電荷保存

物理学において、電荷保存則とは、孤立したシステム内の電荷の総量は変化しないという実験的性質の原理である。^[1] 電荷の正味量、すなわち宇宙の正電荷量から負電荷量を引いた値は、常に保存される。物理的な保存則として考えられる電荷保存則は、空間の任意の体積における電荷量の変化が、その体積に流入する電荷量からその体積から流出する電荷量を引いた値に正確に等しいことを意味している。本質的に、電荷保存則とは、ある領域内の電荷量とその領域に出入りする電荷の流れとの関係を計算したもので、電荷密度と電流密度の連続の式で与えられる。 ${\displaystyle \rho (\mathbf {x} )}$ ${\displaystyle \mathbf {J} (\mathbf {x} )}$

これは、個々の正電荷と負電荷が生成または破壊されないことを意味するものではありません。電荷は、電子や陽子などの素粒子によって運ばれます。荷電粒子は、素粒子反応で生成および破壊されます。粒子物理学では、電荷保存則とは、荷電粒子を生成する反応では、正味の電荷量が変わらないまま、常に同数の正電荷と負電荷が生成されることを意味しています。同様に、粒子が破壊されると、同数の正電荷と負電荷が破壊されます。この特性は、これまでのすべての経験的観察によって例外なく裏付けられています。^[1]

電荷保存則は宇宙の電荷の総量が一定であることを要求しますが、その量がいくらであるかという疑問は残ります。ほとんどの証拠は宇宙の正味電荷がゼロであることを示しています。^{[2] [3]}つまり、正電荷と負電荷の量は等しいということです。

電荷保存則は1746年にイギリスの科学者ウィリアム・ワトソンによって、1747年にアメリカの政治家で科学者のベンジャミン・フランクリンによって初めて提唱されたが、最初の説得力のある証明は1843年にマイケル・ファラデーによって与えられた。 ^{[4] [5]}

現在、電気火災は摩擦によって生成されたものではなく、単に集められただけの、実際の元素、または物質種であることが、こことヨーロッパの両方で発見され、実証されています。

— ベンジャミン・フランクリン、キャドワラダー・コールデンへの手紙、1747年6月5日^[6]

数学的には、電荷保存の法則を連続方程式として表すことができます。 ここで、は時間tにおける特定の体積内の電荷蓄積率、は体積に流入する電荷量、は体積から流出する電荷量です。両方の量は時間の一般的な関数と見なされます。 $${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} Q}{\mathrm {d} t}}={\dot {Q}}_{\rm {IN}}(t)-{\dot {Q}}_{\rm {OUT}}(t).}$$${\displaystyle \mathrm {d} Q/\mathrm {d} t}$${\displaystyle {\dot {Q}}_{\rm {IN}}}$${\displaystyle {\dot {Q}}_{\rm {OUT}}}$

2 つの時間値間の積分連続方程式は次のようになります。 $${\displaystyle Q(t_{2})=Q(t_{1})+\int _{t_{1}}^{t_{2}}\left({\dot {Q}}_{\rm {IN}}(t)-{\dot {Q}}_{\rm {OUT}}(t)\right)\,\mathrm {d} t.}$$

一般解は、初期条件時間を固定することによって得られ、積分方程式を導きます。 ${\displaystyle t_{0}}$$${\displaystyle Q(t)=Q(t_{0})+\int _{t_{0}}^{t}\left({\dot {Q}}_{\rm {IN}}(\tau )-{\dot {Q}}_{\rm {OUT}}(\tau )\right)\,\mathrm {d} \tau .}$$

