オイラーの公式

オイラーの公式は、レオンハルト・オイラーにちなんで名付けられた、複素 解析における数式であり、三角関数と複素指数関数の基本的な関係を確立する。オイラーの公式によれば、任意の実数xに対して、次の式が成り立つ。 ここで、 eは自然対数の底、iは虚数単位、cosとsin はそれぞれ三角関数の余弦と正弦である。この複素指数関数は、cis x (「余弦プラスi正弦」) と表記されることもある。この公式はx が複素数であっても有効であり、このより一般的な場合にはオイラーの公式とも呼ばれる。^[1]  $${\displaystyle e^{ix}=\cos x+i\sin x,}$$

オイラーの公式は数学、物理学、化学、工学のあらゆる分野で使われています。物理学者リチャード・ファインマンは、この方程式を「私たちの宝石」であり「数学で最も注目すべき公式」と呼びました。^[2]

x = πのとき、オイラーの公式はe ^iπ + 1 = 0またはe ^iπ = −1と書き直すことができ、これはオイラーの恒等式として知られています。

1714 年、イギリスの数学者ロジャー・コーツは、（ の間違った係数を修正した後）次のように解釈できる幾何学的議論を提示しました。 ^{[3] [4] [5]この式を累乗すると、オイラーの公式が得られます。複素数対数は}2 πi の倍数で異なる無限の数の値を持つことができるため、対数の記述は複素数に対して普遍的に正しいわけではないことに注意してください。 ${\displaystyle {\sqrt {-1}}}$ $${\displaystyle ix=\ln(\cos x+i\sin x).}$$

1740年頃、レオンハルト・オイラーは指数関数に注目し、指数式と三角式の級数展開を比較することで彼の名を冠した方程式を導きました。^{[6] [4]この公式は1748年に彼の基礎的な著作}『無限関数の解析入門』で初めて発表されました。^[7]

ヨハン・ベルヌーイは^[8] $${\displaystyle {\frac {1}{1+x^{2}}}={\frac {1}{2}}\left({\frac {1}{1-ix}}+{\frac {1}{1+ix}}\right).}$$

また、上記の式は、 自然対数を虚数（複素数）に関連付けることで、複素対数 について何かを教えてくれます。ただし、ベルヌーイは積分を評価しませんでした。 $${\displaystyle \int {\frac {dx}{1+ax}}={\frac {1}{a}}\ln(1+ax)+C,}$$

ベルヌーイとオイラー（オイラーも上記の式を知っていた）との書簡から、ベルヌーイは複素対数を完全には理解していなかったことがわかる。オイラーはまた、複素対数は無限に多くの値を持つことができると示唆した。

複素数を複素平面上の点として捉える考え方は、約 50 年後にカスパール・ヴェッセルによって説明されました。

実数値xに対する指数関数e ^{x は}、いくつかの異なる同等の方法で定義できます (指数関数の特性を参照)。これらの方法のいくつかは、 xの代わりにz を代入し、複雑な代数演算を使用するだけで、複素数値zに対するe ^zの定義に直接拡張できます。特に、次の 3 つの定義のいずれも使用できますが、これらは同等です。より高度な観点からは、これらの定義のそれぞれは、 e ^xの複素平面へ の唯一の解析接続を与えるものとして解釈できます。

指数関数は、複素変数の唯一の微分可能な関数であり、その導関数は関数に等しく、${\displaystyle f(z)=e^{z}}$$${\displaystyle {\frac {df}{dz}}=f}$$$${\displaystyle f(0)=1.}$$

複素数zの場合 $${\displaystyle e^{z}=1+{\frac {z}{1!}}+{\frac {z^{2}}{2!}}+{\frac {z^{3}}{ 3!}}+\cdots =\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {z^{n}}{n!}}.}$$

比テストを使用すると、このべき級数が無限の収束半径を持ち、したがってすべての複素数zに対してe ^zを定義することを示すことができます。

複素数zの場合 $${\displaystyle e^{z}=\lim _{n\to \infty }\left(1+{\frac {z}{n}}\right)^{n}.}$$

ここで、n は正の整数に制限されているため、指数nの累乗が何を意味するかについては疑問の余地はありません。

式にはさまざまな証明が可能です。

この証明は、三角関数と指数関数の商が定数関数の1であるため、それらは等しくなければならないことを示しています（指数関数は決してゼロにならないため、^[9]これは許可されます）。^[10]

