ギンツブルグ・ランダウ理論

物理学において、ギンツブルグ・ランダウ理論は、ヴィタリー・ギンツブルグとレフ・ランダウにちなんで名付けられたランダウ・ギンツブルグ理論とも呼ばれ、超伝導を記述するために使用される数学的物理理論です。当初は、微視的特性を調べることなくタイプI超伝導体を記述できる現象論的モデルとして提唱されました。GL型超伝導体の1つは有名なYBCOであり、一般的にはすべての銅酸化物です。^[1]

その後、レフ・ゴルコフ^[2]は、バーディーン・クーパー・シュリーファーの微視的理論からギンツブルグ・ランダウ理論の一種を導き出し、この理論が微視的理論のある極限にも現れることを示し、そのすべてのパラメータの微視的解釈を与えた。この理論には、リーマン幾何学の文脈に置くことで一般的な幾何学的設定を与えることもでき、多くの場合、厳密な解を与えることができる。この一般的な設定は、その可解性と他の同様のシステムとの密接な関係により、量子場理論や弦理論にも拡張される。

ランダウが以前に確立した二次相転移の理論に基づいて、ギンツブルグとランダウは、超伝導転移近くの超伝導体の自由エネルギー密度は、量子力学的波動関数に類似した超伝導電子の局所密度の尺度である複素秩序パラメータ場で表現できると主張した。^[2]は超伝導状態への相転移以下ではゼロではないが、このパラメータの直接的な解釈は元の論文では与えられていない。 が小さく、その勾配が小さいと仮定すると、自由エネルギー密度は場の理論の形を持ち、U(1)ゲージ対称性を示す。 ${\displaystyle f_{s}}$ ${\displaystyle \psi (r)=|\psi (r)|e^{i\phi (r)}}$${\displaystyle |\psi (r)|^{2}}$${\displaystyle n_{s}(r)}$${\displaystyle \psi (r)}$${\displaystyle |\psi |}$

$${\displaystyle f_{s}=f_{n}+\alpha (T)|\psi |^{2}+{\frac {1}{2}}\beta (T)|\psi |^{4}+{\frac {1}{2m^{*}}}\left|\left(-i\hbar \nabla -{\frac {e^{*}}{c}}\mathbf {A} \right)\psi \right|^{2}+{\frac {\mathbf {B} ^{2}}{8\pi }},}$$

どこ

• ${\displaystyle f_{n}}$は、通常相の自由エネルギー密度である。
• ${\displaystyle \alpha (T)}$および はT の関数である現象論的パラメータです（多くの場合、単に およびと表記されます）。${\displaystyle \beta (T)}$${\displaystyle \alpha}$${\displaystyle \beta}$
• ${\displaystyle m^{*}}$有効質量は、
• ${\displaystyle e^{*}}$は有効電荷（通常は、ここでeは電子の電荷）であり、${\displaystyle 2e}$
• ${\displaystyle \mathbf {A} }$は磁気ベクトルポテンシャルであり、
• ${\displaystyle \mathbf {B} =\nabla \times \mathbf {A} }$磁場です。

全自由エネルギーは で与えられる。秩序パラメータとベクトルポテンシャルの変化に関して を最小化することで、ギンツブルグ・ランダウ方程式が得られる。${\displaystyle F=\int f_{s}d^{3}r}$${\displaystyle F}$${\displaystyle \psi}$${\displaystyle \mathbf {A} }$

$${\displaystyle \alpha \psi +\beta |\psi |^{2}\psi +{\frac {1}{2m^{*}}}\left(-i\hbar \nabla -{\frac {e^{*}}{c}}\mathbf {A} \right)^{2}\psi =0}$$

$${\displaystyle \nabla \times \mathbf {B} ={\frac {4\pi }{c}}\mathbf {J} \;\;;\;\;\mathbf {J} ={\frac {e^{*}}{m^{*}}}\operatorname {Re} \left\{\psi ^{*}\left(-i\hbar \nabla -{\frac {e^{*}}{c}}\mathbf {A} \right)\psi \right\},}$$

ここで、 は散逸のない電流密度、Re は実部 を表します。最初の方程式は、時間に依存しないシュレーディンガー方程式と類似点がありますが、非線形項があるため基本的に異なり、秩序パラメータ を決定します。次に、2 番目の方程式が超伝導電流を提供します。 ${\displaystyle J}$${\displaystyle \psi }$