条件は、制御ボリューム内の電荷量の変化がないことに相当します。つまり、システムは定常状態に達しています。上記の条件から、次のことが成り立ちます。 したがって、およびは時間の経過とともに等しくなる (必ずしも一定ではない) ため、制御ボリューム内の全体的な電荷は変化しません。この推論は、定常状態でが成り立ち、 を意味するため、連続方程式から直接導き出すことができます。 ${\displaystyle Q(t)=Q(t_{0})\;\forall t>t_{0},}$$${\displaystyle \int _{t_{0}}^{t}\left({\dot {Q}}_{\rm {IN}}(\tau )-{\dot {Q}}_{\rm {OUT}}(\tau )\right)\,\mathrm {d} \tau =0\;\;\forall t>t_{0}\;\implies \;{\dot {Q}}_{\rm {IN}}(t)={\dot {Q}}_{\rm {OUT}}(t)\;\;\forall t>t_{0}}$$${\displaystyle {\dot {Q}}_{\rm {IN}}}$${\displaystyle {\dot {Q}}_{\rm {OUT}}}$${\displaystyle \partial Q/\partial t=0}$${\displaystyle {\dot {Q}}_{\rm {IN}}(t)={\dot {Q}}_{\rm {OUT}}(t)}$

電磁場理論では、ベクトル計算を使用して、電荷密度 ρ（立方メートルあたりのクーロン）と電流密度 J（平方メートルあたりのアンペア）で法則を表現することができます。これは電荷密度連続方程式と呼ばれます。 $${\displaystyle {\frac {\partial \rho }{\partial t}}+\nabla \cdot \mathbf {J} =0.}$$

左側の項は、ある点における電荷密度 ρの変化率です。右側の項は、同じ点における電流密度Jの発散です。この式は、これら 2 つの要素を等しくしており、ある点における電荷密度が変化する唯一の方法は、電荷の電流がその点に流入するか、その点から流出することであることを示しています。この記述は、 4 電流の保存則に相当します。

体積 への正味の電流は、 S = ∂ V は外向きの法線で方向付けられたVの境界であり 、d Sは境界∂ Vの外向きの法線であるN dSの略記です。ここで、J$${\displaystyle I=-\iint _{S}\mathbf {J} \cdot d\mathbf {S} }$$は、体積の表面における電流密度（単位時間あたり単位面積あたりの電荷）です。ベクトルは電流の方向を指します。

発散定理からこれは次のように書ける。 $${\displaystyle I=-\iiint _{V}\left(\nabla \cdot \mathbf {J} \right)dV}$$

電荷保存則では、体積に入る正味電流は、その体積内の電荷の正味変化と必ず等しくなければなりません。

体積Vの全電荷qは、 V内の電荷密度の積分（合計）である 。したがって、ライプニッツの積分則により、 $${\displaystyle q=\iiint \limits _{V}\rho dV}$$

（１）と（２） を等しくする と次のようになる。これはどの体積に対しても成り立つので、一般に $${\displaystyle 0=\iiint _{V}\left({\frac {\partial \rho }{\partial t}}+\nabla \cdot \mathbf {J} \right)dV.}$$$${\displaystyle {\frac {\partial \rho }{\partial t}}+\nabla \cdot \mathbf {J} =0.}$$

電荷の不変性は、マクスウェル方程式の系として導くことができます。修正アンペールの法則の左辺は、 div-curl 恒等式により発散がゼロになります。右辺の発散を展開し、導関数を入れ替えてガウスの法則を適用すると、次のようになります。すなわち、ガウスの発散定理により、これは、固定体積内の電荷の変化率が境界を流れる正味電流に等しいことを意味します。 $${\displaystyle 0=\nabla \cdot (\nabla \times \mathbf {B} )=\nabla \cdot \left(\mu _{0}\left(\mathbf {J} +\varepsilon _{0}{ \frac {\partial \mathbf {E} }{\partial t}}\right)\right)=\mu _{0}\left(\nabla \cdot \mathbf {J} +\varepsilon _{0}{ \frac {\partial }{\partial t}}\nabla \cdot \mathbf {E} \right)=\mu _{0}\left(\nabla \cdot \mathbf {J} +{\frac {\partial \rho }{\部分 t}}\right)}$$$${\displaystyle {\frac {\partial \rho }{\partial t}}+\nabla \cdot \mathbf {J} =0.}$$

${\displaystyle {\frac {d}{dt}}Q_{\Omega }={\frac {d}{dt}}\iiint _{\Omega }\rho \mathrm {d} V=-}$ ${\displaystyle {\scriptstyle \partial \Omega }}$ ${\displaystyle \mathbf {J} \cdot {\rm {d}}\mathbf {S} =-I_{\partial \Omega }.}$