実数θ に対する関数f ( θ ) を考えてみましょう。積の法則により微分すると次の式が得られます。 したがって、f ( θ ) は定数です。f (0) = 1なので、すべての実数θに対してf ( θ ) = 1となり、したがって $${\displaystyle f(\theta )={\frac {\cos \theta +i\sin \theta }{e^{i\theta }}}=e^{-i\theta }\left(\cos \theta +i\sin \theta \right)}$$ $${\displaystyle f'(\theta )=e^{-i\theta }\left(i\cos \theta -\sin \theta \right)-ie^{-i\theta }\left(\cos \theta +i\sin \theta \right)=0}$$$${\displaystyle e^{i\theta }=\cos \theta +i\sin \theta .}$$

ここでは、冪級数展開を用いたオイラーの公式の証明と、iの冪に関する基本的な事実を示す。^[11] $${\displaystyle {\begin{aligned}i^{0}&=1,&i^{1}&=i,&i^{2}&=-1,&i^{3}&=-i,\\i^{4}&=1,&i^{5}&=i,&i^{6}&=-1,&i^{7}&=-i\\&\vdots &&\vdots &&\vdots &&\vdots \end{aligned}}}$$

ここで、上記のべき級数の定義を使用すると、x の実数値に対して 、最後のステップで 2 つの項がcos xとsin xのマクローリン級数であることがわかります。各級数は絶対収束するため、項の並べ替えは正当化されます。 $${\displaystyle {\begin{aligned}e^{ix}&=1+ix+{\frac {(ix)^{2}}{2!}}+{\frac {(ix)^{3}}{3!}}+{\frac {(ix)^{4}}{4!}}+{\frac {(ix)^{5}}{5!}}+{\frac {(ix)^{6}}{6!}}+{\frac {(ix)^{7}}{7!}}+{\frac {(ix)^{8}}{8!}}+\cdots \\[8pt]&=1+ix-{\frac {x^{2}}{2!}}-{\frac {ix^{3}}{3!}}+{\frac {x^{4}}{4!}}+{\frac {ix^{5}}{5!}}-{\frac {x^{6}}{6!}}-{\frac {ix^{7}}{7!}}+{\frac {x^{8}}{8!}}+\cdots \\[8pt]&=\left(1-{\frac {x^{2}}{2!}}+{\frac {x^{4}}{4!}}-{\frac {x^{6}}{6!}}+{\frac {x^{8}}{8!}}-\cdots \right)+i\left(x-{\frac {x^{3}}{3!}}+{\frac {x^{5}}{5!}}-{\frac {x^{7}}{7!}}+\cdots \right)\\[8pt]&=\cos x+i\sin x,\end{aligned}}}$$

もう一つの証明^{[12]は、すべての複素数は}極座標で表せるという事実に基づいています。したがって、xに依存するいくつかの rとθについて、 rとθ については仮定は行われず、証明の過程で決定されます。指数関数のどの定義からも、 e ^ixの導関数はie ^ixであることが示されます。したがって、両辺を微分すると次のようになります。 r (cos θ + i sin θ )をe ^ixに 代入し、この式の実部と虚部を等しくすると、次のようになります。$${\displaystyle e^{ix}=r\left(\cos \theta +i\sin \theta \right).}$$$${\displaystyle ie^{ix}=\left(\cos \theta +i\sin \theta \right){\frac {dr}{dx}}+r\left(-\sin \theta +i\cos \theta \right){\frac {d\theta }{dx}}.}$$博士/dx⁠ = 0かつ⁠dθ/dx⁠ = 1。したがって、r は定数であり、θ定数Cに対してx + Cです。初期値r (0) = 1およびθ (0) = 0はe ^{0 i} = 1から得られ、 r = 1およびθ = xとなります。これにより、式が証明されます。 $${\displaystyle e^{i\theta }=1(\cos \theta +i\sin \theta )=\cos \theta +i\sin \theta .}$$

この式は、関数e ^iφが単位複素数である、つまり、 φ が実数にわたって変化するにつれて複素平面上で単位円を描く、と解釈できます。ここで、 φ は、原点と単位円上の点を結ぶ線が正の実軸となす角度で、反時計回りにラジアンで測定されます。

元の証明は、指数関数e ^z ( zは複素数) と実数xに対するsin xおよびcos xのテイラー級数展開に基づいています (上記参照) 。実際、同じ証明により、オイラーの公式がすべての複素数x に対しても有効であることが示されています。

