角運動量 昇降演算子の概念の具体的な応用例は、角運動量 の量子力学的 処理に見られる。成分がJ x J y J z ベクトル J に対して、2 つの昇降演算子[ 3 ]が定義される。 J + = J x + 私 J y 、 J − = J x − 私 J y 、 {\displaystyle {\begin{aligned}J_{+}&=J_{x}+iJ_{y},\\J_{-}&=J_{x}-iJ_{y},\end{aligned}}} iは 虚数単位 である。
任意の角運動量演算子の デカルト 成分間の交換関係 は次のように与えられる。 [ J 私 、 J j ] = 私 ℏ ϵ 私 j k J k 、 {\displaystyle [J_{i},J_{j}]=i\hbar \epsilon _{ijk}J_{k},} 、ε ijk はレヴィ・チヴィタ記号 であり、i 、j 、kはそれぞれ x 、y 、z のいずれかの値をとることができます。
このことから、昇降演算子とJ z の間の交換関係が得られる。 [ J z 、 J ± ] = ± ℏ J ± 、 [ J + 、 J − ] = 2 ℏ J z {\displaystyle {\begin{aligned}{}[J_{z},J_{\pm }]&=\pm \hbar J_{\pm },\\{}[J_{+},J_{-}]&=2\hbar J_{z}\end{aligned}}} s l （ 2 、 R ） {\displaystyle {{\mathfrak {s}}l}(2,\mathbb {R} )}
ラダー演算子の特性は、与えられた状態に対する J z演算子の作用をどのように変更するかを観察することによって決定できます。 J z J ± | j m ⟩ = （ J ± J z + [ J z 、 J ± ] ） | j m ⟩ = （ J ± J z ± ℏ J ± ） | j m ⟩ = ℏ （ m ± 1 ） J ± | j m ⟩ 。 {\displaystyle {\begin{aligned}J_{z}J_{\pm }|j\,m\rangle &={\big (}J_{\pm }J_{z}+[J_{z},J_{\pm }]{\big )}|j\,m\rangle \\&=(J_{\pm }J_{z}\pm \hbar J_{\pm })|j\,m\rangle \\&=\hbar (m\pm 1)J_{\pm }|j\,m\rangle .\end{aligned}}}
この結果を以下と比較してください J z | j （ m ± 1 ） ⟩ = ℏ （ m ± 1 ） | j （ m ± 1 ） ⟩ 。 {\displaystyle J_{z}|j\,(m\pm 1)\rangle =\hbar (m\pm 1)|j\,(m\pm 1)\rangle .}
したがって、次のような結論が得られる。J ± | j m ⟩ {\displaystyle {J_{\pm }|j\,m\rangle }} スカラー に| j （ m ± 1 ） ⟩ {\displaystyle {|j\,(m\pm 1)\rangle }} J + | j m ⟩ = α | j （ m + 1 ） ⟩ 、 J − | j m ⟩ = β | j （ m − 1 ） ⟩ 。 {\displaystyle {\begin{aligned}J_{+}|j\,m\rangle &=\alpha |j\,(m+1)\rangle ,\\J_{-}|j\,m\rangle &=\beta |j\,(m-1)\rangle .\end{aligned}}}
これは、量子力学における昇降演算子の決定的な特徴、すなわち量子数を増減させることで、ある量子状態を 別の量子状態に写像することを示しています。そのため、昇降演算子と呼ばれることが多いのです。
α とβ の値を取得するには、まず各演算子のノルムを取り、J + とJ −が エルミート共役 対であることを認識する（J ± = J ∓ † {\displaystyle J_{\pm }=J_{\mp }^{\dagger }} ⟨ j m | J + † J + | j m ⟩ = ⟨ j m | J − J + | j m ⟩ = ⟨ j （ m + 1 ） | α * α | j （ m + 1 ） ⟩ = | α | 2 、 ⟨ j m | J − † J − | j m ⟩ = ⟨ j m | J + J − | j m ⟩ = ⟨ j （ m − 1 ） | β * β | j （ m − 1 ） ⟩ = | β | 2 。 {\displaystyle {\begin{aligned}&\langle j\,m|J_{+}^{\dagger }J_{+}|j\,m\rangle =\langle j\,m|J_{-}J_{+}|j\,m\rangle =\langle j\,(m+1)|\alpha ^{*}\alpha |j\,(m+1)\rangle =|\alpha |^{2},\\&\langle j\,m|J_{-}^{\dagger }J_{-}|j\,m\rangle =\langle j\,m|J_{+}J_{-}|j\,m\rangle =\langle j\,(m-1)|\beta ^{*}\beta |j\,(m-1)\rangle =|\beta |^{2}.\end{整列}}}
