直交重心円

幾何学において、非正三角形の垂心円は、三角形の垂心と重心が直径の両端にある円です。この直径には三角形の9 点の中心も含まれ、垂心円の外側の外心も含まれるオイラー直線の部分集合です。

アンドリュー・ギナンドは1984年に、三角形の内心は直交重心円の内部にあるが、9点中心とは一致しないことを示した。つまり、9点中心で開けられた直交重心円内に収まらなければならない。 ^[1]^[2]^[3]^[4] ^[5]^{: pp. 451–452} 特定の直交重心円を持つ三角形によっては、内心はそのような点のいずれでもよい。^[3]

さらに、^[2]フェルマー点、ジェルゴンヌ点、対称点は、その中心で穿孔された開いた直交重心円上にあり（その中のどの点にあっても構わない）、一方、第2のフェルマー点とフォイエルバッハ点は直交重心円の外側にある。ブロカール点のいずれか一方の潜在的な位置の集合も、開いた直交重心円である。^[6]

直交重心円の直径の2乗は^[7]^{: p.102} で、a、b、cは三角形の辺の長さ、Dは外接円の直径です。 $D^{2}-{\tfrac {4}{9}}(a^{2}+b^{2}+c^{2}),$

参考文献

^ Guinand, Andrew P. (1984)、「オイラー線、三接中心、およびその三角形」、アメリカ数学月刊誌、91 (5): 290–300、doi :10.2307/2322671、JSTOR 2322671。
^ ab ブラッドリー、クリストファー J.; スミス、ジェフ C. (2006)、「三角形の中心の位置」、フォーラム幾何学、6 : 57–70。
^ ab Stern, Joseph (2007)、「オイラーの三角形決定問題」(PDF)、Forum Geometricorum、7 : 1–9。
^ フランツセン、ウィリアム・N. (2011)、「内心からオイラー線までの距離」、フォーラム幾何学、11 : 231–236。
^ レバーシャ、ジェリー、スミス、GC（2007年11月）、「オイラーと三角形の幾何学」、数学ガゼット、91（522）：436–452、doi：10.1017 / S0025557200182087、JSTOR 40378417、S2CID 125341434。
^ ブラッドリー、クリストファー J.、スミス、ジェフ C. (2006)、「ブロカール点の位置」、フォーラム幾何学、6 : 71–77。
^ Altshiller-Court, Nathan, College Geometry、Dover Publications、2007年（原著はBarnes & Noble 1952年）。

外部リンク

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[1] Guinand, Andrew P. (1984)、「オイラー線、三接中心、およびその三角形」、アメリカ数学月刊誌、91 (5): 290–300、doi :10.2307/2322671、JSTOR 2322671。

[Bradley-2] ブラッドリー、クリストファー J.; スミス、ジェフ C. (2006)、「三角形の中心の位置」、フォーラム幾何学、6 : 57–70。

[Stern-3] Stern, Joseph (2007)、「オイラーの三角形決定問題」(PDF)、Forum Geometricorum、7 : 1–9。

[4] フランツセン、ウィリアム・N. (2011)、「内心からオイラー線までの距離」、フォーラム幾何学、11 : 231–236。

[SL-5] レバーシャ、ジェリー、スミス、GC（2007年11月）、「オイラーと三角形の幾何学」、数学ガゼット、91（522）：436–452、doi：10.1017 / S0025557200182087、JSTOR 40378417、S2CID 125341434。

[6] ブラッドリー、クリストファー J.、スミス、ジェフ C. (2006)、「ブロカール点の位置」、フォーラム幾何学、6 : 71–77。

[ac-7] Altshiller-Court, Nathan, College Geometry、Dover Publications、2007年（原著はBarnes & Noble 1952年）。