複素平面上の点は、直交座標で書かれた複素数で表すことができます。オイラーの公式は、直交座標と極座標間の変換手段を提供します。極形式は、複素数の乗算や累乗に使用する場合の計算を簡素化します。任意の複素数z = x + iyとその複素共役z = x − iy は、次のように表すことができます。 ここで $${\displaystyle {\begin{aligned}z&=x+iy=|z|(\cos \varphi +i\sin \varphi )=re^{i\varphi },\\{\bar {z}}&=x-iy=|z|(\cos \varphi -i\sin \varphi )=re^{-i\varphi },\end{aligned}}}$$

• x = Re zは実数部、
• y = Im zは虚数部、
• r = | z | = √ x ² + y ^{2 は}zの大きさであり、
• φ = arg z = atan2 ( y , x )。

φ はzの偏角、つまりx軸とベクトルzの間の角度で、反時計回りにラジアンで測定され、2 πの加算まで定義されます。多くのテキストではφ = tan ⁻¹ ⁠と書かれています。 ええ/x⁠ φ = atan2( y , x )の代わりになりますが、最初の式はx ≤ 0 の。これは、両方の値がゼロではない任意の実数xとy( x , y )と(− x , − y )の角度π異なりますtan φ = ⁠の値は同一であるためですええ/x⁠ .

さて、この導出された式を取ると、オイラーの公式を使用して複素数の 対数を定義できます。これを行うには、対数の定義（指数の逆演算子として）も使用します。 また 、任意の 複素数aとbに対して両方とも有効です。したがって、 任意のz ≠ 0に対して、と書くことができます 。両辺の対数を取ると、であることがわかり 、実際、これは複素対数 の定義として使用できます。したがって、複素数の対数は多値関数です。これは、 φが多値である ためです。$${\displaystyle a=e^{\ln a},}$$$${\displaystyle e^{a}e^{b}=e^{a+b},}$$$${\displaystyle z=\left|z\right|e^{i\varphi }=e^{\ln \left|z\right|}e^{i\varphi }=e^{\ln \left|z\right|+i\varphi }}$$$${\displaystyle \ln z=\ln \left|z\right|+i\varphi ,}$$

最後に、すべての整数k に対して成り立つことが分かるもう 1 つの指数法則は 、オイラーの公式とともに、いくつかの三角関数の恒等式と、ド・モアブルの公式を意味します。 $${\displaystyle \left(e^{a}\right)^{k}=e^{ak},}$$

オイラーの公式、三角関数の定義、指数関数の標準的な恒等式は、ほとんどの三角関数の恒等式を簡単に導くのに十分です。これは、解析と三角法の間に強力なつながりを提供し、正弦関数と余弦関数を指数関数の 加重和として解釈します。$${\displaystyle {\begin{aligned}\cos x&=\operatorname {Re} \left(e^{ix}\right)={\frac {e^{ix}+e^{-ix}}{2}},\\\sin x&=\operatorname {Im} \left(e^{ix}\right)={\frac {e^{ix}-e^{-ix}}{2i}}.\end{aligned}}}$$

上記の 2 つの方程式は、オイラーの公式を加算または減算し、 余弦または正弦を解くことで導き出すことができます。 $${\displaystyle {\begin{aligned}e^{ix}&=\cos x+i\sin x,\\e^{-ix}&=\cos(-x)+i\sin(-x)=\cos x-i\sin x\end{aligned}}}$$

これらの式は、複素引数xに対する三角関数の定義としても使用できます。たとえば、x = iyとすると、次のようになります。 $${\displaystyle {\begin{aligned}\cos iy&={\frac {e^{-y}+e^{y}}{2}}=\cosh y,\\\sin iy&={\frac {e^{-y}-e^{y}}{2i}}={\frac {e^{y}-e^{-y}}{2}}i=i\sinh y.\end{aligned}}}$$

加えて $${\displaystyle {\begin{aligned}\cosh ix&={\frac {e^{ix}+e^{-ix}}{2}}=\cos x,\\\sinh ix&={\frac {e^{ix}-e^{-ix}}{2}}=i\sin x.\end{aligned}}}$$