超伝導電流が存在しない均質超伝導体を考えてみましょう。ψの式は次のように簡略化されます。 $${\displaystyle \alpha \psi +\beta |\psi |^{2}\psi =0.}$$

この方程式には自明な解があります: ψ = 0。これは常伝導状態、つまり超伝導転移温度T > T _{c を}超える温度に対応します。

超伝導転移温度以下では、上記の式は非自明な解（つまり）を持つことが予想されます。この仮定の下では、上記の式は次のように変形できます。 ${\displaystyle \psi \neq 0}$$${\displaystyle |\psi |^{2}=-{\frac {\alpha }{\beta }}.}$$

この式の右辺が正の場合、ψにはゼロ以外の解が存在します(複素数の大きさは正またはゼロになる可能性があることに留意してください)。これは、 が次のように温度依存性を持つと仮定することで実現でき ます。 ${\displaystyle \alpha :\alpha (T)=\alpha _{0}(T-T_{\rm {c}})}$${\displaystyle \alpha _{0}/\beta >0}$

• 超伝導転移温度T > T _{c を}超えると、式α ( T ) / βは正になり、上の式の右辺は負になります。複素数の大きさは負でない数でなければならないため、ψ = 0の場合にのみギンツブルグ・ランダウ方程式が解けます。
• 超伝導転移温度T < T _cより下では、上記の式の右辺は正となり、ψの解は非自明となります。さらに、T が下からT _cに近づくにつれてψ はゼロに近づきます。 このような動作は、2 次相転移の典型です。$${\displaystyle |\psi |^{2}=-{\frac {\alpha _{0}(T-T_{c})}{\beta }},}$$

ギンツブルグ・ランダウ理論では、超伝導に寄与する電子は超流体を形成すると提案された。^[3]この解釈では、| ψ | ^{2 は}超流体に凝縮した電子の割合を示す。^[3]

ギンツブルグ・ランダウ方程式は超伝導体における2つの新しい特性長さを予測した。最初の特性長さはコヒーレンス長ξと呼ばれる。T > T c (通常位相)_の場合、それは次のように与えられる。

${\displaystyle \xi ={\sqrt {\frac {\hbar ^{2}}{2m^{*}|\alpha |}}}.}$

一方、 T < T _c （超伝導相）の場合は、より関連性が高く、次のように表される。

${\displaystyle \xi ={\sqrt {\frac {\hbar ^{2}}{4m^{*}|\alpha |}}}.}$

これは、超伝導電子の密度の小さな摂動が平衡値ψ ₀に戻る指数法則を定めています。したがって、この理論は、すべての超伝導体を2つの長さスケールで特徴付けています。2つ目は浸透深さλです。これは、ロンドン兄弟がロンドン理論で以前に導入したものです。ギンツブルグ-ランダウモデルのパラメータで表現すると、

${\displaystyle \lambda ={\sqrt {\frac {m^{*}}{\mu _{0}e^{*2}\psi _{0}^{2}}}}={\sqrt {\frac {m^{*}\beta }{\mu _{0}e^{*2}|\alpha |}}},}$

ここで、ψ _{0 は}電磁場がない場合の秩序パラメータの平衡値です。浸透深さは、外部磁場が超伝導体内で減衰する指数法則を設定します。

パラメータκに関する最初のアイデアは、ランダウのものです。κ = λ / ξ の比率は現在、ギンツブルグ・ランダウパラメータとして知られています。ランダウは、0 < κ < 1/ √2のものをタイプ I 超伝導体、κ > 1/ √2のものをタイプ II 超伝導体と提案しました。

ダスグプタとハルペリンが実証したように、変動を考慮すると、タイプII超伝導体では常伝導状態からの相転移は2次であるが、タイプI超伝導体では、ハルペリン、ルベンスキー、マが実証したように、1次である。^[4]

原著論文で、ギンツブルグとランダウは、常伝導状態と超伝導状態との間の界面のエネルギーに応じて、2 種類の超伝導体が存在することを観察した。マイスナー状態は、印加磁場が大きすぎると崩壊する。この崩壊がどのように起こるかによって、超伝導体は 2 つのクラスに分けられる。タイプ I 超伝導体では、印加磁場の強度が臨界値H _{c を}超えると、超伝導が突然破壊される。サンプルの形状によっては、磁場を運ぶ通常材料の領域と磁場を含まない超伝導材料の領域が混在したバロック模様^{[6]からなる中間状態[5]が得られることがある。}タイプ II 超伝導体では、印加磁場を臨界値H _{c 1}を超えて上げると、混合状態 (渦状態とも呼ばれる) になり、材料を貫通する磁束の量は増加するが、電流が大きすぎない限り電流の流れに対する抵抗は残らない。第二の臨界磁場強度H _{c 2}では、超伝導は破壊されます。混合状態は、実際には電子超流体内の渦によって引き起こされます。これらの渦によって運ばれる磁束は量子化されるため、フラクソンと呼ばれることもあります。ニオブとカーボンナノチューブを除くほとんどの純粋な元素超伝導体はタイプ I ですが、ほぼすべての不純な超伝導体と複合超伝導体はタイプ II です。

