センター（群論）

抽象代数学では、群Gの中心は、 Gのどの元とも可換な元の集合である。これはドイツ語のZentrum (中心)からZ( G )と表記される。集合構築記法では、

Z ( G ) = { z∈G | ∀g∈G , zg = gz }です。

中心は正規部分群Z ( G ) ⊲ Gであり、特性部分群でもあるが、必ずしも完全に特性である必要はない。商群G / Z( G )は、内部自己同型群Inn( G )と同型である。

群Gがアーベル群であるためには、Z( G ) = Gが成立する必要があります。反対に、 Z( G )が自明な場合、つまり単位元のみで構成される場合、群は中心を持たないと言われます。

中心の要素は中心となる要素です。

Gの中心は常にGの部分群である。特に、

1. Z( G )にはGの単位元が含まれます。これは定義によりgのすべての元と可換であるためです。eg = g = ge、ここでe は単位元です。
2. xとyがZ( G )に含まれる場合、結合法則によりxyも Z( G ) に含まれます: 各g ∈ Gに対して( xy ) g = x ( yg ) = x ( gy ) = ( xg ) y = ( gx ) y = g ( xy )が成り立ちます。つまり、Z( G )は閉じています。
3. x がZ( G )に含まれる場合、 x ⁻¹も含まれ、 Gのすべてのgに対して、x ^{−1 は}gと可換です: ( gx = xg ) ⇒ ( x ⁻¹ gxx ⁻¹ = x ⁻¹ xgx ⁻¹ ) ⇒ ( x ⁻¹ g = gx ⁻¹ )。

さらに、 Gの中心は常にGのアーベル群かつ正規部分群である。Z( G )のすべての元は可換なので、共役に関して閉じている。

群準同型写像f  : G → Hは、その中心間の準同型写像に制限されない場合があります。像元 f ( g )は像f ( G )と可換ですが、 fが射影的でない限り、Hのすべてと可換である必要はありません 。したがって、中心写像は矢印の写像を誘導しないため、カテゴリ Grp と Ab の間の関数ではありません。 ${\displaystyle G\to Z(G)}$

定義により、共役類にその元だけが含まれる場合、つまりCl( g ) = { g }の場合、その元は中心となります。

中心はGの元の中心化点すべての交点である。

${\displaystyle Z(G)=\bigcap _{g\in G}Z_{G}(g).}$

中心化者はサブグループなので、中心もサブグループであることが再び示されます。

Gから、 f ( g ) = ϕ _gで定義されるGの自己同型群への写像f  : G → Aut( G )を考える。ここで、ϕ _gは、次のように定義される Gの自己同型である。

f ( g )( h ) = ϕg ( h ) = ghg ⁻¹_です。

関数f は群準同型であり、その核はGの中心であり、その像はGの内部自己同型群と呼ばれ、Inn( G )と表記されます。第一同型定理により、次の式が得られます。

G /Z( G ) ≃ Inn( G )です。

この写像の余核は外部自己同型群Out( G )であり、これらは正確な列を形成する。

1 ⟶ Z( G ) ⟶ G ⟶ Aut( G ) ⟶ Out( G ) ⟶ 1。

• アーベル群Gの中心はG全体です。
• ハイゼンベルク群の中心Hは、次の形式の行列の集合です。$${\displaystyle {\begin{pmatrix}1&0&z\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix}}}$$
• 非可換 単純群の中心は自明である。
• 二面体群の中心D _nは、n ≥ 3 の奇数に対しては自明です。 n ≥ 4 の偶数に対しては、中心は単位元と多角形の 180° 回転の組み合わせで構成されます。
• 四元数群の中心Q ₈ = {1, −1, i, −i, j, −j, k, −k}は{1, −1}です。
• 対称群の中心S _nは、n ≥ 3に対して自明です。
• 交代群の中心An_は、n ≥ 4に対して自明である。
• 体F上の一般線型群GL _n (F)の中心は、スカラー行列の集合{ sI _n ∣ s ∈ F \ {0} }です。
• 直交群O n ₍ F)の中心は{I _n , −I _n }です。
• 特殊直交群の中心SO( n )は、n = 2のとき群全体であり、それ以外の場合、 nが偶数のときは{ _In、−In }であり、nが奇数のときは自明_である。
• ユニタリ群の中心はです。${\displaystyle U(n)}$${\displaystyle \left\{e^{i\theta }\cdot I_{n}\mid \theta \in [0,2\pi )\right\}}$
• 特殊ユニタリ群の中心はです。${\displaystyle \operatorname {SU} (n)}$${\textstyle \left\lbrace e^{i\theta }\cdot I_{n}\mid \theta ={\frac {2k\pi }{n}},k=0,1,\dots ,n-1\right\rbrace }$
• 非ゼロ四元数の乗法群の中心は、非ゼロ実数の乗法群です。
• クラス方程式を使用すると、任意の非自明な有限 p 群の中心が非自明であることを証明できます。
• 商群 G /Z( G )が巡回群である場合、G はアーベル群です(したがってG = Z( G )であり、G /Z( G )は自明です)。
• ルービック キューブ グループの中心は、恒等式 (つまり、解かれた状態) とスーパーフリップの 2 つの要素で構成されます。ポケット キューブグループの中心は自明です。
• メガミンクス群の中心は位数 2 であり、キロミンクス群の中心は自明です。

群の中心で割ると、上中心級数と呼ばれる群の列が得られます。

( G ₀ = G ) ⟶ ( G ₁ = G ₀ /Z( G ₀ )) ⟶ ( G ₂ = G ₁ /Z( G ₁ )) ⟶ ⋯

マップG → G _iの核は、 Gのi番目の^中心[1]（第 2 の中心、第 3 の中心など）であり、 Z ⁱ ( G )と表記されます。^[2]具体的には、 ( i +1 ) 番目の中心は、 i番目の中心の要素までのすべての要素と可換な要素で構成されます。この定義に従って、グループの 0 番目の中心を単位元部分群として定義できます。これは、超限帰納法によって超限順序数にまで継続できます。すべての高次の中心の和集合は超中心と呼ばれます。^{[注 1]}

サブグループの 上昇チェーン

1 ≤ Z( G ) ≤ Z ² ( G ) ≤ ⋯

G _{i が}中心を持たない 場合のみ、iで安定します(つまり、Z ⁱ ( G ) = Z ⁱ⁺¹ ( G ) ) 。

• 中心のない群の場合、すべての高次の中心はゼロであり、これは安定化のZ ⁰ ( G ) = Z ¹ ( G )の場合です。
• グリュンの補題により、完全群をその中心で割った商は中心がないので、それより高次の中心はすべて中心に等しくなります。これは、 Z ¹ ( G ) = Z ² ( G )で安定化するケースです。

• センター（代数）
• 中心（環理論）
• 集中化と標準化
• 共役クラス

• ジョン B. フレイリー (2014)。抽象代数の最初のコース(第 7 版)。ピアソン。ISBN 978-1-292-02496-7。

• 「群の中心」、数学百科事典、EMS Press、2001 [1994]