フェルマー点

ユークリッド幾何学において、三角形のフェルマー点（トリチェリ点またはフェルマー・トリチェリ点とも呼ばれる）とは、三角形の3つの頂点からその点までの3つの距離の合計が最小となる点^[¹^]、あるいは同等に、 3つの頂点の幾何平均となる点のことである。この問題は、フェルマーがエヴァンジェリスタ・トリチェリへの私信の中で最初に提起し、トリチェリがそれを解決したことから、この名前が付けられた。

フェルマー点は、 3点に関する幾何中央値問題とシュタイナー木問題の解を与える。

工事

最大角が120°以下の三角形のフェルマー点は、単純にその第一等角中心、またはX(13) ^{[ 2 ]}であり、これは次のように構成されます。

与えられた三角形の任意の2辺それぞれに正三角形を作図する。
それぞれの新しい頂点から、元の三角形の反対側の頂点まで線を引きます。
この2つの直線はフェルマー点で交わる。

別の方法としては、以下の方法があります。

任意に選んだ2辺それぞれに、底辺が問題の辺で、底辺の角が30度であり、各二等辺三角形の3番目の頂点が元の三角形の外側にある二等辺三角形を作図する。
それぞれの二等辺三角形について、円を描きます。円の中心は二等辺三角形の新しい頂点とし、半径はその二等辺三角形の新しい2辺の長さに等しくなるようにします。
2つの円が交わる元の三角形の内側の交点がフェルマー点である。

三角形の頂点の角度が120°より大きい場合、フェルマー点は鈍角の頂点に位置する。

以下では、「ケース1」とは三角形の角度が120°を超える場合を意味し、「ケース2」とは三角形のどの角度も120°を超えない場合を意味する。

X(13)の位置

$図2は、任意の三角形△$ $ABC$ の辺に取り付けられた正三角形 $△ ARB 、△ AQC 、△ CPB$ を示しています。ここでは、同心円点の性質を用いて、図2の3つの直線 $RC、BQ、APが$ すべて点 $F$ で交わり、互いに60°の角度で交わることを証明します。

三角形 $△ RACと △ BAQ は$ $、△ BAQ が$ $△$ $RAC を点A$ を中心に 60° 回転させた三角形であるため、合同です。したがって、 $∠ARF$ $= ∠ABF$ $および$ ∠AQF $=$ $∠ACF$ $と$ なります。円周角の定理の逆を線分 $AF$ に適用すると、点 $ARBF$ $は$ 円周上にあります。同様に、点 $AFCQ$ も円周上にあります。

$∠ARB = 60 °$ なので、円周角の定理を用いると $∠AFB = 120° と$ なる。同様に、 $∠AFC$ $= 120°$ $と$ なる。

したがって、 $∠BFC = 120° です$ 。よって、 $∠BFC + ∠BPC = 180° です。$ 円周角の定理を用いると、点 $BPCF は同一円周上$ $に$ あることがわかります。したがって、円周角の定理を線分 $BP$ に適用すると、 $∠BFP = ∠BCP = 60° です。∠BFP$ + $∠BFA$ $=$ $180°$ なので、点 $F$ は線分 $AP$ 上にあります。したがって、直線 $RC、BQ、AP$ は一点で交わります。証明 $終了$

この証明はケース 2 にのみ適用されます。なぜなら、 $∠ BAC > 120°$ の場合、点 $Aは$ $△ BPC$ の外接円の内側にあり、 $A$ と $F$ の相対位置が入れ替わるからです。ただし、ケース 1 をカバーするように簡単に変更できます。すると、 $∠ AFB = ∠ AFC = 60°$ となり、 $∠ BFC = ∠ AFB + ∠ AFC = 120°$ となり、 $BPCF$ は内接円であるため、 $∠ BFP = ∠ BCP = 60° = ∠ BFA$ となります。したがって、 $A は$ $FP$ 上にあります。

図2の円の中心を結ぶ線は、線分 $AP 、 BQ 、 CR$ に垂直です。例えば、 $△ ARBを$ $含む円の中心と△ AQC$ を含む円の中心を結ぶ線は、線分 $AP$ に垂直です。したがって、円の中心を結ぶ線は60°の角度で交わります。ゆえに、円の中心は正三角形を形成します。これはナポレオンの定理として知られています。