ギンツブルグ・ランダウ理論の最も重要な発見は、1957年にアレクセイ・アブリコソフによってなされた。彼はギンツブルグ・ランダウ理論を用いて超伝導合金と薄膜の実験を説明した。彼は、高磁場中の第2種超伝導体では、磁場が磁束渦の量子化されたチューブの三角格子に浸透することを発見した。 [ ^7]

ギンツブルグ・ランダウ汎関数は、コンパクトなリーマン多様体上の複素ベクトル束の一般的な設定で定式化できます。^{[8]これは、上記と同じ汎関数を、リーマン幾何学で一般的に使用される表記法に転置したものです。複数の興味深いケースで、}アブリコソフ渦を含む上記と同じ現象を示すことが示されています（以下の説明を参照）。

ファイバー を持つリーマン多様体上の複素ベクトル束の場合、秩序パラメータはベクトル束 のセクションとして理解されます。ギンツブルグ・ランダウ関数はそのセクションの ラグランジアンです。${\displaystyle E}$${\displaystyle M}$${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$${\displaystyle \psi }$${\displaystyle E}$

${\displaystyle {\mathcal {L}}(\psi ,A)=\int _{M}{\sqrt {|g|}}dx^{1}\wedge \dotsm \wedge dx^{m}\left[\vert F\vert ^{2}+\vert D\psi \vert ^{2}+{\frac {1}{4}}\left(\sigma -\vert \psi \vert ^{2}\right)^{2}\right]}$

ここで使用する表記法は以下のとおりです。ファイバーはエルミート内積を備えていると仮定し、ノルムの2乗は と書きます。現象論的パラメータと は吸収されているため、ポテンシャルエネルギー項は4次のポテンシャルとなります。つまり、自発的な対称性の破れを示し、ある実数値 で最小値を示します。積分は明示的に体積形式${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$ ${\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle }$${\displaystyle \vert \psi \vert ^{2}=\langle \psi ,\psi \rangle }$${\displaystyle \alpha }$${\displaystyle \beta }$${\displaystyle \sigma \in \mathbb {R} }$

${\displaystyle *(1)={\sqrt {|g|}}dx^{1}\wedge \dotsm \wedge dx^{m}}$

計量テンソルの行列式を持つ次元多様体に対して。 ${\displaystyle m}$${\displaystyle M}$${\displaystyle |g|}$${\displaystyle g}$

は接続 1 形式であり、は対応する曲率 2 形式です (これは上で示した自由エネルギーと同じではありません。ここで、 は電磁場強度テンソルに対応します)。 はベクトルポテンシャルに対応しますが、 のときは一般に非アーベルであり、別様に正規化されます。物理学では、電荷とベクトルポテンシャルについて、接続を と慣例的に書きます。リーマン幾何学では、 (および他のすべての物理単位)を削除し、 をファイバーの対称群に対応するリー代数で値を取る1 形式とすると便利です。ここで、対称群はSU(n)であり、これにより内積が不変になります。したがって、ここで、 は代数 で値を取る形式です。 ${\displaystyle D=d+A}$${\displaystyle F}$${\displaystyle F}$${\displaystyle F}$ ${\displaystyle A}$${\displaystyle n>1}$${\displaystyle d-ieA}$${\displaystyle e}$${\displaystyle A}$${\displaystyle e}$${\displaystyle A=A_{\mu }dx^{\mu }}$${\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle }$${\displaystyle A}$${\displaystyle {\mathfrak {su}}(n)}$

曲率は、電磁場の強さを非可換な設定に一般化し、ベクトル束上のアフィン接続の曲率形式として表される。慣例的に次のように記述される。 ${\displaystyle F}$

