正規閉包（群論）

群論では、群の部分集合の正規閉包とは、を含む最小の正規部分群である。 ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle G}$${\displaystyle G}$${\displaystyle S.}$

正式には、が群であり、がの正規閉包の部分集合である場合、はを含むすべての正規部分群の共通集合である：^[1]${\displaystyle G}$${\displaystyle S}$${\displaystyle G,}$${\displaystyle \operatorname {ncl} _{G}(S)}$${\displaystyle S}$${\displaystyle G}$${\displaystyle S}$ $${\displaystyle \operatorname {ncl} _{G}(S)=\bigcap _{S\subseteq N\triangleleft G}N.}$$

正規閉包は、を含むすべての正規部分群の部分集合であるという意味で^[1]を含む最小の正規部分群である。${\displaystyle \operatorname {ncl} _{G}(S)}$${\displaystyle G}$${\displaystyle S,}$${\displaystyle \operatorname {ncl} _{G}(S)}$${\displaystyle G}$${\displaystyle S.}$

部分群は、の元の共役集合によって生成される。${\displaystyle \operatorname {ncl} _{G}(S)}$${\displaystyle S^{G}=\{s^{g}:g\in G\}=\{g^{-1}sg:g\in G\}}$${\displaystyle S}$${\displaystyle G.}$

したがって、次のように書くこともできる。 $${\displaystyle \operatorname {ncl} _{G}(S)=\{g_{1}^{-1}s_{1}^{\epsilon _{1}}g_{1}\dots g_{n}^{-1}s_{n}^{\epsilon _{n}}g_{n}:n\geq 0,\epsilon _{i}=\pm 1,s_{i}\in S,g_{i}\in G\}.}$$

任意の正規部分群はその正規閉包に等しい。空集合 の共役閉包は自明部分群である。^[2]${\displaystyle \varnothing }$

文献では、正規閉包を表すために、以下のような様々な表記法が使用されている。${\displaystyle \langle S^{G}\rangle ,}$ ${\displaystyle \langle S\rangle ^{G},}$ ${\displaystyle \langle \langle S\rangle \rangle _{G},}$${\displaystyle \langle \langle S\rangle \rangle ^{G}.}$

正規閉包の概念の双対として、正規内部または正規核^{の概念があり、 [3]}に含まれるすべての正規部分群の結合として定義されます。${\displaystyle S.}$

生成子と定義関係子を持つ表示によって与えられた群に対して、表示表記は、が^[4]上の自由群である商群であることを意味する。${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G=\langle S\mid R\rangle }$${\displaystyle S}$ ${\displaystyle R,}$${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G=F(S)/\operatorname {ncl} _{F(S)}(R),}$${\displaystyle F(S)}$${\displaystyle S.}$