ポケットキューブ

ポケットキューブ（ミニキューブとも呼ばれる）は、 1970年にアメリカのパズルデザイナー、ラリー・D・ニコルズによって発明された2×2×2の組み合わせパズルです。^[1]このキューブは8つのピースで構成されており、すべて角になっています。

1970 年 2 月、ラリー D. ニコルズが2×2×2 の「グループで回転可能なピースを備えたパズル」を発明し、カナダで特許を申請しました。ニコルズのキューブは磁石で固定されていました。ニコルズは、ルービックキューブを発明する 2 年前の 1972 年 4 月 11 日に米国特許 3,655,201 を取得しました。

ニコルズは特許を雇用主のモレキュロン・リサーチ社に譲渡し、同社は1982年にアイデアル社を訴えた。1984年、アイデアル社は特許侵害訴訟に敗訴し控訴した。1986年、控訴裁判所はルービックの2×2×2ポケットキューブがニコルズの特許を侵害しているという判決を支持したが、ルービックの3×3×3キューブの判決は覆した。^[2]

3×3×3立方体の群論は2×2×2立方体にも応用できます。^[3]群の要素は通常、立方体上で実行できる動き（層の個々の回転と複数の回転からの複合的な動きの両方）であり、群演算子は動きの連結です。

2×2×2 立方体のグループを分析するには、立方体の構成を決定する必要があります。これは、次のパラメータで構成される 2 組として表すことができます。

• コーナーピースの位置を全単射関数として表す（順列）
• コーナーピースの方向をベクトルxとして表す

すべての動きの集合からの2 つの動きと は、それらが立方体の初期構成が同じで同じ構成を生成する場合、等しいとみなされます。2×2×2 立方体には固定された中心ピースがないため、立方体の固定された向きや上面は存在しないことも考慮する必要があります。したがって、と によって同値関係が導入され、同じ立方体構成になります (立方体を回転させることもできます)。この関係は反射的で、2 つの同一の動きによって、立方体が初期構成が同じで最終構成が同じになります。さらに、この関係は対称的かつ推移的で、数学的な等式関係に似ています。 ${\displaystyle M_{1}}$${\displaystyle M_{2}}$${\displaystyle A_{M}}$ ${\displaystyle \sim}$${\displaystyle M_{1}\sim M_{2}:=M_{1}}$${\displaystyle M_{2}}$

この同値関係により、すべての動きの集合上でで定義される同値クラスを形成できます。したがって、各同値クラスには、同値関係を持つ動きと同等な、集合のすべての動きが含まれます。は のサブセットです。同値クラスのすべての同値な要素は、その同値クラスの代表です。 ${\displaystyle [M]:=\{M'\in A_{M}|M'\sim M\}\subseteq A_{M}}$${\displaystyle A_{M}}$${\displaystyle [M]}$${\displaystyle A_{M}}$${\displaystyle [M]}$${\displaystyle A_{M}}$${\displaystyle [M]}$

これらの同値類を使用して商集合を 形成できます。商集合には、同じ動きを 2 回含まずに、すべての立方体の動きの同値類が含まれます。 の要素はすべて、同値関係 に関する同値類です。したがって、次が適用されます。この商集合は、立方体のグループの集合です。 ${\displaystyle A_{M}/\sim }$${\displaystyle A_{M}/\sim }$${\displaystyle \sim}$${\displaystyle A_{M}/\sim :=\{[M]|M\in A_{M}\}}$

2×2×2 のルービック キューブには、8 つの順列オブジェクト (コーナー ピース) があり、8 つのコーナー ピースの向きは 3 通り、キューブの回転は 24 通り可能です (一意の上側が存在しないためです)。

8 つのコーナーの任意の順列が可能 (8 !の位置) で、そのうち 7 つは3 つの可能な方向 (3 ^{7 の位置) で独立して}回転できます。空間内での立方体の方向を特定するものは何もないので、位置は 24 分の 1 に減ります。これは、固定された中心がないため、最初のコーナーの 24 個の可能な位置と方向がすべて等しくなるためです (円順列で発生するのと同様)。この要因は、 Nが奇数のN × N × N立方体の順列を計算するときには現れません。これらのパズルには、立方体の空間方向を特定する固定された中心があるためです。立方体の可能な位置の数は