昇降演算子の積は、可換ペアJ 2 とJ z を用いて次のように表すことができる。 J − J + = （ J x − 私 J y ） （ J x + 私 J y ） = J x 2 + J y 2 + 私 [ J x 、 J y ] = J 2 − J z 2 − ℏ J z 、 J + J − = （ J x + 私 J y ） （ J x − 私 J y ） = J x 2 + J y 2 − 私 [ J x 、 J y ] = J 2 − J z 2 + ℏ J z 。 {\displaystyle {\begin{aligned}J_{-}J_{+}&=(J_{x}-iJ_{y})(J_{x}+iJ_{y})=J_{x}^{2}+J_{y}^{2}+i[J_{x},J_{y}]=J^{2}-J_{z}^{2}-\hbar J_{z},\\J_{+}J_{-}&=(J_{x}+iJ_{y})(J_{x}-iJ_{y})=J_{x}^{2}+J_{y}^{2}-i[J_{x},J_{y}]=J^{2}-J_{z}^{2}+\hbar J_{z}.\end{aligned}}}
したがって、 | α | 2 と| β | 2 の値は、J2 と Jzの 固有値で 表すことができる。 | α | 2 = ℏ 2 j （ j + 1 ） − ℏ 2 m 2 − ℏ 2 m = ℏ 2 （ j − m ） （ j + m + 1 ） 、 | β | 2 = ℏ 2 j （ j + 1 ） − ℏ 2 m 2 + ℏ 2 m = ℏ 2 （ j + m ） （ j − m + 1 ） 。 {\displaystyle {\begin{aligned}|\alpha |^{2}&=\hbar ^{2}j(j+1)-\hbar ^{2}m^{2}-\hbar ^{2}m=\hbar ^{2}(jm)(j+m+1),\\|\beta |^{2}&=\hbar ^{2}j(j+1)-\hbar ^{2}m^{2}+\hbar ^{2}m=\hbar ^{2}(j+m)(j-m+1).\end{aligned}}}
α とβ の位相は物理的に意味を持たないため、正かつ 実数 として選択できる（コンドン・ショートリー位相規約 ）。すると[ 4 ]が得られる。 J + | j 、 m ⟩ = ℏ （ j − m ） （ j + m + 1 ） | j 、 m + 1 ⟩ = ℏ j （ j + 1 ） − m （ m + 1 ） | j 、 m + 1 ⟩ 、 J − | j 、 m ⟩ = ℏ （ j + m ） （ j − m + 1 ） | j 、 m − 1 ⟩ = ℏ j （ j + 1 ） − m （ m − 1 ） | j 、 m − 1 ⟩ 。 {\displaystyle {\begin{aligned}J_{+}|j,m\rangle &=\hbar {\sqrt {(j-m)(j+m+1)}}|j,m+1\rangle =\hbar {\sqrt {j(j+1)-m(m+1)}}|j,m+1\rangle ,\\J_{-}|j,m\rangle &=\hbar {\sqrt {(j+m)(j-m+1)}}|j,m-1\rangle =\hbar {\sqrt {j(j+1)-m(m-1)}}|j,m-1\rangle .\end{aligned}}}
mが j の値によって制限されていることを確認する(− j ≤ m ≤ j {\displaystyle -j\leq m\leq j} J + | j 、 + j ⟩ = 0 、 J − | j 、 − j ⟩ = 0. {\displaystyle {\begin{aligned}J_{+}|j,\,+j\rangle &=0,\\J_{-}|j,\,-j\rangle &=0.\end{aligned}}}
上記の説明は、実質的にクレブシュ・ゴルダン係数 の構築である。
原子・分子物理学における応用 原子系または分子系のハミルトニアンには、角運動量演算子のスカラー積 を含む項が多数あります。例として、超微細ハミルトニアンの磁気双極子項が 挙げられます。[ 5 ] H ^ D = A ^ 私 ⋅ J 、 {\displaystyle {\hat {H}}_{\text{D}}={\hat {A}}\mathbf {I} \cdot \mathbf {J} ,} I は核スピンを表す。
