オイラー線

幾何学において、オイラー線は、レオンハルト・オイラー（/ ˈ ɔɪ l ər /）にちなんで名付けられた、正三角形でない三角形から決定される直線である。これは三角形の中心線であり、垂心、外心、重心、エクセター点、三角形の九点円の中心など、三角形から決定されるいくつかの重要な点を通ります。^[1]

三角形のオイラー線の概念は、四辺形や四面体などの他の図形のオイラー線にも拡張されます。

オイラーは1765年に、どんな三角形でも垂心、外心、重心が一直線上にあることを示した。^[2]この性質は、別の三角形の中心である九点中心にも当てはまるが、これはオイラーの時代には定義されていなかった。正三角形では、これら4点は一致しているが、他の三角形では、これらはすべて互いに異なっており、オイラー線はそのうちの2点によって決定される。

オイラー直線上にある他の注目すべき点には、ロンシャン点、シフラー点、エクセター点、ゴッサール・パースペクターなどがあります。^[1]しかし、内心は一般にオイラー直線上にありません。^[3]内心は二等辺三角形の場合にのみオイラー直線上にあり、^[4]二等辺三角形の場合、オイラー直線は三角形の対称軸と一致し、すべての三角形の中心を含みます。

参照三角形の接線三角形は、参照三角形の頂点で参照三角形の外接円に接する。接線三角形の外心は、参照三角形のオイラー線上にある。 ^{[5] : p. 447  [6] : p.104, #211, p.242, #346}直交三角形と接線三角形の相似中心もオイラー線上にある。^{[5] : p. 447  [6] : p. 102}

を三角形とします。外心、重心、垂心が同一線上にあることの証明は自由ベクトルに依存します。まず前提条件を述べます。まず、は関係式を満たします 。${\displaystyle ABC}$ ${\displaystyle O}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle H}$${\displaystyle G}$

${\displaystyle {\vec {GA}}+{\vec {GB}}+{\vec {GC}}=0.}$

これは、 の絶対重心座標が であるという事実から導かれる。さらに、シルベスターの問題^[7]は次のように表される。 ${\displaystyle G}$${\displaystyle {\frac {1}{3}}:{\frac {1}{3}}:{\frac {1}{3}}}$

${\displaystyle {\vec {OH}}={\vec {OA}}+{\vec {OB}}+{\vec {OC}}。}$

さて、ベクトルの加算を使って、次の式を導きます。

${\displaystyle {\vec {GO}}={\vec {GA}}+{\vec {AO}}\,{\mbox{(三角形内 }}AGO{\mbox{)}},\,{\ vec {GO}}={\vec {GB}}+{\vec {BO}}\,{\mbox{(三角形内 }}BGO{\mbox{)}},\,{\vec {GO}}={\vec {GC}}+{\vec {CO}}\,{\mbox{(三角形内 }}CGO{\mbox{)}}。}$

これら3つの関係を項ごとに足し合わせると、次の式が得られます。

${\displaystyle 3\cdot {\vec {GO}}=\left(\sum \limits _{\scriptstyle {\rm {cyc}}}{\vec {GA}}\right)+\left(\sum \limits _{\scriptstyle {\rm {cyc}}}{\vec {AO}}\right)=0-\left(\sum \limits _{\scriptstyle {\rm {cyc}}}{\vec {OA}}\right)=-{\vec {OH}}.}$

結論として、、であり、したがって 3 つの点、、および(この順序で) は同一直線上にあります。 ${\displaystyle 3\cdot {\vec {OG}}={\vec {OH}}}$${\displaystyle O}$${\displaystyle G}$${\displaystyle H}$

ドーリエの著書^[7]では、オイラー直線とシルベスターの問題が1つの証明にまとめられている。しかし、シルベスターの問題の証明のほとんどは、オイラー直線とは関係なく、自由ベクトルの基本的な性質に依存している。

