退化分布

確率論において、測度空間上の退化分布${\displaystyle (E,{\mathcal {A}},\mu )}$は、サポートがに関するヌル集合である確率分布である。${\displaystyle \mu }$例えば、ルベーグ測度を備えたn次元空間ℝ ⁿにおいて、d < nである d 次元部分空間に集中する任意の分布は、 ℝ ⁿ上の退化分布である。^{[ 1 ]}これは本質的に特異確率測度と同じ概念であるが、退化という用語は通常、分布が(非退化) 分布の極限として現れる場合に用いられる。

退化分布のサポートが一点aである場合、この分布はaにおけるディラック測度となります。つまり、確率 1 でaに等しい決定論的確率変数の分布です。これは離散分布 の特殊なケースであり、その確率質量関数はaでは 1 、それ以外の場所では 0 となります。

実数値確率変数の場合、aに局在する退化分布の累積分布関数は次のようになります。 $${\displaystyle F_{a}(x)=\left\{{\begin{matrix}1,&{\mbox{if }}x\geq a\\0,&{\mbox{if }}x<a\end{matrix}}\right.}$$このような退化分布は、分散が0になる連続分布 の極限としてしばしば現れる。

定数確率変数とは、発生する事象に関わらず一定の値をとる離散確率変数のことです。これは、確率がゼロの事象でのみ他の値をとる可能性のあるほぼ確実に定数となる確率変数とは厳密には異なります。確率空間(Ω, ℙ)上で定義された実数値確率変数X : Ω → ℝを考えます。このとき、ある条件が満たされるならば、Xはほぼ確実に定数となる確率変数です。${\displaystyle a\in \mathbb {R} }$そのため $${\displaystyle \mathbb {P} (X=a)=1,}$$ さらに、定数確率変数である場合 $${\displaystyle X(\omega )=a,\quad \forall \omega \in \Omega .}$$ 定数確率変数はほぼ確実に定数ですが、その逆は真ではありません。なぜなら、Xがほぼ確実に定数であっても、 X (ω) ≠ aとなるようなω ∈ Ωが存在する可能性があるからです。実際的な目的においては、 X が定数であるかほぼ確実に定数であるかの区別は重要ではありません。なぜなら、これら 2 つの状況は同じ退化分布、すなわちディラック測度に対応するからです。

ほぼ確実に定数確率変数はあらゆるものから独立している。つまり、${\displaystyle X}$はほぼ確実に一定であり、すべてのイベントに対して${\displaystyle A}$そしてあらゆる測定可能な集合${\displaystyle B\subset \mathbb {R} }$、 $$\displaystyle \mathbb {P} (\{X\in B\}\cap A)=\mathbb {P} (X\in B)\times \mathbb {P} (A).$$ 特に、ほぼ確実に定数である確率変数は、それ自身とは独立である。さらに、この自己独立性は、ほぼ確実に定数である確率変数の特徴である。すなわち、確率変数がそれ自身とは独立であれば、それはほぼ確実に定数である。

n個の確率変数における多変量分布の退化は、サポートがnより小さい次元の空間にある場合に発生します。^{[ 1 ]}これは、少なくとも 1 つの変数が他の変数の決定論的関数である場合に発生します。たとえば、2 変数の場合、スカラー確率変数XとY、およびスカラー定数a ≠ 0 とbに対してY = aX + bであると仮定します。ここで、 XまたはYのいずれかの値を知ることで、もう一方の値を正確に知ることができます。すべての可能な点 ( x , y ) は、1 次元直線y = ax + b上にあります。

一般に、n個の確率変数のうち 1 つ以上が他の変数によって正確に線形決定される場合、共分散行列が存在するならば、そのランクはn ^{[ 1 ]}より小さく、その行列式は 0 であるため、正定値半正定値ではあるが正定値ではなく、結合確率分布は退化している。

非ゼロ共分散の場合でも縮退が発生することがあります。たとえば、スカラーX が0 を中心に対称的に分布し、 Yが正確にY = X ²で与えられる場合、すべての可能な点 ( x , y ) は放物線y = x ²上にあり、これは 2 次元空間の 1 次元部分集合です。