角運動量代数は、球面基底 で再定式化することで簡略化できることが多い。球面テンソル演算子の表記法を用いると、 J (1) ≡ J の「−1」、「0」、「+1」成分は[ 6 ] J − 1 （ 1 ） = 1 2 （ J x − 私 J y ） = J − 2 、 J 0 （ 1 ） = J z 、 J + 1 （ 1 ） = − 1 2 （ J x + 私 J y ） = − J + 2 。 {\displaystyle {\begin{aligned}J_{-1}^{(1)}&={\dfrac {1}{\sqrt {2}}}(J_{x}-iJ_{y})={\dfrac {J_{-}}{\sqrt {2}}},\\J_{0}^{(1)}&=J_{z},\\J_{+1}^{(1)}&=-{\frac {1}{\sqrt {2}}}(J_{x}+iJ_{y})=-{\frac {J_{+}}{\sqrt {2}}}.\end{aligned}}}
これらの定義から、上記のスカラー積は次のように展開できることが示される。 私 （ 1 ） ⋅ J （ 1 ） = ∑ n = − 1 + 1 （ − 1 ） n 私 n （ 1 ） J − n （ 1 ） = 私 0 （ 1 ） J 0 （ 1 ） − 私 − 1 （ 1 ） J + 1 （ 1 ） − 私 + 1 （ 1 ） J − 1 （ 1 ） 。 {\displaystyle \mathbf {I} ^{(1)}\cdot \mathbf {J} ^{(1)}=\sum _{n=-1}^{+1}(-1)^{n}I_{n}^{(1)}J_{-n}^{(1)}=I_{0}^{(1)}J_{0}^{(1)}-I_{-1}^{(1)}J_{+1}^{(1)}-I_{+1}^{(1)}J_{-1}^{(1)}.}
この展開の意義は、ハミルトニアンでこの項によって結合される状態、つまり量子数がm i = ±1 とm j = ∓1だけ 異なる状態を明確に示すことである。
水素様原子 文献には、昇降演算子を用いた2つの主要なアプローチが示されている。1つはラプラス・ルンゲ・レンツベクトルを用いるもので、もう1つはハミルトニアンの因数分解を用いるものである。
昇降演算子の概念のもう 1 つの応用例は、水素様原子およびイオンの電子エネルギーの量子力学的処理に見られます。ラプラス・ルンゲ・レンツベクトルは、逆二乗球対称ポテンシャルのハミルトニアンと可換であり、このポテンシャルの昇降演算子を決定するために使用できます。 [ 7 ] [ 8 ] 古典的なラプラス・ルンゲ・レンツベクトル に基づいて、降下演算子と昇降演算子を定義できます。 A → = （ 1 Z e 2 μ ） { L → × p → − 私 ℏ p → } + r → r 、 {\displaystyle {\vec {A}}=\left({\frac {1}{Ze^{2}\mu }}\right)\left\{{\vec {L}}\times {\vec {p}}-{\boldsymbol {i}}\hbar {\vec {p}}\right\}+{\frac {\vec {r}}{r}},} L → {\displaystyle {\vec {L}}} p → {\displaystyle {\vec {p}}} μ {\displaystyle \mu } 換算質量 であり、e {\displaystyle e} Z {\displaystyle Z} 原子番号である。角運動量昇降演算子と同様に、 A + = A x + 私 A y {\displaystyle A_{+}=A_{x}+iA_{y}} A − = A x − 私 A y {\displaystyle A_{-}=A_{x}-iA_{y}}
進行に必要な整流子は [ A ± 、 L z ] = ∓ 私 ℏ A ∓ {\displaystyle [A_{\pm },L_{z}]=\mp {\boldsymbol {i}}\hbar A_{\mp }} [ A ± 、 L 2 ] = ∓ 2 ℏ 2 A ± − 2 ℏ A ± L z ± 2 ℏ A z L ± 。 {\displaystyle [A_{\pm },L^{2}]=\mp 2\hbar ^{2}A_{\pm }-2\hbar A_{\pm }L_{z}\pm 2\hbar A_{z}L_{\pm }.} A + | ？ 、 ℓ 、 m ℓ ⟩ → | ？ 、 ℓ 、 m ℓ + 1 ⟩ {\displaystyle A_{+}|?,\ell ,m_{\ell }\rangle \rightarrow |?,\ell ,m_{\ell }+1\rangle } − L 2 （ A + | ？ 