スチュアート・ランダウ方程式

スチュアート・ランダウ方程式は、ホップ分岐付近における非線形振動系の挙動を記述するもので、ジョン・トレバー・スチュアートとレフ・ランダウにちなんで名付けられました。1944年、ランダウは、現象論的考察に基づいて乱流への遷移を説明するために、現在ランダウ方程式と呼ばれる擾乱の大きさの発展に関する方程式を提案しました^{[ 1 ]。}また、 1958年には、スチュアートが平面ポアズイユ流れに対して流体力学方程式からこの方程式を導出する試みを行いました^{[ 2 ]。}ランダウ方程式を導出するための正式な導出は、1960年にスチュアート、ワトソン、パームによって行われました^{[ 3 ] [ 4 ] [ 5 ]。}分岐付近の擾乱は、次の方程式によって支配されます。

$\displaystyle {\frac {dA}{dt}}=\sigma A-{\frac {l}{2}}A|A|^{2}.}$

どこ

• ${\displaystyle A=|A|e^{i\phi }}$は擾乱を表す複素量であり、
• $\displaystyle \sigma =\sigma _{r}+i\sigma _{i}}$は複素成長率であり、
• ${\displaystyle l=l_{r}+il_{i}}$は複素数であり、${\displaystyle l_{r}}$はランダウ定数です。

実際の擾乱の進化は、${\displaystyle A(t)}$つまり、${\displaystyle |A|\cos \phi }$ここでは、成長率の実数部は正とみなされる。${\displaystyle \sigma _{r}>0}$なぜなら、そうでなければシステムは線形の意味で安定している、つまり微小な外乱に対しては${\displaystyle |A|}$が小さい数である場合、上記の式の非線形項は他の 2 つの項に比べて無視できるほど小さいので、振幅は時間とともに増加するのは、${\displaystyle \sigma _{r}>0}$ランダウ定数も正の値とみなされる。${\displaystyle l_{r}>0}$そうしないと振幅が無限に増大してしまうため（次のセクションの以下の式と一般解を参照）。ランダウ方程式は擾乱の大きさを表す式であり、

${\displaystyle {\frac {d|A|^{2}}{dt}}=2\sigma _{r}|A|^{2}-l_{r}|A|^{4},}$

これは次のように書き換えることもできます^{[ 6 ]}

${\displaystyle {\frac {d|A|}{dt}}=\sigma _{r}|A|-{\frac {l_{r}}{2}}|A|^{3}.}$

同様に、位相の式は次のように与えられる。

${\displaystyle {\frac {d\phi }{dt}}=\sigma _{i}-{\frac {l_{i}}{2}}|A|^{2}.}$

非均質システムの場合、つまり、${\displaystyle A}$空間座標に依存します。ギンツブルグ・ランダウ方程式を参照してください。この方程式は普遍性があるため、流体力学的安定性^{[ 7 ]} 、ベロウソフ・ジャボチンスキー反応^{[ 8 ]}など、多くの分野で応用されています。

ランダウ方程式は、従属変数について記述すると線形になる。$\displaystyle |A|^{-2}}$、

${\displaystyle {\frac {d|A|^{-2}}{dt}}+2\sigma _{r}|A|^{-2}=l_{r}.}$

一般的な解決策${\displaystyle \sigma _{r}\neq 0}$上記の方程式は

${\displaystyle |A(t)|^{-2}={\frac {l_{r}}{2\sigma _{r}}}+\left(|A(0)|^{-2}-{\frac {l_{r}}{2\sigma _{r}}}\right)e^{-2\sigma _{r}t}.}$

として${\displaystyle t\rightarrow \infty }$擾乱の大きさ${\displaystyle |A|}$初期値に依存しない一定値に近づく、つまり、$${\displaystyle |A|_{\mathrm {max} }\rightarrow (2\sigma _{r}/l_{r})^{1/2}}$$いつ$\displaystyle t\gg 1/\sigma _{r}}$上記の解決策は、${\displaystyle |A|}$真の解決策はありません${\displaystyle l_{r}<0}$そして${\displaystyle \sigma _{r}>0}$位相関数の関連解${\displaystyle \phi (t)}$は

${\displaystyle \phi (t)-\phi (0)=\sigma _{i}t-{\frac {l_{i}}{2l_{r}}}\ln \left[1+{\frac {|A(0)|^{2}l_{r}}{2\sigma _{r}}}(e^{2\sigma _{r}t}-1)\right].}$

として$\displaystyle t\gg 1/\sigma _{r}}$位相は時間とともに直線的に変化し、${\displaystyle \phi \sim (\sigma _{i}/\sigma _{r}-l_{i}/l_{r})\sigma _{r}t.}$

流体力学的安定性のケースを考察することは有益である。線形安定性解析によれば、流れが安定しているのは次の場合である。${\displaystyle Re\leq Re_{\mathrm {cr} }}$それ以外の場合は不安定で、${\displaystyle Re}$はレイノルズ数であり、${\displaystyle Re_{\mathrm {cr} }}$は臨界レイノルズ数です。ここで適用できるよく知られた例は臨界レイノルズ数です。${\displaystyle Re_{\mathrm {cr} }\approx 50}$これは、円柱周りの流れの問題におけるカルマン渦列への遷移に対応する。 ^{[ 9 ] [ 10 ]}成長率$\displaystyle \sigma _{r}}$負の場合${\displaystyle Re<Re_{\mathrm {cr} }}$正の値となるのは${\displaystyle Re>Re_{\mathrm {cr} }}$そのため近隣では${\displaystyle Re\rightarrow Re_{\mathrm {cr} }}$次のように書かれるかもしれません$\displaystyle \sigma _{r}={\text{const}}.\times (Re-Re_{\mathrm {cr} })}$ここで定数は正である。したがって、限界振幅は次のように与えられる。

${\displaystyle |A|_{\mathrm {max} }\propto {\sqrt {Re-Re_{\mathrm {cr} }}}.}$

ランダウ定数が負の場合、${\displaystyle l_{r}<0}$摂動の際限のない増加を抑制するために、より高次の負の項を含める必要があります。この場合、ランダウ方程式は次のようになります^{[ 11 ]}

${\displaystyle {\frac {d|A|^{2}}{dt}}=2\sigma _{r}|A|^{2}-l_{r}|A|^{4}-\beta _{r}|A|^{6},\quad \beta _{r}>0.}$

限界振幅は次のようになる

$\left\{ \displaystyle |A|_{\mathrm {max} }\rightarrow {\frac {|l_{r}|}{2\beta _{r}}}\pm {\sqrt {{\frac {l_{r}^{2}}{4\beta _{r}^{2}}}+{\frac {2|l_{r}|\sigma _{r}}{\beta _{r}}}}},\quad {\text{as}}\quad t\gg 1/\sigma _{r}}$

ここで、プラス記号は安定分岐に対応し、マイナス記号は不安定分岐に対応する。臨界値が存在する。${\displaystyle Re_{\mathrm {cr} }'}$上記の2つの根が等しい場合（$\displaystyle \sigma _{r}=-|l_{r}|/8\beta _{r}}$) のように${\displaystyle Re_{\mathrm {cr} }'<Re_{\mathrm {cr} }}$これは、その領域の流れを示しています。${\displaystyle Re_{\mathrm {cr} }'<Re<Re_{\mathrm {cr} }}$準安定状態である、つまり準安定領域では、流れは微小な摂動に対しては安定であるが、有限振幅の摂動に対しては安定ではない。

• ランダウの相転移理論
• ギンズブルグ＝ランダウ理論