4頂点定理

幾何学において、4 頂点定理は、単純で閉じた滑らかな平面曲線に沿った曲率には少なくとも4つの極値(具体的には、少なくとも 2 つの極大値と少なくとも 2 つの極小値) があることを述べています。定理の名前は、曲率関数の極値点を頂点と呼ぶ慣例に由来しています。この定理には多くの一般化があり、頂点が捩れが消失する点として定義される空間曲線のバージョンもその 1 つです。

定義と例

平面上の滑らかな曲線の任意の点における曲率は、その点における接触円の半径の逆数として、または曲線に沿った長さと一貫してパラメータ化された曲線のパラメータ表現の2 次導関数のノルムとして定義できます。^[1]曲線の頂点が明確に定義されるためには、曲率自体が連続的に変化する必要があります。^[2]これは滑らかな曲線の場合に起こります。^[3]この場合、頂点は曲率の極大値または極小値です。曲率が曲線の円弧上で一定である場合、その円弧のすべての点は頂点と見なされます。4 頂点定理は、滑らかな閉曲線には常に少なくとも 4 つの頂点があることを述べています。 $C^{2}$

楕円にはちょうど 4 つの頂点があります。楕円の長軸が交差する 2 つの曲率極大値と、短軸が交差する 2 つの曲率極小値です。円では、すべての点が曲率の極大値と極小値の両方であるため、頂点の数は無限にあります。^[3]滑らかな閉曲線が円を回交差する場合、少なくとも頂点があるため、楕円などのちょうど 4 つの頂点を持つ曲線は、どの円とも最大 4 回交差できます。^[4] $k$ $k$

一定幅の曲線には、少なくとも6つの頂点があります。ルーローの三角形など、一定幅の曲線の多くは滑らかでなかったり、境界に円弧があったりしますが、正確に6つの頂点を持つ滑らかな一定幅の曲線も存在します。^[5]^[6]

歴史

4 頂点定理は、1909 年にSyamadas Mukhopadhyayaによって凸曲線(つまり、厳密に正の曲率を持つ曲線)に対して初めて証明されました。^[7]彼の証明では、曲線上の点が曲率関数の極値となるのは、その点の接触円が曲線と 4 次接触する場合のみであるという事実を利用しています。一般に、接触円は曲線と 3 次接触しか持ちません。4 頂点定理は、 1912 年にAdolf Kneserによって射影的議論を使用してより一般的な曲線に対して証明されました。^[8]

証拠

4頂点定理の証明は長年難しいままでしたが、最小外接円^[9]のアイデアに基づいて、オッサーマン（1985）によって単純で概念的な証明が与えられました。これは、与えられた曲線を含み、可能な限り最小の半径を持つ円です。曲線が円の弧を含む場合、曲線は無限数の頂点を持ちます。そうでない場合、曲線と円は少なくとも2点で接している必要があります。これは、曲線に接する点が少ない円は、曲線を囲みながらサイズを小さくできるためです。各接点において、曲線の曲率は円の曲率よりも大きくなります。そうでなければ、曲線は円の内側ではなく外側の接点から継続することになります。しかし、各接点のペアの間では、曲率は円の曲率よりも小さくなる必要がある。例えば、2つの接点の間の曲線の一部がなくなるまで円を平行移動し、平行移動した円と曲線の最後の接点を考慮すると、曲率は小さくなる。したがって、各接点のペアの間には曲率の極小値があり、4つの頂点のうち2つが得られる。各極小値ペア（必ずしも接点ではない）の間には曲率の極大値があり、他の2つの頂点が得られる。^[9]^[3]

コンバース

4 頂点定理の逆は、少なくとも 2 つの極大値と 2 つの極小値を持つ円の連続した実数値関数は、単純な閉じた平面曲線の曲率関数であると述べています。この逆は、n 球面の曲率を事前に割り当てることに関する一般定理の特殊なケースとして、1971 年に Herman Gluck によって厳密に正の関数に対して証明されました。[ 10 ] 4^頂点定理の完全な逆は、Björn Dahlberg [de]によって1998 年 1 月の彼の死の直前に証明され、死後に出版されました。^[11] Dahlberg の証明では、代数の基本定理の標準的な位相的証明をいくつかの点で彷彿とさせる巻き数議論が使用されています。^[12]

力学への応用

この定理の帰結の1 つは、重力下で水平面上を転がる均質な平面円盤には、少なくとも 4 つの平衡点があるということです。この定理の離散バージョンは、モノスタティック多角形は存在しないということです。ただし、3 次元にはモノスタティック多面体が存在し、また、ちょうど 2 つの平衡点 (1 つは安定で、もう 1 つは不安定) を持つ凸状の均質なオブジェクトであるGömböcも存在します。