、 ℓ 、 ℓ ⟩ ） = − ℏ 2 （ ℓ + 1 ） （ （ ℓ + 1 ） + 1 ） （ A + | ？ 、 ℓ 、 ℓ ⟩ ） 、 {\displaystyle -L^{2}\left(A_{+}|?,\ell ,\ell \rangle \right)=-\hbar ^{2}(\ell +1)((\ell +1)+1)\left(A_{+}|?,\ell ,\ell \rangle \right),} A + | ？ 、 ℓ 、 ℓ ⟩ → | ？ 、 ℓ + 1 、 ℓ + 1 ⟩ 、 {\displaystyle A_{+}|?,\ell ,\ell \rangle \rightarrow |?,\ell +1,\ell +1\rangle ,}
パウリ方程式[ 9 ] [ 10 ] 1 − A ⋅ A = − （ 2 E μ Z 2 e 4 ） （ L 2 + ℏ 2 ） {\displaystyle 1-A\cdot A=-\left({\frac {2E}{\mu Z^{2}e^{4}}}\right)(L^{2}+\hbar ^{2})} （ A × A ） j = − （ 2 私 ℏ E μ Z 2 e 4 ） L j 、 {\displaystyle \left(A\times A\right)_{j}=-\left({\frac {2{\boldsymbol {i}}\hbar E}{\mu Z^{2}e^{4}}}\right)L_{j},} A − A + | ℓ * 、 ℓ * ⟩ = 0 {\displaystyle A_{-}A_{+}|\ell ^{*},\ell ^{*}\rangle =0} ℓ * {\displaystyle \ell ^{*}} （ 1 + 2 E μ Z 2 e 4 （ L 2 + ℏ 2 ） − 私 2 私 ℏ E μ Z 2 e 4 L z ） | ？ 、 ℓ * 、 ℓ * ⟩ = 0 、 {\displaystyle \left(1+{\frac {2E}{\mu Z^{2}e^{4}}}(L^{2}+\hbar ^{2})-i{\frac {2i\hbar E}{\mu Z^{2}e^{4}}}L_{z}\right)|?,\ell ^{*},\ell ^{*}\rangle =0,} これはリュードベリの公式 につながる。E n = − μ Z 2 e 4 2 ℏ 2 （ ℓ * + 1 ） 2 、 {\displaystyle E_{n}=-{\frac {\mu Z^{2}e^{4}}{2\hbar ^{2}(\ell ^{*}+1)^{2}}},} ℓ * + 1 = n = ？ {\displaystyle \ell ^{*}+1=n=?} n {\displaystyle n}
群論との関連性 システムに縮退がある場合、通常は関連する対称性特性と群が存在します。同じ値に対するエネルギー準位の縮退は、n {\displaystyle n} SO(4) 対称性として特定されている。 [ 13 ] [ 14 ]
3D等方性調和振動子 3D等方性調和振動子のポテンシャルは次のように与えられる。 V （ r ） = 1 2 μ ω 2 r 2 。 {\displaystyle V(r)={\tfrac {1}{2}}\mu \omega ^{2}r^{2}.}
同様に、因数分解法を用いて処理することも可能です。
因数分解法 適切な因数分解は[ 12 ]で与えられる。 C l = p r + 私 ℏ （ l + 1 ） r − 私 μ ω r {\displaystyle C_{l}=p_{r}+{\frac {i\hbar (l+1)}{r}}-i\mu \omega r} F l = − （ 2 l + 3 ） μ ω ℏ {\displaystyle F_{l}=-(2l+3)\mu \omega \hbar } G l = − （ 2 l + 1 ） μ ω ℏ 。 {\displaystyle G_{l}=-(2l+1)\mu \omega \hbar .