特に、孤立したシステムでは総電荷は保存されます。

電荷保存は、各保存則が基礎となる物理学の対称性と関連していると主張する理論物理学の中心的な結果であるノイマンの定理を通じて、対称性の結果として理解することもできます。電荷保存に関連する対称性は、電磁場のグローバルゲージ不変性です。^[7] これは、電場と磁場が静電ポテンシャルのゼロ点を表す値の異なる選択によって変化しないという事実に関連しています。ただし、完全な対称性はより複雑で、ベクトルポテンシャルも関係します。ゲージ不変性の完全な記述は、スカラーおよびベクトルポテンシャルが任意のスカラー場の勾配によってシフトされても、電磁場の物理的性質は変化しないということです。 ${\displaystyle \phi}$ ${\displaystyle \mathbf {A} }$ ${\displaystyle \chi}$

${\displaystyle \phi '=\phi -{\frac {\partial \chi }{\partial t}}\qquad \qquad \mathbf {A} '=\mathbf {A} +\nabla \chi .}$

量子力学では、スカラー場は荷電粒子の 波動関数の位相シフトに相当します。

${\displaystyle \psi '=e^{iq\chi }\psi }$

したがってゲージ不変性は、波動関数の全体的な位相の変化は観測できず、波動関数の大きさの変化のみが確率関数の変化をもたらすというよく知られた事実と同等である。^[8]${\displaystyle |\psi |^{2}}$

ゲージ不変性は、電磁場の非常に重要で確立された特性であり、多くの検証可能な結果を​​もたらします。電荷保存の理論的正当性は、この対称性と結び付けられることで大幅に強化されます。^[要出典] たとえば、ゲージ不変性は光子が質量を持たないことも要求するため、光子の質量がゼロであるという優れた実験的証拠は、電荷が保存されることの強力な証拠でもあります。^[9] ゲージ不変性は、仮想的な磁気電荷の量子化も意味します。^[8]

しかし、たとえゲージ対称性が正確であったとしても、電荷が通常の3次元空間から隠れた余剰次元に漏れ出す可能性がある場合、電荷の非保存性が存在する可能性がある。^{[10] [11]}

単純な議論により、いくつかの種類の電荷非保存則が排除されます。たとえば、正と負の粒子の素電荷の大きさは、陽子と電子の場合、 10 ⁻²¹倍以内の差で、ほぼ等しい必要があります。 ^{[12]通常の物質には、}陽子と電子 という正と負の粒子が同数含まれており、その量は膨大です。電子と陽子の素電荷がわずかでも異なっていれば、すべての物質は大きな電荷を持ち、相互に反発することになります。

電荷保存の最も優れた実験的検証は、電荷が常に保存されない場合に許容される粒子の崩壊の探索である。そのような崩壊はこれまで観測されていない。 ^{[13]最も優れた実験的検証は、}電子がニュートリノと単一光子に崩壊する際 に発生する高エネルギー光子の探索から得られる。

しかし、電荷が保存されない場合でも、そのような単一光子崩壊は決して起こらないという理論的議論がある。^{[16]電荷消失テストは、エネルギー光子のない崩壊、電子が自発的に}陽電子 に変化するなどの他の異常な電荷違反プロセス、^[17] および電荷が他の次元に移動するプロセスに敏感です。電荷消失に関する最良の実験的境界は次のとおりです。

• キャパシタンス
• 電荷不変性
• 保存則と対称性
• ゲージ理論入門- ゲージ不変性と電荷保存則についてのさらなる議論を含む
• キルヒホッフの回路法則– 電気回路への電荷保存の応用
• マクスウェル方程式
• 相対電荷密度
• フランクリンの静電機械

• Lemay, JA Leo (2008)。「第 2 章: 電気」。ベンジャミン・フランクリンの生涯、第 3 巻: 兵士、科学者、政治家。ペンシルバニア大学出版局。ISBN 978-0-8122-4121-1。