フェルマー点の位置

伝統的な幾何学

任意のユークリッド三角形 $△ ABC$ と任意の点 $P$ が与えられたとき、 $d(P)=|PA|+|PB|+|PC|.$ このセクションの目的は、点 $P 0$ を特定することです。 $d(P_0)<d(P)$ すべての人々のために $P\neq P_{0}.$ そのような点が存在する場合、それはフェルマー点となる。以下では、 $Δは$ 三角形の内部の点を表し、その境界 $Ω$ を含むものとする。

重要な結果の一つとして、ドッグレッグルールが挙げられます。これは、三角形と多角形が一辺を共有し、三角形の残りの部分が多角形の内側にある場合、三角形の周長は多角形の周長よりも短いというものです。

AB

が共通辺である場合、

AC

を延長して多角形を点

Xで切断します。すると、

三角形の不等式により、多角形の周長は次のようになります。

{\text{周長}}>|AB|+|AX|+|XB|=|AB|+|AC|+|CX|+|XB|\geq |AB|+|AC|+|BC|.

$P を$ $Δ$ の外側の任意の点とする。各頂点をその遠隔領域、すなわち（拡張された）反対側の半平面と関連付ける。これら 3 つの領域は $Δ$ 自体を除く平面全体を覆い、 $P は$ 明らかにそのうちの 1 つまたは 2 つに含まれる。P $が$ 2 つ（例えば $B$ 領域と $C$ 領域の交差部分）に含まれる場合、 $P'=A$ 暗示する $d(P')=d(A)<d(P)$ ドッグレッグルールにより。あるいは、 $Pが$ 1つのゾーン、例えば $A$ ゾーンにのみ存在する場合、 $d(P')<d(P)$ ここで、 $P'は$ $AP$ と $BC$ の交点である。したがって、 $Δ$ の外側のすべての点 $Pに対して、$ $Ω$ 内に次の条件を満たす点 $P'が存在する。$ $d(P')<d(P).$

ケース1：三角形の内角が120°以上である。

一般性を失うことなく、 $A$ の角度が120° 以上であると仮定します。正三角形 $△ AFB$ $を作図し、 △$ 内の任意の点 $P$ ( $A$ 自体を除く)に対して、三角形 $△$ $AQP が$ 正三角形であり、図示された向きになるように $Q を作図します。すると、三角形$ $△$ $ABP$ は三角形 $△$ $AFQ$ $をA$ を中心に60° 回転させたものなので、これら 2 つの三角形は合同であり、したがって、 $d(P)=|CP|+|PQ|+|QF|$ これは単に経路 $CPQFの長さです。P$ $は$ $△ ABC$ 内に収まるように制約されているため、ドッグレッグ規則により、この経路の長さはを超えます。 $|AC|+|AF|=d(A).$ したがって、 $d(A)<d(P)$ すべての人々のために $P\in \Delta ,P\neq A.$ $ここで、 P が$ $Δ$ の外側を動くようにする。 $P'\in \Omega$ が存在して、 $d(P')<d(P)$ そして $d(A)\leq d(P')$ したがって、 $d(A)<d(P)$ $Δ$ の外側のすべての $P$ に対して。したがって $d(A)<d(P)$ すべての人々のために $P\neq A$ つまり、 $Aは$ $Δ$ のフェルマー点である。言い換えれば、フェルマー点は鈍角の頂点にある。

ケース2：三角形には120°以上の角度が存在しない。

正三角形 $△ BCD$ を作図し、 $△BCD$ 内の任意の点を $P$ とし、正三角形 $△$ $CPQ$ を作図する。すると $△$ $CQDは$ $△$ $CPB$ $をC$ を中心に60°回転させたものとなるので、

