久保式

久保公式は、 1957年に初めてこの公式を提示した久保良五氏にちなんで名付けられ、 ^{[1] [2]、時間依存の}摂動による観測量の線形応答を表現する方程式です。

久保の公式の数多くの応用の中で、印加された電界と磁界に対する電子系の電荷とスピンの磁化率を計算することができます。外部の機械的力と振動に対する応答も計算できます。

(時間に依存しない) ハミルトニアン で記述される量子システムを考えてみましょう。演算子 で記述される平衡温度 における物理量の期待値は、次のように評価できます。 ${\displaystyle H_{0}}$${\displaystyle T}$${\displaystyle {\hat {A}}}$

${\displaystyle \left\langle {\hat {A}}\right\rangle ={1 \over Z_{0}}\operatorname {Tr} \,\left[{\hat {\rho _{0}}}{\hat {A}}\right]={1 \over Z_{0}}\sum _{n}\left\langle n\left|{\hat {A}}\right|n\right\rangle e^{-\beta E_{n}}}$、

ここでは熱力学ベータ、 は密度演算子であり、次のように与えられる。 ${\displaystyle \beta =1/k_{\rm {B}}T}$${\displaystyle {\hat {\rho }}_{0}}$

${\displaystyle {\hat {\rho _{0}}}=e^{-\beta {\hat {H}}_{0}}=\sum _{n}|n\rangle \langle n|e^{-\beta E_{n}}}$

は分割関数です。 ${\displaystyle Z_{0}=\operatorname {Tr} \,\left[{\hat {\rho }}_{0}\right]}$

ここで、しばらくして外部摂動がシステムに適用されたと仮定します。摂動はハミルトニアンにおける追加の時間依存性によって記述されます。 ${\displaystyle t=t_{0}}$

${\displaystyle {\hat {H}}(t)={\hat {H}}_{0}+{\hat {V}}(t)\theta (t-t_{0}),}$

ここではヘヴィサイド関数(正の回では 1、それ以外では 0) であり、 はエルミート関数ですべてのtに対して定義されるので、 は再び正の回では実固有値の完全なセットを持ちます 。ただし、これらの固有値は時間とともに変化する可能性があります。 ${\displaystyle \theta (t)}$${\displaystyle {\hat {V}}(t)}$${\displaystyle {\hat {H}}(t)}$${\displaystyle t-t_{0}}$${\displaystyle E_{n}(t).}$

しかし、分布関数の密度行列 の時間発展を再び見つけて、期待値を評価する ことができる。${\displaystyle {\hat {\rho }}(t)}$${\displaystyle Z(t)=\operatorname {Tr} \,\left[{\hat {\rho }}(t)\right],}$

${\displaystyle \left\langle {\hat {A}}\right\rangle ={\frac {\operatorname {Tr} \,\left[{\hat {\rho }}(t)\,{\hat {A}}\right]}{\operatorname {Tr} \,\left[{\hat {\rho }}(t)\right]}}.}$

状態の時間依存性はシュレーディンガー方程式によって支配される。${\displaystyle |n(t)\rangle }$

${\displaystyle i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}|n(t)\rangle ={\hat {H}}(t)|n(t)\rangle ,}$

これによってすべてが決まり、もちろんシュレーディンガー描像に対応します。しかし、は小さな摂動とみなされるため、代わりに相互作用描像表現を最低の非自明な順序で使用すると便利です。この表現における時間依存性は で与えられ、定義によりすべての t に対して となり、次のようになります。${\displaystyle {\hat {V}}(t)}$${\displaystyle \left|{\hat {n}}(t)\right\rangle ,}$${\displaystyle |n(t)\rangle =e^{-i{\hat {H}}_{0}t/\hbar }\left|{\hat {n}}(t)\right\rangle =e^{-i{\hat {H}}_{0}t/\hbar }{\hat {U}}(t,t_{0})\left|{\hat {n}}(t_{0})\right\rangle ,}$${\displaystyle t_{0}}$${\displaystyle \left|{\hat {n}}(t_{0})\right\rangle =e^{i{\hat {H}}_{0}t_{0}/\hbar }|n(t_{0})\rangle }$

の線形順序に従うと、 ${\displaystyle {\hat {V}}(t)}$

${\displaystyle {\hat {U}}(t,t_{0})=1-{\frac {i}{\hbar }}\int _{t_{0}}^{t}dt'{\hat {V}}{\mathord {\left(t'\right)}}}$。

したがって、摂動における線形順序まで の期待値が得られます。${\displaystyle {\hat {A}}(t)}$

${\displaystyle \left\langle {\hat {A}}(t)\right\rangle =\left\langle {\hat {A}}\right\rangle _{0}-{\frac {i}{\hbar }}\int _{t_{0}}^{t}dt'{1 \over Z_{0}}\sum _{n}e^{-\beta E_{n}}\left\langle n(t_{0})\left|{\hat {A}}(t){\hat {V}}{\mathord {\left(t'\right)}}-{\hat {V}}{\mathord {\left(t'\right)}}{\hat {A}}(t)\right|n(t_{0})\right\rangle }$、

したがって^[3]

括弧はハミルトニアンに関する平衡平均を意味します。したがって、結果は摂動法では 1 次ですが、摂動法では通常のように 0 次固有関数のみを含み、 で発生する可能性のあるすべての複雑さを排除します。 ${\displaystyle \langle \rangle _{0}}$${\displaystyle H_{0}.}$${\displaystyle t>t_{0}}$

上記の式はどんな種類の演算子にも当てはまります。（第二量子化も参照）^[4]

• グリーン・久保関係