${\displaystyle {\begin{aligned}F=D\circ D=dA+A\wedge A=\left({\frac {\partial A_{\nu }}{\partial x^{\mu }}}+A_{\mu }A_{\nu }\right)dx^{\mu }\wedge dx^{\nu }={\frac {1}{2}}\left({\frac {\partial A_{\nu }}{\partial x^{\mu }}}-{\frac {\partial A_{\mu }}{\partial x^{\nu }}}+[A_{\mu },A_{\nu }]\right)dx^{\mu }\wedge dx^{\nu }\\\end{aligned}}}$

つまり、それぞれは歪対称行列である。（この特定の表記法の詳細については、計量接続に関する記事を参照のこと。）これを強調するために、場の強度のみを含むギンツブルグ・ランダウ関数の最初の項は、 ${\displaystyle A_{\mu }}$${\displaystyle n\times n}$

${\displaystyle {\mathcal {L}}(A)=YM(A)=\int _{M}*(1)\vert F\vert ^{2}}$

これはまさにコンパクトなリーマン多様体上の ヤン＝ミルズ作用です。

ギンツブルグ・ランダウ関数のオイラー・ラグランジュ方程式はヤン・ミルズ方程式である^[9]

${\displaystyle D^{*}D\psi ={\frac {1}{2}}\left(\sigma -\vert \psi \vert ^{2}\right)\psi }$

そして

${\displaystyle D^{*}F=-\operatorname {Re} \langle D\psi ,\psi \rangle }$

ここで はの随伴関数であり、共微分に類似しています。これらはヤン・ミルズ・ヒッグス方程式と密接に関連していることに注意してください。 ${\displaystyle D^{*}}$${\displaystyle D}$ ${\displaystyle \delta =d^{*}}$

弦理論では、多様体 がリーマン面で、 、すなわち線束 をとる場合のギンツブルグ・ランダウ汎関数を研究するのが慣例となっている。^[10]アブリコソフ渦の現象は、 を含むこれらの一般的な場合（重複度を含め、 が消える任意の有限点集合を指定できる）でも持続する。^[11]証明は任意のリーマン面とケーラー多様体 に一般化される。^{[12] [13] [14] [15]弱結合の極限では、}が一様に1 に収束し、と が一様に 0 に収束し、曲率が渦におけるデルタ関数分布の和になることを示すことができる。 ^[16]重複度を持つ渦の和は、線束の次数にちょうど等しい。その結果、リーマン面上の線束は、N個の特異点と共変定数セクションを持つ平坦束として表すことができます。 ${\displaystyle M}$${\displaystyle n=1}$${\displaystyle M=\mathbb {R} ^{2}}$${\displaystyle \psi }$${\displaystyle \vert \psi \vert }$ ${\displaystyle D\psi }$${\displaystyle dA}$

多様体が 4 次元で、スピン^c構造を持つ場合、非常によく似た関数であるSeiberg–Witten 関数を書くことができます。これは同様の方法で分析でき、自己双対性を含む多くの同様の特性を持ちます。このようなシステムが積分可能である場合、それらはHitchin システムとして研究されます。

多様体がリーマン面である場合、関数は明示的に自己双対性を示すように書き直すことができます。これは、外微分をドルボー演算子の和として記述することで実現できます。同様に、リーマン面上の 1 形式の空間は、正則な空間と反正則な空間 に分解されます。つまり、 内の形式は内で正則であり、 には依存しません。の場合はその逆になります。これにより、ベクトル ポテンシャルは と記述でき、および の場合も同様です。 ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle M=\Sigma }$ ${\displaystyle d=\partial +{\overline {\partial }}}$${\displaystyle \Omega ^{1}}$${\displaystyle \Omega ^{1}=\Omega ^{1,0}\oplus \Omega ^{0,1}}$${\displaystyle \Omega ^{1,0}}$${\displaystyle z}$${\displaystyle {\overline {z}}}$${\displaystyle \Omega ^{0,1}}$${\displaystyle A=A^{1,0}+A^{0,1}}$${\displaystyle D=\partial _{A}+{\overline {\partial }}_{A}}$${\displaystyle \partial _{A}=\partial +A^{1,0}}$${\displaystyle {\overline {\partial }}_{A}={\overline {\partial }}+A^{0,1}}$

の場合、ファイバーが線束となるように、場の強さは同様に次のように表される。 ${\displaystyle n=1}$${\displaystyle \mathbb {C} }$

${\displaystyle F=-\left(\partial _{A}{\overline {\partial }}_{A}+{\overline {\partial }}_{A}\partial _{A}\right)}$

