暗号形式

数学では、2 つのオブジェクト、特にそれらの公理系または意味論は、同等ではあるが明らかに同等ではない場合に、暗号的と呼ばれます。特に、同じオブジェクトの 2 つの定義または公理化は、同じオブジェクトを定義していることが明白でない場合、「暗号的」です。暗号的定義の例はマトロイド理論に多くあり、他の例は他の場所でも見つかります。たとえば、群論では、除算という 1 つの演算による群の定義は、単位元、逆元、乗算という通常の 3 つの「演算」と明らかに同等ではありません。

この言葉は数学における多くの同型性に関する語呂合わせですが、「暗号同型性」は「同型性」、「準同型性」、または「同型性」とは非常に遠い関係にあります。暗号同型性における同値は、実際の同一性でない場合は非公式なものになるか、または2 つの暗号同型公理系によって定義された数学的オブジェクト間の カテゴリの全単射または同値性の観点から形式化されることがあります。

この言葉は、1967年以前にギャレット・バーコフが著書『格子理論』第3版で使用するために作った造語です。バーコフは正式な定義を与えませんでしたが、それ以降、この分野の研究者らが何らかの定義を与えてきました。

その非公式な意味は、マトロイド理論の文脈でジャン・カルロ・ロータによって普及（および範囲が大幅に拡大）されました。マトロイドには同等の公理的アプローチが数十個ありますが、2 つの異なる公理系は見た目が非常に異なることがよくあります。

1997 年の著書『Indiscrete Thoughts 』で、ロータは状況を次のように説明しています。

他の多くの偉大なアイデアと同様に、マトロイド理論は、偉大なアメリカの先駆者の一人であるハスラー・ホイットニーによって発明されました。彼の論文は、今日でもこの分野の最高の入門書であり、この分野特有の特殊性、すなわち、マトロイドの暗号的定義の並外れた多様性、互いに恥ずかしいほど無関係で、まったく異なる数学的系譜を示していることを露骨に明らかにしています。それはあたかも、現代の数学のすべての傾向を単一の有限構造に凝縮するかのようであり、マトロイドが存在するという事実がなければ、誰もが先験的に不可能と考える偉業です。

マトロイド理論や普遍代数以外にも数学には多くの暗号概念がありますが、この言葉は数学者の間では一般的には普及していません。しかし、マトロイド理論の研究者の間ではかなり広く使用されています。

• 組合せ論的類、暗号同型の存在を示唆する組合せ論的列挙問題間の同値性

• バーコフ、G.： 格子理論、第3版。アメリカ数学会コロキウム出版、第XXV巻。1967年。
• Crapo, H.および Rota, G.-C.:組合せ理論の基礎について: 組合せ幾何学。MIT 出版、マサチューセッツ州ケンブリッジ。1970 年。
• エルキンス、ジェームズ：『なぜ私たちの絵はパズルなのか？：絵画の複雑さの現代的起源について』の「暗号形態」の章、1999年
• ロータ、G.-C.： Indiscrete Thoughts、Birkhäuser Boston、Inc.、ボストン、マサチューセッツ州、1997年。
• White, N.編： マトロイドの理論、数学とその応用百科事典、26。ケンブリッジ大学出版局、ケンブリッジ。1986年。