複素指数は三角法を簡略化できます。なぜなら、複素指数は正弦成分や余弦成分よりも数学的に扱いやすいからです。1つの手法は、正弦と余弦を指数（複素正弦曲線と呼ばれることもあります）の同等の表現に変換することです。^[13]操作後、簡略化された結果は依然として実数値です。たとえば、

$${\displaystyle {\begin{aligned}\cos x\cos y&={\frac {e^{ix}+e^{-ix}}{2}}\cdot {\frac {e^{iy}+e^{-iy}}{2}}\\&={\frac {1}{2}}\cdot {\frac {e^{i(x+y)}+e^{i(x-y)}+e^{i(-x+y)}+e^{i(-x-y)}}{2}}\\&={\frac {1}{2}}{\bigg (}{\frac {e^{i(x+y)}+e^{-i(x+y)}}{2}}+{\frac {e^{i(x-y)}+e^{-i(x-y)}}{2}}{\bigg )}\\&={\frac {1}{2}}\left(\cos(x+y)+\cos(x-y)\right).\end{aligned}}}$$

もう 1 つの手法は、正弦と余弦を複素数の式の実部で表し、複素数式に対して操作を実行することです。例: $${\displaystyle {\begin{aligned}\cos nx&=\operatorname {Re} \left(e^{inx}\right)\\&=\operatorname {Re} \left(e^{i(n-1)x}\cdot e^{ix}\right)\\&=\operatorname {Re} {\Big (}e^{i(n-1)x}\cdot {\big (}\underbrace {e^{ix}+e^{-ix}} _{2\cos x}-e^{-ix}{\big )}{\Big )}\\&=\operatorname {Re} \left(e^{i(n-1)x}\cdot 2\cos x-e^{i(n-2)x}\right)\\&=\cos[(n-1)x]\cdot [2\cos x]-\cos[(n-2)x].\end{aligned}}}$$

この式は、整数値のnと任意のx (ラジアン単位) に対するcos nxの再帰生成に使用されます。

上記の式のパラメータcos x を考慮すると、第 1 種 チェビシェフ多項式の再帰式が得られます。

位相幾何学の言語では、オイラーの公式は、虚指数関数が実数直線から単位円への位相群の（射影的）射であると述べます。実際、これはの被覆空間として示されます。同様に、オイラーの恒等式によれば、この写像の核は であり、ここで です。これらの観察を組み合わせて、以下の可換図にまとめることができます。 ${\displaystyle t\mapsto e^{it}}$${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle \mathbb {S} ^{1}}$${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle \mathbb {S} ^{1}}$${\displaystyle \tau \mathbb {Z} }$${\displaystyle \tau =2\pi }$

微分方程式では、最終的な解が正弦と余弦を含む実関数であっても、関数e ^{ix は}解を簡略化するためによく使用されます。これは、指数関数が微分演算の固有関数であるためです。

電気工学、信号処理、および類似の分野では、時間の経過とともに周期的に変化する信号は、正弦関数の組み合わせとして記述されることが多く（フーリエ解析を参照）、これらは、オイラーの公式を使用して、虚指数を持つ指数関数の和としてより便利に表現されます。また、回路の位相解析には、コンデンサまたはインダクタのインピーダンスを表すオイラーの公式を含めることができます。

四元数の4 次元空間には、虚数単位の球面があります。この球面上の任意の点rと実数 xに対して、オイラーの公式が適用されます。 この要素は四元数ではベルソルと呼ばれます。すべてのベルソルの集合は、4 次元空間で 3 次元球面を形成します。$${\displaystyle \exp xr=\cos x+r\sin x,}$$

単位に評価される特殊なケースは、複素単位円の周りの回転を示しています。

x = τ（ここでτ = 2 π、1回転）の特別なケースでは、e ^iτ = 1 + 0となる。これも5つの基本定数と3つの基本的な算術演算を結び付けると主張されているが、オイラーの恒等式とは異なり、一般の場合の加数を並べ替える必要はない。 簡略化された形式e ^iτ = 1 の解釈は、1回転回転は恒等関数であるということである。^[14]$${\displaystyle {\begin{aligned}e^{i\tau }&=\cos \tau +i\sin \tau \\&=1+0\end{aligned}}}$$

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• オイラーの恒等式
• オイラーの公式を使った積分
• ローレンツ変換の歴史
• レオンハルト・オイラーにちなんで名付けられたもののリスト

• ナヒン、ポール J. (2006)。『オイラー博士のすばらしい公式: 数学の多くの病気を治す』プリンストン大学出版局。ISBN 978-0-691-11822-2。
• ウィルソン、ロビン（2018）。『オイラーの先駆的方程式：数学における最も美しい定理』オックスフォード：オックスフォード大学出版局。ISBN 978-0-19-879492-9MR  3791469 。

• 代数の要素