} E l + 1 n ′ = E l n + F l − G l 2 μ = E l n − ω ℏ 、 {\displaystyle E_{l+1}^{n^{'}}=E_{l}^{n}+{\frac {F_{l}-G_{l}}{2\mu }}=E_{l}^{n}-\omega \hbar ,} E l + 2 n ′ = E l n − 2 ω ℏ E l + 3 n ′ = E l n − 3 ω ℏ ⋮ {\displaystyle {\begin{aligned}E_{l+2}^{n^{'}}&=E_{l}^{n}-2\omega \hbar \\E_{l+3}^{n^{'}}&=E_{l}^{n}-3\omega \hbar \\&\;\;\vdots \end{aligned}}} ⟨ ψ | 2 μ H l | ψ ⟩ = ⟨ ψ | C l * C l | ψ ⟩ + ⟨ ψ | （ 2 l + 3 ） μ ω ℏ | ψ ⟩ = ⟨ C l ψ | C l ψ ⟩ + （ 2 l + 3 ） μ ω ℏ ⟨ ψ | ψ ⟩ ≥ 0. {\displaystyle {\begin{aligned}\langle \psi |2\mu H_{l}|\psi \rangle &=\langle \psi |C_{l}^{*}C_{l}|\psi \rangle +\langle \psi |(2l+3)\mu \omega \hbar |\psi \rangle \\&=\langle C_{l}\psi |C_{l}\psi \rangle +(2l+3)\mu \omega \hbar \langle \psi |\psi \rangle \\&\geq 0.\end{aligned}}} l {\displaystyle l} C l 最大 | n l 最大 ⟩ = 0 、 {\displaystyle C_{l_{\text{max}}}|nl_{\text{max}}\rangle =0,} E l 最大 n = − F l 最大 2 μ = （ l 最大 + 3 2 ） ω ℏ 。 {\displaystyle E_{l_{\text{max}}}^{n}=-{\frac {F_{l_{\text{max}}}}{2\mu }}=\left(l_{\text{max}}+{\frac {3}{2}}\right)\omega \hbar .} ω ℏ {\displaystyle \omega \hbar } C l | n 、 l ⟩ = 0 {\displaystyle C_{l}|n,l\rangle =0} l {\displaystyle l} n {\displaystyle n} E l n = − F l = （ n + 3 2 ） ω ℏ 。 {\displaystyle E_{l}^{n}=-F_{l}=\left(n+{\tfrac {3}{2}}\right)\omega \hbar .}
続いてn ′ = n − 1 {\displaystyle n'=n-1} C l | n l ⟩ = λ l n | n − 1 、 l + 1 ⟩ 、 {\displaystyle C_{l}|nl\rangle =\lambda _{l}^{n}|n-1,\,l+1\rangle ,} λ {\displaystyle \lambda } λ l n = − μ ω ℏ 2 （ n − l ） 。 {\displaystyle \lambda _{l}^{n}=-\mu \omega \hbar {\sqrt {2(n-l)}}.}
角運動量による縮退があり、振動子ポテンシャルによる追加の縮退があります。状態を考えてみましょう。| n 、 n ⟩ 、 | n − 1 、 n − 1 ⟩ 、 | n − 2 、 n − 2 ⟩ 、 … {\displaystyle |n,\,n\rangle ,|n-1,\,n-1\rangle ,|n-2,\,n-2\rangle ,\dots } C * {\displaystyle C^{*}} C n − 2 * | n − 1 、 n − 1 ⟩ 、 C n − 4 * C n − 3 * | n − 2 、 n − 2 ⟩ 、 … {\displaystyle C_{n-2}^{*}|n-1,\,n-1\rangle ,C_{n-4}^{*}C_{n-3}^{*}|n-2,\,n-2\rangle ,\dots } | n 、 n ⟩ 、 | n 、 n − 2 ⟩ 、 | n 、 n − 4 ⟩ 、 … {\displaystyle |n,n\rangle ,|n,\,n-2\rangle ,|n,\,n-4\rangle ,\dots } l {\displaystyle l} （ n + 1 ） （ n + 2 ） / 2 {\displaystyle (n+1)(n+2)/2} [ 15 ]
![{\displaystyle [N,X]=cX}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/64f28c80ca3ecb2e7f1456685852aab2fcb39c42)
![{\displaystyle {\begin{aligned}NX|n\rangle &=(XN+[N,X])|n\rangle \\&=XN|n\rangle +[N,X]|n\rangle \\&=Xn|n\rangle +cX|n\rangle \\&=(n+c)X|n\rangle .\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6eaf3806c2784f9cf5f57319df09bc3ff695e511)