${\displaystyle {\frac {8!\times 3^{7}}{24}}=7!\times 3^{6}=3,674,160.}$グループの順番もこれです。

どのようなキューブ構成でも、最大14回転（1/4回転のみの場合）または最大11回転（1/4回転に加えて半回転の場合）で解くことができます。^[4]

n回の任意の（半回転または 1/4 回転）回転を必要とする位置の数aと、 n回の 1/4 回転のみを必要とする位置の数q は次のとおりです。

2生成子群（隣接する2つの面の回転によって生成される位置の数）の順序は29,160である。 ^[5]

これらの結果を生成するコードはここにあります。^[6]

ポケット キューブは、3x3x3のルービック キューブと同じ方法で解くことができます。つまり、3x3x3 の中心と辺が解かれた (見えない) キューブとして扱うだけです。より高度な方法では、複数のステップが組み合わされ、より多くのアルゴリズムが必要になります。2x2x2 キューブを解くために設計されたこれらのアルゴリズムは、3x3x3 キューブを解くために使用するアルゴリズムよりも大幅に短く高速であることがよくあります。

オルテガ法^[7]はヴァラサノ法^[8]とも呼ばれ、中間的な方法です。最初に面が構築され（ただし、ピースの順序が間違っている可能性があります）、次に最後のレイヤーの方向が決められ（OLL）、最後に両方のレイヤーが順序付けられます（PBL）。オルテガ法には合計12のアルゴリズムが必要です。

CLL法^[9]は、最初に層（正しい順列）を構築し、次に42のアルゴリズムの1つを使用して2番目の層を1つのステップで解きます。^[10] CLLのより高度なバージョンは、 Twisty CLLとしても知られるTCLL法です。1つの層は通常のCLLと同様に正しい順列で構築されますが、1つのコーナーピースが間違った向きになっている可能性があります。キューブの残りの部分は解かれ、間違ったコーナーの向きが1つのステップで修正されます。TCLLには83のケースがあります。^[11]

より高度な方法の1つはEG法です。^[12]この方法はオルテガ法のように面を構築することから始まり、その後パズルの残りの部分を1つのステップで解きます。128のアルゴリズムを知る必要があり、そのうち42はCLLアルゴリズムです。

トップレベルのスピードキューバーは、パズルを1ルックすることもあります。 ^[13] これは、キューブ全体を検査し、解答者に割り当てられた15秒間の検査時間内に最善の解決策を計画することを意味します。

表記は 3×3×3 表記に基づいていますが、一部の動きは冗長です (すべての動きは 90°、'2' で終わる動きは 180° 回転です)。

• Rは立方体の右面を時計回りに回転することを表す
• Uは立方体の上面を時計回りに回転することを表す
• Fは立方体の前面を時計回りに回転することを表す
• R'は立方体の右面の反時計回りの回転を表す
• U'は立方体の上面を反時計回りに回転することを表す
• F'は立方体の前面を反時計回りに回転させることを表す

^[14]

最速シングルソルブタイムの世界記録は、ポーランドのテオドール・ザイデルがワルシャワキューブマスターズ2023で記録した0.43秒である。 ^[15]

5回の解法（最速と最遅を除く）の平均世界記録は0.92秒で、ジョホールキューブオープン2024で中国の王艺衡（ワン・イーヘン）が、ニューカンバーランドカウンティ2024でアメリカのゼイン・カナニがそれぞれ樹立した（タイムは下記参照）。 ^[16]前者のイベントでは、王が平均0.78秒を記録し、0.74、（0.70）、（0.97）、0.78、0.81秒だったが、王の偉業をフレームごとに分析したところ、世界キュービング協会（WCA）の規則に違反する「スライディング」というテクニックを使用していたことが明らかになった。WCAの理事会とWCA規則委員会の間での長い審議と会員からの抗議の後、王は遡及的に4回の解法にさらに秒数が加算されるペナルティを受けた。^[17]

• ルービックキューブ（3×3×3）
• ルービックリベンジ(4×4×4)
• 教授のキューブ(5×5×5)
• Vキューブ6（6×6×6）
• ブイキューブ7（7×7×7）
• Vキューブ8（8×8×8）
• 組み合わせパズル

• 2×2×2を高速に解く方法
• ルービックキューブのすべての順列を列挙するコード