ボーズ・アインシュタイン統計

インデックス でラベル付けされた多数のエネルギー レベルがあり、各レベルにはエネルギーがあり、合計 個の粒子が含まれているとします。各レベルには、すべて同じエネルギーを持ち、区別可能な個別のサブレベルが含まれているとします。たとえば、2 つの粒子が異なる運動量を持っている場合、それらは互いに区別できますが、それでも同じエネルギーを持つことができます。 レベルに関連付けられているの値は、そのエネルギー レベルの「縮退」と呼ばれます。任意の数のボソンが同じサブレベルを占めることができます。 ${\displaystyle i}$${\displaystyle \varepsilon _{i}}$${\displaystyle n_{i}}$${\displaystyle g_{i}}$${\displaystyle g_{i}}$${\displaystyle i}$

エネルギーレベルのサブレベル間で粒子を分配する方法の数を とします。 1 つのサブレベルに粒子を分配する方法は 1 つしかないため、 となります。 2 つのサブレベルに粒子を分配する方法があることは簡単にわかります。これは次のように記述できます。 ${\displaystyle w(n,g)}$${\displaystyle n}$${\displaystyle g}$${\displaystyle n}$${\displaystyle w(n,1)=1}$${\displaystyle (n+1)}$${\displaystyle n}$$${\displaystyle w(n,2)={\frac {(n+1)!}{n!1!}}.}$$

少し考えれば（下の注記を参照）、 3 つのサブレベルに粒子を 分布させる方法の数は、 次の二項係数を含む定理を使用している こと がわかります。 ${\displaystyle n}$$${\displaystyle w(n,3)=w(n,2)+w(n-1,2)+\cdots +w(1,2)+w(0,2)}$$$${\displaystyle w(n,3)=\sum _{k=0}^{n}w(n-k,2)=\sum _{k=0}^{n}{\frac {(n-k+1)!}{(n-k)!1!}}={\frac {(n+2)!}{n!2!}}}$$$${\displaystyle \sum _{k=0}^{n}{\frac {(k+a)!}{k!a!}}={\frac {(n+a+1)!}{n!(a+1)!}}.}$$

このプロセスを続けると、それは単なる二項係数であることが わかります（以下の注記を参照）。${\displaystyle w(n,g)}$$${\displaystyle w(n,g)={\frac {(n+g-1)!}{n!(g-1)!}}.}$$

たとえば、3 つのサブレベルにある 2 つの粒子の占有数は 200、110、101、020、011、または 002 で、合計 6 となり、4!/(2!2!) となります。占有数のセットを実現できる方法の数は、各個別のエネルギー レベルを占有できる方法の積です。 ここで、近似では と仮定しています。 ${\displaystyle n_{i}}$$${\displaystyle W=\prod _{i}w(n_{i},g_{i})=\prod _{i}{\frac {(n_{i}+g_{i}-1)!}{n_{i}!(g_{i}-1)!}}\approx \prod _{i}{\frac {(n_{i}+g_{i})!}{n_{i}!(g_{i})!}}}$$${\displaystyle n_{i}\gg 1}$

マクスウェル・ボルツマン統計を導出する際に使用したのと同じ手順に従って、粒子の総数と総エネルギーが一定であるという制約の下で、Wが最大化されるの集合を見つけます 。との最大値は、 との同じ値のときに発生します が、数学的に実現する方が簡単なので、代わりに後者の関数を最大化します。関数を形成する ラグランジュ乗数を使用して、解を制約します。${\displaystyle n_{i}}$${\displaystyle W}$${\displaystyle \ln(W)}$${\displaystyle n_{i}}$$${\displaystyle f(n_{i})=\ln(W)+\alpha (N-\sum n_{i})+\beta (E-\sum n_{i}\varepsilon _{i})}$$

近似値を使用し、階乗にスターリング近似値を使用すると、 が得られ ます。 ここで、K はの関数ではない項の数の合計です。 について導関数を取り、結果をゼロに設定して について解くと、ボーズ・アインシュタインの人口数が得られます。 ${\displaystyle n_{i}\gg 1}$${\displaystyle \left(x!\approx x^{x}\,e^{-x}\,{\sqrt {2\pi x}}\right)}$$${\displaystyle f(n_{i})=\sum _{i}(n_{i}+g_{i})\ln(n_{i}+g_{i})-n_{i}\ln(n_{i})+\alpha \left(N-\sum n_{i}\right)+\beta \left(E-\sum n_{i}\varepsilon _{i}\right)+K,}$$${\displaystyle n_{i}}$${\displaystyle n_{i}}$${\displaystyle n_{i}}$$${\displaystyle n_{i}={\frac {g_{i}}{e^{\alpha +\beta \varepsilon _{i}}-1}}.}$$