オイラー線上では、重心Gは外心Oと垂心Hの間にあり、垂心からは外心からの2倍の距離にある。^{[6] : p.102}

${\displaystyle GH=2GO;}$

${\displaystyle OH=3GO.}$

線分GHは直交重心円の直径です。

9点円の中心Nは、垂心と外心の中間にあるオイラー線に沿って位置する。 ^[1]

${\displaystyle ON=NH,\quad OG=2\cdot GN,\quad NH=3GN.}$

したがって、オイラー直線は、あるスケール係数tに対して、外心O を位置 0 、重心Gを 2 t、 9 点中心を 3 t、垂心Hを 6 tとして数直線上に再配置することができます。

さらに、オイラー線に沿った重心と外心の間の距離の二乗は、外接半径 R ^{2の二乗よりも、辺の長さ}a、b、cの二乗の合計の9分の1に等しい量だけ小さくなります。^{[6] ：p.71}

${\displaystyle GO^{2}=R^{2}-{\tfrac {1}{9}}(a^{2}+b^{2}+c^{2}).}$

さらに、^{[6] : p.102}

${\displaystyle OH^{2}=9R^{2}-(a^{2}+b^{2}+c^{2});}$

${\displaystyle GH^{2}=4R^{2}-{\tfrac {4}{9}}(a^{2}+b^{2}+c^{2}).}$

A、B、Cを基準三角形の頂点角とし、x:y:zを三線座標の変数点とすると、 オイラー直線 の方程式は次のようになる。

${\displaystyle \sin(2A)\sin(BC)x+\sin(2B)\sin(CA)y+\sin(2C)\sin(AB)z=0.}$

重心座標 におけるオイラー直線の方程式は^[8]である。${\displaystyle \alpha:\beta:\gamma}$

${\displaystyle (\tan C-\tan B)\alpha +(\tan A-\tan C)\beta +(\tan B-\tan A)\gamma =0.}$

オイラー直線を表す別の方法は、パラメータtで表すものである。外心（三線座標）と垂心（三線座標）から始めて、垂心を除くオイラー直線上のすべての点は、三線座標で与えられる。 ${\displaystyle \cosA:\cosB:\cosC}$${\displaystyle \sec A:\sec B:\sec C=\cos B\cos C:\cos C\cos A:\cos A\cos B),}$

${\displaystyle \cos A+t\cos B\cos C:\cos B+t\cos C\cos A:\cos C+t\cos A\cos B}$

あるtに対して、これら 2 点の三線分の線形結合として形成されます。

例えば：

• 外心にはパラメータ値に対応する三線がある${\displaystyle \cosA:\cosB:\cosC,}$${\displaystyle t=0.}$
• 重心にはパラメータ値に対応する三線がある${\displaystyle \cos A+\cos B\cos C:\cos B+\cos C\cos A:\cos C+\cos A\cos B,}$${\displaystyle t=1.}$
• 9点の中心にはパラメータ値に対応する三線がある${\displaystyle \cos A+2\cos B\cos C:\cos B+2\cos C\cos A:\cos C+2\cos A\cos B,}$${\displaystyle t=2.}$
• ロンシャン点にはパラメータ値に対応する三線がある${\displaystyle \cos A-\cos B\cos C:\cos B-\cos C\cos A:\cos C-\cos A\cos B,}$${\displaystyle t=-1.}$

直交座標系において、三角形の辺の傾きを、オイラー直線の傾きを と表す。これらの傾きは^[9]に従って関係付けられる^{。補題 1}${\displaystyle m_{1},}$ ${\displaystyle m_{2},}$${\displaystyle m_{3},}$${\displaystyle m_{E}}$

${\displaystyle m_{1}m_{2}+m_{1}m_{3}+m_{1}m_{E}+m_{2}m_{3}+m_{2}m_{E}+m_{3}m_{E}}$

${\displaystyle +3m_{1}m_{2}m_{3}m_{E}+3=0.}$

したがって、オイラー直線の傾き（有限の場合）は、辺の傾きで次のように表すことができます。

${\displaystyle m_{E}=-{\frac {m_{1}m_{2}+m_{1}m_{3}+m_{2}m_{3}+3}{m_{1}+m_{2}+m_{3}+3m_{1}m_{2}m_{3}}}.}$

