である。

${\displaystyle f(a)={\frac {1}{2\pi i}}\oint _{\gamma }{\frac {f(z)}{za}}\,dz}$

代数方程式、微分方程式、積分方程式の正確な解は、多くの場合、指定された境界条件と単純化された仮定を使用して見つけることができます。ラプラス変換法とフーリエ変換法は、微分方程式と積分方程式の解析解を見つけるために広く使用されています。

現実世界の多くの数学モデルは複雑すぎて、解析解に必要な単純化の仮定を満たすことができません。このような場合、モデル作成者は正確な解を近似する数値解を開発します。解法の手法には、有限差分法や有限要素法など、さまざまなものがあります。

グラフィカル ユーザー インターフェイスと複雑なコードを使用して一連の方程式を解くための専用ソフトウェアも使用できます。これにより、解は比較的迅速に得られ、システムに関する深い知識のない素人やエンド ユーザーでもプログラムを操作できます。地表水の流れ、栄養素の輸送と運命、地下水の流れなど、何百もの水文学的目的のためのモデル ソフトウェア パッケージがあります。

一般的に使用される数値モデルには、SWAT、MODFLOW、FEFLOW、MIKE SHE、WEAPなどがあります。

物理モデルは、研究対象システムの固有の側面を特徴付けるためにパラメータを使用します。これらのパラメータは、実験室やフィールドでの研究で取得することも、観察された動作とモデル化された動作との間の最良の対応を見つけることで推定することもできます。 ^{[40] [41] [42] [43]}物理的および水文学的な類似性を持つ隣接する集水域間では、モデルパラメータは滑らかに変化し、パラメータの空間的転送可能性を示唆しています。^[44]

モデル評価は、較正されたモデルがモデル作成者のニーズを満たす能力を判断するために使用されます。水文学モデルの適合性を測定するために一般的に使用される指標は、ナッシュ・サトクリフ効率係数です。

• 水文学的最適化
• 科学的モデリング
• 土壌と水の評価ツール

• http://drought.unl.edu/MonitoringTools/DownloadableSPIProgram.aspx