d(P)=|PA|+|PB|+|PC|=|AP|+|PQ|+|QD|

これは、求めたい距離の合計が、区分的線形線に沿って A から D までの経路 $APQDの長さに等しいことを示しています。次に、$ $P を$ $△ ABC$ の等角中心として選択すると、経路 $APQD が直線上にあり、したがって最小であることを示します。これ$ $を$ 行うには、正三角形 $△ ABF$ を構成します。ADと $CF が$ 交わる点を $P 0$ $とします。構成により、この点は△$ $ABC$ の最初の等角中心 (上記を参照) です。P $の$ 場合と同様に $P$ $0$ で同じ操作を実行し、点 $Q$ $0$ を見つけます。角度の制限により、 $P$ $0$ $は△$ $ABC の$ 内部にあります。P $0$ $は$ 等角中心であるため、 $∠$ $AP$ $0$ $C$ $= 120°$ です。構成により、 $∠$ $CP$ $0$ $Q$ $0$ $= 60°$ なので、 $A$ 、 $P$ $0$ 、 $Q$ $0は$ $Aから$ $D$ までの線上に並んでいます。（また、 $△$ $BCF$ $は△$ $BDA$ $をBを$ 中心に60°回転させたものなので、 $Q0$ $は$ $AD$ 上のどこかに位置するはずです。）∠CDB = 60°なので $、$ $Q0$ $は$ $P0$ $と$ $D$ $の$ $間$ $に$ あることがわかります。経路 $AP0Q0D$ $は$ $直線上$ $に$ あるので、 $d(P_{0})=|AD|.$ さらに、もし $P\neq P_{0}$ すると $P$ または $Qは$ $AD$ 上にないということ $d(P_{0})=|AD|<d(P).$ $ここで、 P が$ $Δ$ の外側を動くようにする。 $P'\in \Omega$ が存在して、 $d(P')<d(P)$ そして $d(P_{0})\leq d(P')$ したがって、 $d(P_{0})<d(P)$ $Δ$ の外側のすべての $P$ に対して。つまり、 $P$ $0$ $はΔ$ のフェルマー点です。言い換えれば、フェルマー点は最初の等角中心と一致します。

ベクトル解析

$O、A、B、C、X を$ 平面上の任意の 5 つの点とする。ベクトルを次のように表す。 ${\overrightarrow {OA}},\ {\overrightarrow {OB}},\ {\overrightarrow {OC}},\ {\overrightarrow {OX}}$ $それぞれa 、 b 、 c 、 x$ で表し、 $i 、 j 、 k$ $をOから$ $a 、 b 、 c$ に沿った単位ベクトルとする。

{\begin{aligned}|\mathbf {a} |&=\mathbf {a\cdot i} =(\mathbf {a} -\mathbf {x} )\mathbf {\,\cdot \,i} +\mathbf {x\cdot i} \leq |\mathbf {a} -\mathbf {x} |+\mathbf {x\cdot i} ,\\|\mathbf {b} |&=\mathbf {b\cdot j} =(\mathbf {b} -\mathbf {x} )\mathbf {\,\cdot \,j} +\mathbf {x\cdot j} \leq |\mathbf {b} -\mathbf {x} |+\mathbf {x\cdot j} ,\\|\mathbf {c} |&=\mathbf {c\cdot k} =(\mathbf {c} -\mathbf {x} )\mathbf {\,\cdot \,k} +\mathbf {x\cdot k} \leq |\mathbf {c} -\mathbf {x} |+\mathbf {x\cdot k} .\end{aligned}}

$a 、 b 、 c$ を加えると

|\mathbf {a} |+|\mathbf {b} |+|\mathbf {c} |\leq |\mathbf {a} -\mathbf {x} |+|\mathbf {b} -\mathbf {x} |+|\mathbf {c} -\mathbf {x} |+\mathbf {x} \cdot (\mathbf {i} +\mathbf {j} +\mathbf {k} ).

$a 、 b 、 cが$ $点O$ で120°の角度で交わる場合、 $i + j + k = 0と$ なるので、

|\mathbf {a} |+|\mathbf {b} |+|\mathbf {c} |\leq |\mathbf {a} -\mathbf {x} |+|\mathbf {b} -\mathbf {x} |+|\mathbf {c} -\mathbf {x} |

$すべてのx$ に対して。言い換えれば、

|OA|+|OB|+|OC|\leq |XA|+|XB|+|XC|

したがって、 $Oは$ $△ ABC$ のフェルマー点である。

$この議論は、$ 三角形の角度∠C > 120°の場合に破綻します $。なぜなら、$ $a$ $、$ $b$ $、$ $c$ が120°の角度で交わる点 $O$ が存在しないからです。しかし、 $k$ $= - ($ $i$ $+$ $j$ $)を再定義し、$ $C$ に $O$ を配置して $c$ $=$ $0$ とすることで簡単に修正できます。単位ベクトル $i$ $、$ $j$ の間の角度は $∠C$ であり、120°を超えるため、 $|$ $k$ $|$ $\leq$ $1で$ あることに注意してください。

|\mathbf {0} |\leq |\mathbf {0} -\mathbf {x} |+\mathbf {x\cdot k} ,

3番目の不等式は依然として成り立ち、他の2つの不等式は変わりません。証明は上記と同様に続けられ（3つの不等式を追加し、 $i + j + k = 0$ $を使用）、 O$ （この場合は $C ）が$ $△ ABC$ のフェルマー点であるに違いないという同じ結論に達します。