ここで使用されている符号規則では、との両方が純虚数であることに注意する（つまり、U(1)はによって生成されるため、導関数は純虚数である）。関数は次のようになる。 ${\displaystyle A^{1,0},A^{0,1}}$${\displaystyle F}$ ${\displaystyle e^{i\theta }}$

${\displaystyle {\mathcal {L}}\left(\psi ,A\right)=2\pi \sigma \operatorname {deg} L+\int _{\Sigma }{\frac {i}{2}}dz\wedge d{\overline {z}}\left[2\vert {\overline {\partial }}_{A}\psi \vert ^{2}+\left(*(-iF)-{\frac {1}{2}}(\sigma -\vert \psi \vert ^{2}\right)^{2}\right]}$

積分は体積形式上で行われると理解される

${\displaystyle *(1)={\frac {i}{2}}dz\wedge d{\overline {z}}}$、

となることによって

${\displaystyle \operatorname {Area} \Sigma =\int _{\Sigma }*(1)}$

は表面の総面積です。 は前と同じようにホッジスターです。表面上の線束の次数は ${\displaystyle \Sigma }$${\displaystyle *}$${\displaystyle \operatorname {deg} L}$${\displaystyle L}$${\displaystyle \Sigma }$

${\displaystyle \operatorname {deg} L=c_{1}(L)={\frac {1}{2\pi }}\int _{\Sigma }iF}$

最初のChernクラスはどこにありますか。 ${\displaystyle c_{1}(L)=c_{1}(L)[\Sigma ]\in H^{2}(\Sigma )}$

ラグランジアンは、ギンツベルグ・ランダウ方程式を解く ときに最小化（定常化）される。${\displaystyle \psi ,A}$

${\displaystyle {\begin{aligned}{\overline {\partial }}_{A}\psi &=0\\*(iF)&={\frac {1}{2}}\left(\sigma -\vert \psi \vert ^{2}\right)\\\end{aligned}}}$

これらは両方とも1階微分方程式であり、明らかに自己双対であることに注意してください。これらの2番目の微分方程式を積分すると、非自明な解が次の式に従うことがすぐにわかります。

${\displaystyle 4\pi \operatorname {deg} L\leq \sigma \operatorname {Area} \Sigma }$。

大まかに言えば、これはアブリコソフ渦の密度の上限として解釈できます。また、解が有界であることを示すこともできます。つまり、 である必要があります。 ${\displaystyle |\psi |\leq \sigma }$

素粒子物理学では、唯一の古典的な真空状態と縮退した臨界点を持つポテンシャルエネルギーを持つ量子場理論は、すべてランダウ・ギンツブルグ理論と呼ばれています。2つの時空次元におけるN  = (2,2)超対称理論への一般化は、1988年11月にカムラン・ヴァファとニコラス・ワーナーによって提案されました。^[17]この一般化では、超ポテンシャルが縮退した臨界点を持つことを前提としています。同月、ブライアン・グリーンと共に、彼らはこれらの理論が、繰り込み群の流れによってカラビ・ヤウ多様体上のシグマモデルに関連付けられていると主張しました。^[18]エドワード・ウィッテンは 、1993年の論文「 2次元におけるN = 2理論の位相」で、ランダウ・ギンツブルグ理論とカラビ・ヤウ多様体上のシグマモデルは同じ理論の異なる位相であると主張しました。^[19]このような双対性の構築は、カラビ・ヤウ軌道体のグロモフ・ウィッテン理論をFJRW理論、つまり類似のランダウ・ギンツブルグ「FJRW」理論に関連付けることによって与えられた。^[20] ウィッテンのシグマモデルは後に、単極子とブレーン構造を持つ4次元ゲージ理論の低エネルギーダイナミクスを記述するために使用された。^[21]

• VL Ginzburg および LD Landau, Zh. Eksp. Teor. Fiz. 20 , 1064 (1950)。英訳: LD Landau, Collected papers (Oxford: Pergamon Press, 1965) p. 546
• AA Abrikosov, Zh. Eksp. Teor. Fiz. 32 , 1442 (1957) (英訳: Sov. Phys. JETP 5 1174 (1957)].) アブリコソフによる、κ > 1/√2 の G-L 方程式の解として導出されたタイプ II 超伝導体の渦糸構造に関する原著論文
• LP ゴルコフ、Sov. Phys. JETP 36、1364 (1959)
• AA アブリコソフの 2003 年ノーベル講演: PDF ファイルまたはビデオ
• VL ギンズブルグの 2003 年ノーベル講演: PDF ファイルまたはビデオ