マクスウェル-ボルツマン統計の記事で概説されているのと同様の手順で、次のことがわかります。 これは、ボルツマンの有名な関係を使用すると、定積における熱力学の第二法則の記述となり、次の式が成り立ちます。ここで、Sはエントロピー、は化学ポテンシャル、k _Bはボルツマン定数、Tは温度です。したがって、最終的に次の式が成り立ちます。 $${\displaystyle d\ln W=\alpha \,dN+\beta \,dE}$$${\displaystyle S=k_{\text{B}}\,\ln W}$${\displaystyle \beta ={\frac {1}{k_{\text{B}}T}}}$${\displaystyle \alpha =-{\frac {\mu }{k_{\text{B}}T}}}$${\displaystyle \mu }$$${\displaystyle n_{i}={\frac {g_{i}}{e^{(\varepsilon _{i}-\mu )/k_{\text{B}}T}-1}}.}$$

上記の式は、 McQuarrieが指摘したように、絶対活性と書かれること もあることに注意してください。^[17]$${\displaystyle n_{i}={\frac {g_{i}}{e^{\varepsilon _{i}/k_{\text{B}}T}/z-1}},}$$${\displaystyle z=\exp(\mu /k_{\text{B}}T)}$

また、粒子数が保存されない場合、粒子数の保存制約を削除することは、設定することと等価であり、したがって化学ポテンシャルをゼロにすることと等価であることにも注意してください。これは、相互平衡にある光子と質量のある粒子の場合に当てはまり、結果として得られる分布はプランク分布になります。 ${\displaystyle \alpha }$${\displaystyle \mu }$

ボーズ・アインシュタイン分布関数を考えるためのはるかに簡単な方法は、n個の粒子が同一の球で表され、g 個の殻が g-1 個の線分割でマークされていると考えることです。これらのn 個の球とg − 1 個の分割の順列によって、異なるエネルギーレベルでボソンを配置するさまざまな方法が得られることは明らかです。たとえば、3 (=  n ) 個の粒子と 3 (=  g ) 個の殻の場合、( g − 1) = 2となり、配置は|●●|●、または||●●●、または|●|●●などになります。したがって、 n個の同一のアイテムと( g − 1) 個の同一のアイテムを持つn + ( g − 1) 個のオブジェクトの異なる順列の数は次のように なります。 $${\displaystyle {\frac {(g-1+n)!}{(g-1)!n!}}}$$

または

このノートの目的は、初心者向けにボーズ・アインシュタイン分布の導出のいくつかの側面を明らかにすることです。ボーズ・アインシュタイン分布の場合 (または方法) の列挙は、次のように書き直すことができます。 個のサイコロがあり、各サイコロは に対して集合 の値を取るサイコロ投げのゲームを考えます。このゲームの制約は、で表されるサイコロの値が、で表される前回のサイコロ投げの値以上、つまり でなければならないというものです。したがって、有効なサイコロ投げのシーケンスは、 となるn組で記述できます。これらの有効なn組 の集合を で表します。${\displaystyle n}$${\displaystyle \{1,\dots ,g\}}$${\displaystyle g\geq 1}$${\displaystyle i}$${\displaystyle m_{i}}$${\displaystyle (i-1)}$${\displaystyle m_{i-1}}$${\displaystyle m_{i}\geq m_{i-1}}$${\displaystyle (m_{1},m_{2},\dots ,m_{n})}$${\displaystyle m_{i}\geq m_{i-1}}$${\displaystyle S(n,g)}$

すると、量（上ではエネルギーレベルのサブレベル間で粒子を分配する方法の数として定義）は の濃度、つまり 内の要素（または有効なn組）の数になります。したがって、 の式を見つける問題は内の要素を数える問題になります。 ${\displaystyle w(n,g)}$${\displaystyle n}$${\displaystyle g}$${\displaystyle S(n,g)}$${\displaystyle S(n,g)}$${\displaystyle w(n,g)}$${\displaystyle S(n,g)}$

例n = 4、g = 3: (には要素があります) $${\displaystyle S(4,3)=\left\{\underbrace {(1111),(1112),(1113)} _{(a)},\underbrace {(1122),(1123),(1133)} _{(b)},\underbrace {(1222),(1223),(1233),(1333)} _{(c)},\underbrace {(2222),(2223),(2233),(2333),(3333)} _{(d)}\right\}}$$ $${\displaystyle w(4,3)=15}$$${\displaystyle 15}$${\displaystyle S(4,3)}$

部分集合は、最後のインデックス を除くすべてのインデックスを に固定することで取得されます。最後のインデックス は から まで増分されます。部分集合は、を固定し、からまで増分することで取得されます。内のインデックスに対する制約により、インデックスは自動的に 内の値をとる必要があります。部分集合との構築も同様の方法で行われます。 ${\displaystyle (a)}$${\displaystyle m_{i}}$${\displaystyle 1}$${\displaystyle m_{n}}$${\displaystyle 1}$${\displaystyle g=3}$${\displaystyle (b)}$${\displaystyle m_{1}=m_{2}=1}$${\displaystyle m_{3}}$${\displaystyle 2}$${\displaystyle g=3}$${\displaystyle m_{i}\geq m_{i-1}}$${\displaystyle S(n,g)}$${\displaystyle m_{4}}$${\displaystyle \left\{2,3\right\}}$${\displaystyle (c)}$${\displaystyle (d)}$