![{\displaystyle [N,X^{\dagger }]=-cX^{\dagger }.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e3395ea77248bdf9d4afb58dfd5fc4b2adb3ddf4)
![{\displaystyle [J_{i},J_{j}]=i\hbar \epsilon _{ijk}J_{k},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/452ea8c532b6bf78f44018b1ec58cddcb9b610e8)
![{\displaystyle {\begin{aligned}{}[J_{z},J_{\pm }]&=\pm \hbar J_{\pm },\\{}[J_{+},J_{-}]&=2\hbar J_{z}\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7e85a610441d95fddaadaab428fd1e0b931ace5b)
![{\displaystyle {\begin{aligned}J_{z}J_{\pm }|j\,m\rangle &={\big (}J_{\pm }J_{z}+[J_{z},J_{\pm }]{\big )}|j\,m\rangle \\&=(J_{\pm }J_{z}\pm \hbar J_{\pm })|j\,m\rangle \\&=\hbar (m\pm 1)J_{\pm }|j\,m\rangle .\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/570e9b1203381f8a50d2d876053e4f6dd125735a)
![{\displaystyle {\begin{aligned}J_{-}J_{+}&=(J_{x}-iJ_{y})(J_{x}+iJ_{y})=J_{x}^{2}+J_{y}^{2}+i[J_{x},J_{y}]=J^{2}-J_{z}^{2}-\hbar J_{z},\\J_{+}J_{-}&=(J_{x}+iJ_{y})(J_{x}-iJ_{y})=J_{x}^{2}+J_{y}^{2}-i[J_{x},J_{y}]=J^{2}-J_{z}^{2}+\hbar J_{z}.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/500fe8b785ae37f58fbaaedbaf48c50cf2162e72)
![{\displaystyle [A_{\pm },L_{z}]=\mp {\boldsymbol {i}}\hbar A_{\mp }}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/07f0fe3a400a6139a7980d27bdcbdf0e47c526c8)
![{\displaystyle [A_{\pm },L^{2}]=\mp 2\hbar ^{2}A_{\pm }-2\hbar A_{\pm }L_{z}\pm 2\hbar A_{z}L_{\pm }.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6dc7e94cbadbf04aadec9d98d94cc13eaf47c26e)
![{\displaystyle H={\frac {1}{2\mu }}\left[p_{r}^{2}+{\frac {1}{r^{2}}}L^{2}\right]+V(r),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b454f27492804a67074113ac4cbe0d2c40fd8c69)
![{\displaystyle H_{l}={\frac {1}{2\mu }}\left[p_{r}^{2}+{\frac {1}{r^{2}}}l(l+1)\hbar ^{2}\right]+V(r).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/73fa1652389d58702a4805bcef36ad34ee7cdf6c)
,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3b87daf076075ae7a43f06efb24c476df0516dde)