離散的変化

4頂点定理には、凸多角形と非凸多角形の両方に対して、いくつかの離散バージョンがあります。^[13]そのいくつかを以下に示します。

(ビリンスキー) 少なくとも 4 つの頂点を持つ凸正多角形の角度の列には、少なくとも 4 つの極値があります。
少なくとも 4 つの辺を持つ凸等角多角形の辺の長さのシーケンスには、少なくとも 4 つの極値があります。
(Musin)少なくとも 4 つの頂点を持つ多角形の連続する 3 つの頂点に外接する円は、多角形の残りの頂点をすべて含むか、またはそれらの頂点を内部に 1 つも含まない場合に、極端と呼ばれます。このような凸多角形は、同じ円上に 4 つの頂点がない場合、汎用です。したがって、少なくとも 4 つの頂点を持つすべての汎用凸多角形には、少なくとも 4 つの極端円があります。
（ルジャンドル-コーシー）対応する辺の長さが等しい 2 つの凸n角形は、対応する角度の差の循環シーケンスでゼロまたは少なくとも 4 回の符号変化を持ちます。
( AD アレクサンドロフ)対応する辺が平行で面積が等しい2 つの凸n角形には、対応する辺の長さの差の循環シーケンスに 0 または少なくとも 4 の符号変化があります。

これらのバリエーションのいくつかは他のバリエーションよりも強力であり、それらはすべて、極限の議論によって（通常の）4頂点定理を意味します。^{[引用が必要]}

空間曲線への一般化

一度穴を開けた球面から平面への立体射影は、測地曲率の臨界点を保存する。したがって、単純な閉じた球面曲線は4つの頂点を持つ。さらに、球面上では曲線の頂点はそのねじれが消える点に対応する。したがって、空間曲線の場合、頂点はねじれが消える点として定義される。凸体の境界上にあるすべての単純な閉じた空間曲線は4つの頂点を持つ。^[14]この定理は、局所的に凸な円板を囲むすべての曲線に一般化できる。^[15]

参照

参考文献

^ Pressley, Andrew (2010).初等微分幾何学. Springer 学部数学シリーズ (第 2 版). ロンドン: Springer-Verlag. 定義 2.1.1、p. 30 および演習 2.2.6、p. 44. doi :10.1007/978-1-84882-891-9. ISBN 978-1-84882-890-2. MR 2598317。
^ Graustein, WC (1937). 「4頂点定理の拡張」.アメリカ数学会誌. 41 (1): 9–23. doi : 10.2307/1989876 . JSTOR 1989876. MR 1501889.
^ abc Osserman, Robert (1985). 「4つ以上の頂点の定理」.アメリカ数学月刊誌. 92 (5): 332–337. doi :10.2307/2323126. JSTOR 2323126. MR 0790188.
^ Jackson, SB (1944). 「平面曲線の頂点」アメリカ数学会報50 (8): 564–578. doi : 10.1090/s0002-9904-1944-08190-1 .
^ Martinez-Maure, Yves (1996). 「テニスボール定理に関する注記」.アメリカ数学月刊誌. 103 (4): 338–340. doi :10.2307/2975192. JSTOR 2975192. MR 1383672.
^ クレイザー、マルコス;ラルフ・テイシェイラ。バレストロ、ヴィトール（2018）。「標準平面内の閉じたサイクロイド」。数学のためのモナトシェフ。185 (1): 43–60。arXiv : 1608.01651。土井：10.1007/s00605-017-1030-5。MR 3745700。
^ Mukhopadhyaya, S. (1909). 「平面弧の幾何学における新しい方法」.カルカッタ数学協会紀要. 1 : 21–27.
^ アドルフ、クネーザー(1912)。「Bemerkungen über die Anzahl der Extrema der Krümmung auf geschlossenen Kurven und über verwandte Fragen in einer nicht euklidischen Geometrie」。フェストシュリフト・ハインリヒ・ウェーバー。トイブナー。 170～180ページ。
^ ab Berger, Marcel (2010). 「V.8. 4頂点定理とその逆定理; 物理学への応用」. Geometry Revealed . ハイデルベルグ: Springer. pp. 271–278. doi :10.1007/978-3-540-70997-8. ISBN 978-3-540-70996-1MR 2724440 。
^ Gluck, Herman (1971). 「4頂点定理の逆」. L'Enseignement mathématique . 17 : 295–309. MR 0344998.
^ Dahlberg, Björn (2005). 「4頂点定理の逆」アメリカ数学会紀要. 133 (7): 2131–2135. doi : 10.1090/S0002-9939-05-07788-9 .
^ DeTurck, D.; Gluck, H.; Pomerleano, D.; Vick, DS (2007). 「4頂点定理とその逆定理」(PDF) .アメリカ数学会報. 54 (2): 9268. arXiv : math/0609268 .
^ Pak, I. Lectures on Discrete and Polyhedral Geometry Archived 2009-01-29 at the Wayback Machine、セクション 21。
^ Sedykh, VD (1994). 「凸空間曲線の4つの頂点」.ロンドン数学会報. 26 (2): 177–180. doi :10.1112/blms/26.2.177.
^ Ghomi, Mohammad (2017). 「境界ねじれと局所凸面の凸キャップ」Journal of Differential Geometry . 105 (3): 427–486. arXiv : 1501.07626 . doi :10.4310/jdg/1488503004.