の各要素は、濃度 の多重集合と考えることができる。そのような多重集合の要素は、濃度 の集合から取られ、そのような多重集合の数は多重集合係数である。${\displaystyle S(4,3)}$${\displaystyle n=4}$${\displaystyle \left\{1,2,3\right\}}$${\displaystyle g=3}$ $${\displaystyle \left\langle {\begin{matrix}3\\4\end{matrix}}\right\rangle ={3+4-1 \choose 3-1}={3+4-1 \choose 4}={\frac {6!}{4!2!}}=15}$$

より一般的には、の各要素は、濃度（サイコロの数）の多重集合であり、その要素は濃度（各サイコロの可能な値の数）の集合から取られ、そのような多重集合の数、すなわち、は多重集合係数である。${\displaystyle S(n,g)}$${\displaystyle n}$${\displaystyle \left\{1,\dots ,g\right\}}$${\displaystyle g}$${\displaystyle w(n,g)}$

これは、二項係数に関する定理を用いて上で導出された の 式と全く同じである。${\displaystyle w(n,g)}$

分解を理解するには

または例えば、${\displaystyle n=4}$${\displaystyle g=3}$ $${\displaystyle w(4,3)=w(4,2)+w(3,2)+w(2,2)+w(1,2)+w(0,2),}$$

の要素を次のよう に並べ替えてみましょう。${\displaystyle S(4,3)}$$${\displaystyle S(4,3)=\left\{\underbrace {(1111),(1112),(1122),(1222),(2222)} _{(\alpha )},\underbrace {(111{\color {Red}{\underset {=}{3}}}),(112{\color {Red}{\underset {=}{3}}}),(122{\color {Red}{\underset {=}{3}}}),(222{\color {Red}{\underset {=}{3}}})} _{(\beta )},\underbrace {(11{\color {Red}{\underset {==}{33}}}),(12{\color {Red}{\underset {==}{33}}}),(22{\color {Red}{\underset {==}{33}}})} _{(\gamma )},\underbrace {(1{\color {Red}{\underset {===}{333}}}),(2{\color {Red}{\underset {===}{333}}})} _{(\delta )}\underbrace {({\color {Red}{\underset {====}{3333}}})} _{(\omega )}\right\}.}$$

明らかに、の部分集合は集合と同じである。 ${\displaystyle (\alpha )}$${\displaystyle S(4,3)}$$${\displaystyle S(4,2)=\left\{(1111),(1112),(1122),(1222),(2222)\right\}.}$$

の部分集合のインデックス（二重下線で赤く表示）を削除すると、集合 ${\displaystyle m_{4}=3}$${\displaystyle (\beta )}$${\displaystyle S(4,3)}$$${\displaystyle S(3,2)=\left\{(111),(112),(122),(222)\right\}.}$$

言い換えれば、の部分集合と集合 の間には1対1の対応関係がある。 ${\displaystyle (\beta )}$${\displaystyle S(4,3)}$${\displaystyle S(3,2)}$$${\displaystyle (\beta )\longleftrightarrow S(3,2).}$$

同様に、 $${\displaystyle (\gamma )\longleftrightarrow S(2,2)=\left\{(11),(12),(22)\right\}}$$ $${\displaystyle (\delta )\longleftrightarrow S(1,2)=\left\{(1),(2)\right\}}$$ $${\displaystyle (\omega )\longleftrightarrow S(0,2)=\{\}=\varnothing .}$$

つまり 、もっと一般的には、 $${\displaystyle S(4,3)=\bigcup _{k=0}^{4}S(4-k,2)}$$

そして、これらの集合 は交わらないので、 $${\displaystyle S(i,g-1),{\text{ for }}i=0,\dots ,n}$$

慣例に従って

この過程を続けると、次の式が得られる。 上の 慣例（7）_2を用いると、次の式が得られる。 $${\displaystyle w(n,g)=\sum _{k_{1}=0}^{n}\sum _{k_{2}=0}^{n-k_{1}}w(n-k_{1}-k_{2},g-2)=\sum _{k_{1}=0}^{n}\sum _{k_{2}=0}^{n-k_{1}}\cdots \sum _{k_{g}=0}^{n-\sum _{j=1}^{g-1}k_{j}}w(n-\sum _{i=1}^{g}k_{i},0).}$$

とが定数である ことを念頭に置いて、${\displaystyle q}$${\displaystyle p}$

すると、(8)と(2)は、、、など に対して同じ結果を与えることが検証できる。${\displaystyle w(4,3)}$${\displaystyle w(3,3)}$${\displaystyle w(3,2)}$