さらに、オイラー直線が鋭角三角形の辺BCに平行となるのは、 ^{[9] : p.173}のときのみである。 ${\displaystyle \tan B\tan C=3.}$

与えられた三角形に内接する正三角形の重心の軌跡は、与えられた三角形のオイラー線に垂直な2本の線によって形成される。^{[10] : Coro. 4}

直角三角形では、オイラー線は斜辺の中線と一致します。つまり、オイラー線は直角頂点とその頂点の反対側の辺の中点の両方を通ります。これは、直角三角形の垂心、つまり高さの交点が直角頂点にあり、外心、つまり辺の垂直二等分線の交点が斜辺の中点にあるためです。

二等辺三角形のオイラー線は対称軸と一致します。二等辺三角形では、内心がオイラー線上にあります。

自己中線三角形（中線が辺と同じ比率だが順序が逆である三角形）のオイラー線は、中線の1つに垂直である。 ^[11]

フェルマー・トリチェリ点F ₁とF ₂を持つ三角形ABCを考える。A 、B、C、F ₁、F ₂から選ばれた頂点を持つ10個の三角形のオイラー線は三角形ABCの​​重心で一致する。^[12]

垂心系（各点が三角形の垂心となり、他の3点が頂点となる4点の集合）によって形成される4つの三角形のオイラー線は、すべての三角形に共通する9点の中心で一致する。^{[6] : p.111}

凸四辺形において、準直交心H、面積重心G、準外心 Oはオイラー直線上でこの順序で一直線上にあり、HG = 2 GOである。^[13]

四面体は、 4 つの三角形の面で囲まれた3 次元の物体です。四面体に関連付けられた 7 本の線は、その重心で一致し、6 つの中面はモンジュ点で交差し、すべての頂点を通過する外接球があり、その中心は外心です。これらの点は、三角形のオイラー線に類似した四面体の「オイラー線」を定義します。重心は、この線に沿ったモンジュ点と外心の間の中点です。12点球の中心もオイラー線上にあります。

単体多面体とは、面がすべて単体（単体の複数形）である多面体である。例えば、すべての多角形は単体多面体である。このような多面体に関連付けられたオイラー線は、その重心と質量の外心によって決まる線である。このオイラー線の定義は、上記の定義を一般化したものである。^[14]

が多角形であると仮定します。オイラー直線は、次のように の 対称性に影響を受けます。${\displaystyle P}$${\displaystyle E}$${\displaystyle P}$

1. が鏡映対称線 を持つ場合、 はまたは 上の点です。 ${\displaystyle P}$${\displaystyle L}$${\displaystyle E}$${\displaystyle L}$${\displaystyle L}$

2.に回転対称中心がある場合、 となります。 ${\displaystyle P}$${\displaystyle C}$${\displaystyle E=C}$

3. の辺のうち 1 辺を除くすべての辺の長さが等しい場合、 は最後の辺と直交します。 ${\displaystyle P}$${\displaystyle E}$

三角形のキーパート放物線は、三角形の2辺（2辺の延長線）に接し、オイラー線を準線とする唯一の放物線である。^{[15] ：p. 63}

• オイラー線上にあるいくつかの三角形の中心を表示するインタラクティブ アプレット。
• Wolfram デモンストレーション プロジェクトの「オイラー直線」と「非ユークリッド三角形連続体」
• ダイナミックジオメトリスケッチにおける、9 点円錐曲線とオイラー直線の一般化、オイラー直線のさらなる一般化、および四辺形と六角形の準オイラー直線
• ボゴモルニー、アレクサンダー、「高度とオイラー線」および「オイラー線と 9 点円」、Cut-the-Knot
• キンバリング、クラーク、「オイラー直線上の三角形の中心」、三角形の中心
• Ghostarchive と Wayback Machine にアーカイブされています: Stankova, Zvezdelina (2016 年 2 月 1 日)、「Triangles have a Magic Highway」、Numberphile、YouTube
• ワイスタイン、エリック・W.「オイラー線」。マスワールド。