[elementary-1] Pressley, Andrew (2010).初等微分幾何学. Springer 学部数学シリーズ (第 2 版). ロンドン: Springer-Verlag. 定義 2.1.1、p. 30 および演習 2.2.6、p. 44. doi :10.1007/978-1-84882-891-9. ISBN 978-1-84882-890-2. MR 2598317。

[extensions-2] Graustein, WC (1937). 「4頂点定理の拡張」.アメリカ数学会誌. 41 (1): 9–23. doi : 10.2307/1989876 . JSTOR 1989876. MR 1501889.

[more-3] Osserman, Robert (1985). 「4つ以上の頂点の定理」.アメリカ数学月刊誌. 92 (5): 332–337. doi :10.2307/2323126. JSTOR 2323126. MR 0790188.

[jackson-4] Jackson, SB (1944). 「平面曲線の頂点」アメリカ数学会報50 (8): 564–578. doi : 10.1090/s0002-9904-1944-08190-1 .

[tennis-5] Martinez-Maure, Yves (1996). 「テニスボール定理に関する注記」.アメリカ数学月刊誌. 103 (4): 338–340. doi :10.2307/2975192. JSTOR 2975192. MR 1383672.

[cycloids-6] クレイザー、マルコス;ラルフ・テイシェイラ。バレストロ、ヴィトール（2018）。「標準平面内の閉じたサイクロイド」。数学のためのモナトシェフ。185 (1): 43–60。arXiv : 1608.01651。土井：10.1007/s00605-017-1030-5。MR 3745700。

[methods-7] Mukhopadhyaya, S. (1909). 「平面弧の幾何学における新しい方法」.カルカッタ数学協会紀要. 1 : 21–27.

[krummung-8] アドルフ、クネーザー(1912)。「Bemerkungen über die Anzahl der Extrema der Krümmung auf geschlossenen Kurven und über verwandte Fragen in einer nicht euklidischen Geometrie」。フェストシュリフト・ハインリヒ・ウェーバー。トイブナー。 170～180ページ。

[physics-9] Berger, Marcel (2010). 「V.8. 4頂点定理とその逆定理; 物理学への応用」. Geometry Revealed . ハイデルベルグ: Springer. pp. 271–278. doi :10.1007/978-3-540-70997-8. ISBN 978-3-540-70996-1MR 2724440 。

[converse-10] Gluck, Herman (1971). 「4頂点定理の逆」. L'Enseignement mathématique . 17 : 295–309. MR 0344998.

[converse2-11] Dahlberg, Björn (2005). 「4頂点定理の逆」アメリカ数学会紀要. 133 (7): 2131–2135. doi : 10.1090/S0002-9939-05-07788-9 .

[converse3-12] DeTurck, D.; Gluck, H.; Pomerleano, D.; Vick, DS (2007). 「4頂点定理とその逆定理」(PDF) .アメリカ数学会報. 54 (2): 9268. arXiv : math/0609268 .

[lectures-13] Pak, I. Lectures on Discrete and Polyhedral Geometry Archived 2009-01-29 at the Wayback Machine、セクション 21。

[space-14] Sedykh, VD (1994). 「凸空間曲線の4つの頂点」.ロンドン数学会報. 26 (2): 177–180. doi :10.1112/blms/26.2.177.

[torsion-15] Ghomi, Mohammad (2017). 「境界ねじれと局所凸面の凸キャップ」Journal of Differential Geometry . 105 (3): 427–486. arXiv : 1501.07626 . doi :10.4310/jdg/1488503004.