ラグランジュ乗数

三角形の頂点までの距離の合計が最小となる点を三角形内部で見つける別の方法として、数学的最適化手法の一つ、具体的にはラグランジュ乗数法と余弦定理を用いる方法がある。

三角形の内部の点から頂点へ線を引いて、それらを $X 、 Y 、 Z$ とします。また、これらの線の長さをそれぞれ $x、y、z$ とします。Xと $Y$ $の$ 間の角度をα $、$ Y $と$ Z の $間$ $の角度をβ$ とします。すると、 $X$ と $Z$ の間の角度は $π - α - β$ となります。ラグランジュ乗数法を用いて、ラグランジアン $L$ の最小値を求めます。ラグランジアン L は次のように表されます。

L=x+y+z+\lambda _{1}(x^{2}+y^{2}-2xy\cos(\alpha )-a^{2})+\lambda _{2}(y^{2}+z^{2}-2yz\cos(\beta )-b^{2})+\lambda _{3}(z^{2}+x^{2}-2zx\cos(\alpha +\beta )-c^{2})

ここで $、a、b、c$ は三角形の辺の長さである。

5つの偏導関数をそれぞれ等しいとおく ${\tfrac {\partial L}{\partial x}},{\tfrac {\partial L}{\partial y}},{\tfrac {\partial L}{\partial z}},{\tfrac {\partial L}{\partial \alpha }},{\tfrac {\partial L}{\partial \beta }}$ ゼロに近づけ、 $λ 1 、 λ 2 、 λ 3$ を消去すると、最終的に $sin α = sin β$ および $sin(α + β) = - sin β$ となり、 $α = β = 120° と$ なります。ただし、消去は長く面倒な作業であり、最終結果はケース 2 のみをカバーします。

不動産

三角形の最大角が120°以下である場合、X（13）はフェルマー点である。
X (13)における三角形の辺がなす角度はすべて 120° (ケース 2) または 60°、60°、120° (ケース 1) に等しい。
構築された３つの正三角形の外接円はXで交わる（１３）。
最初の等角中心の三線形座標、X (13): ^{[ 3 ]}

{\begin{aligned}&\csc \left(A+{\tfrac {\pi }{3}}\right):\csc \left(B+{\tfrac {\pi }{3}}\right):\csc \left(C+{\tfrac {\pi }{3}}\right)\\&=\sec \left(A-{\tfrac {\pi }{6}}\right):\sec \left(B-{\tfrac {\pi }{6}}\right):\sec \left(C-{\tfrac {\pi }{6}}\right).\end{aligned}}

第２の等角中心X（１４）の三線座標：^[４]

{\begin{aligned}&\csc \left(A-{\tfrac {\pi }{3}}\right):\csc \left(B-{\tfrac {\pi }{3}}\right):\csc \left(C-{\tfrac {\pi }{3}}\right)\\&=\sec \left(A+{\tfrac {\pi }{6}}\right):\sec \left(B+{\tfrac {\pi }{6}}\right):\sec \left(C+{\tfrac {\pi }{6}}\right).\end{aligned}}

フェルマー点の三線座標：

1-u+uvw\sec \left(A-{\tfrac {\pi }{6}}\right):1-v+uvw\sec \left(B-{\tfrac {\pi }{6}}\right):1-w+uvw\sec \left(C-{\tfrac {\pi }{6}}\right)

ここで

、u、v、w

はそれぞれブール変数

(A < 120°)、(B < 120°)、(C < 120°)

を表します。

X (13)の等角共役は、最初の等力点X (15) です。^[⁵^]

\sin \left(A+{\tfrac {\pi }{3}}\right):\sin \left(B+{\tfrac {\pi }{3}}\right):\sin \left(C+{\tfrac {\pi }{3}}\right).

X (14)の等角共役は、第 2 等力点X (16) である。^{[ 6 ]}

\sin \left(A-{\tfrac {\pi }{3}}\right):\sin \left(B-{\tfrac {\pi }{3}}\right):\sin \left(C-{\tfrac {\pi }{3}}\right).

以下の三角形は正三角形です。
- Xの対脚三角形（13）
- Xの反足三角形（14）
- Xのペダル三角形（15）
- Xのペダル三角形（16）
- Xの周縁三角形（15）
- Xの周縁三角形（16）
直線X (13)、X (15)、X (14)、X (16) はオイラー線に平行である。これら 3 つの直線はオイラー無限遠点X (30) で交わる。
点X (13)、X (14)、外心、および9 点中心はレスター円上にあります。
直線X (13) X (14) は、 X (2) とX (4)の中点でオイラー線と交わる。^{[ 7 ]}
フェルマー点は、中心に穴が開けられた開いた直交重心円盤の中にあり、その円盤内の任意の点になり得る。 ^{[ 8 ]}

別名

等軸中心X (13) とX (14) は、それぞれ第 1 フェルマー点と第2 フェルマー点としても知られています。別の名称としては、正のフェルマー点と負のフェルマー点があります。しかし、これらの異なる名称は混乱を招く可能性があり、おそらく避けるのが最善でしょう。問題は、多くの文献でフェルマー点と第 1 フェルマー点の区別が曖昧になっていることですが、実際には上記のケース 2 の場合のみ両者が同じです。

歴史

この問題はフェルマーがエヴァンジェリスタ・トリチェリへの挑戦として提起したものである。彼はフェルマーと同様の方法でこの問題を解決したが、3つの正三角形の外接円の交点を利用した。彼の弟子であるヴィヴィアーニは1659年にその解を発表した。^{[ 9 ]}

参考文献

↑結び目を断ち切る - フェルマー点と一般化
↑ Kimberling, Clark (1994). "三角形の平面における中心点と中心線". Mathematics Magazine . 67 (3): 163– 187. doi : 10.1080/0025570X.1994.11996210 . JSTOR 2690608. MR 1573021 . X _13、174ページを参照。
↑三角形中心百科事典の項目 X(13) 2012年4月19日にWayback Machineにアーカイブされました
↑三角形中心百科事典の項目 X(14) 2012年4月19日にWayback Machineにアーカイブされました
↑三角形中心百科事典の項目 X(15) 2012年4月19日にWayback Machineにアーカイブされました
↑三角形中心百科事典の項目 X(16) 2012年4月19日にWayback Machineにアーカイブされました
↑キンバーリング、クラーク。「三角形の中心の百科事典」。
↑ Christopher J. Bradley および Geoff C. Smith、「三角形の中心の位置」、 Forum Geometricorum 6 (2006)、57-70。http ://forumgeom.fau.edu/FG2006volume6/FG200607index.html 2016年3月4日にWayback Machineにアーカイブ済み
↑ Weisstein, Eric W. 「フェルマー点」 . MathWorld .

外部リンク

「フェルマー・トリチェリ問題」、数学百科事典、EMS Press、2001年 [1994年]
クリス・ブーシェによるフェルマー点、ウルフラム・デモンストレーション・プロジェクト。
ダイナミックジオメトリスケッチにおける三角形のフェルマー・トリチェリ点と空港問題：ガイド付き証明を含む、関連する2つの探究学習活動
フェルマー点の具体的な例

[1] 結び目を断ち切る - フェルマー点と一般化

[2] Kimberling, Clark (1994). "三角形の平面における中心点と中心線". Mathematics Magazine . 67 (3): 163– 187. doi : 10.1080/0025570X.1994.11996210 . JSTOR 2690608. MR 1573021 . X _13、174ページを参照。

[3] 三角形中心百科事典の項目 X(13) 2012年4月19日にWayback Machineにアーカイブされました

[4] 三角形中心百科事典の項目 X(14) 2012年4月19日にWayback Machineにアーカイブされました

[5] 三角形中心百科事典の項目 X(15) 2012年4月19日にWayback Machineにアーカイブされました

[6] 三角形中心百科事典の項目 X(16) 2012年4月19日にWayback Machineにアーカイブされました

[ETC-7] キンバーリング、クラーク。「三角形の中心の百科事典」。

[Bradley-8] Christopher J. Bradley および Geoff C. Smith、「三角形の中心の位置」、 Forum Geometricorum 6 (2006)、57-70。http ://forumgeom.fau.edu/FG2006volume6/FG200607index.html 2016年3月4日にWayback Machineにアーカイブ済み

[9] Weisstein, Eric W. 「フェルマー点」 . MathWorld .

[

[ 2 ]

[ 3 ]

[４]

[

[ 6 ]

[ 7 ]

[ 8 ]

[ 9 ]

工事