静磁気学

静磁気学は、電流が一定である（時間とともに変化しない）システムの磁場を研究する学問です。これは、電荷が静止している静電気学の磁気的類似物です。磁化は静的である必要はありません。静磁気学の方程式は、ナノ秒以下の時間スケールで発生する高速磁気スイッチングイベントを予測するために使用できます。 ^[1]静磁気学は、電流が静的でない場合でも、電流が急速に変化しない限り、優れた近似値になります。静磁気学は、コンピュータ メモリなどの磁気記憶装置のモデルなど、マイクロマグネティクスのアプリケーションで広く使用されています。

マクスウェル方程式から出発し、電荷が固定されているか、定常電流として移動すると仮定すると、方程式は電場に関する2つの方程式（静電気を参照）と磁場に関する2つの方程式に分かれます。^[2]これらの場は時間や互いの影響を受けません。微分形式と積分形式の両方の静磁気方程式を以下の表に示します。 ${\displaystyle \mathbf {J} }$

ここで、点付きの∇は発散を表し、Bは磁束密度で、最初の積分は方向付けられた表面要素を持つ表面上で行われます。ここで、十字付きの∇は回転を表し、Jは電流密度、Hは磁場強度で、2番目の積分は線要素を持つ閉ループの周りの線積分です。ループを流れる電流はです。 ${\displaystyle S}$${\displaystyle d\mathbf {S} }$${\displaystyle C}$${\displaystyle \mathbf {l} }$${\displaystyle I_{\text{enc}}}$

この近似の質は、上記の方程式をマクスウェル方程式の完全版と比較し、削除された項の重要性を考慮することによって推測できます。特に重要なのは、項と項の比較です。項が大幅に大きい場合は、精度を大幅に損なうことなく、小さい方の項を無視できます。 ${\displaystyle \mathbf {J} }$${\displaystyle \partial \mathbf {D} /\partial t}$${\displaystyle \mathbf {J} }$

一般的な手法は、一連の静磁気問題を段階的に解いて、これらの解を使用して項 を近似することです。この結果をファラデーの法則に代入すると、 （これまで無視されていた）の値が求められます。この方法は、マクスウェル方程式の真の解ではありませんが、ゆっくりと変化する磁場の近似値として適しています。^{[引用が必要]}${\displaystyle \partial \mathbf {B} /\partial t}$${\displaystyle \mathbf {E} }$

システム内のすべての電流が既知である場合（つまり、電流密度の完全な記述が利用可能である場合）、位置rにおける磁場は、ビオ・サバールの式によって電流から決定することができる：^{[3] ：174}${\displaystyle \mathbf {J} (\mathbf {r} )}$ $${\displaystyle \mathbf {B} (\mathbf {r} )={\frac {\mu _{0}}{4\pi }}\int {{\frac {\mathbf {J} (\mathbf {r} ')\times \left(\mathbf {r} -\mathbf {r} '\right)}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|^{3}}}\mathrm {d} ^{3}\mathbf {r} '}}$$

この手法は、媒体が真空または空気、あるいは比透磁率が1 である類似の材料である場合の問題に適しています。これには、空芯インダクタと空芯トランスが含まれます。この手法の利点の 1 つは、コイルの形状が複雑な場合、コイルをセクションに分割して、セクションごとに積分を評価できることです。この方程式は主に線形問題を解くために使用されるため、寄与を追加できます。非常に複雑な形状の場合は、数値積分を使用できます。

比較的小さな空隙を持つ高透磁率の磁気コアが主要な磁性材料である問題の場合、磁気回路アプローチが役立ちます。磁気回路の長さに比べて空隙が大きい場合、フリンジングが顕著になり、通常は有限要素計算が必要になります。有限要素計算では、上記の静磁気方程式の修正形式を使用して、磁気ポテンシャルを計算します。 の値は、磁気ポテンシャルから見つけることができます。 ${\displaystyle \mathbf {B} }$

磁場はベクトルポテンシャルから導かれる。磁束密度の発散は常にゼロであり、 ベクトルポテンシャルと電流の関係は^{[3] ：176 である。}$${\displaystyle \mathbf {B} =\nabla \times \mathbf {A} ,}$$ $${\displaystyle \mathbf {A} (\mathbf {r} )={\frac {\mu _{0}}{4\pi }}\int {{\frac {\mathbf {J(\mathbf {r} ')} }{|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|}}\mathrm {d} ^{3}\mathbf {r} '}.}$$

強磁性材料（強磁性、フェリ磁性、常磁性）は、主に電子スピンによる磁化を持っています。このような材料では、磁化は次の関係を使用して明示的に含める必要があります。 $${\displaystyle \mathbf {B} =\mu _{0}(\mathbf {M} +\mathbf {H} ).}$$

導体の場合を除いて、電流は無視できます。その場合、アンペールの法則は単純に $${\displaystyle \nabla \times \mathbf {H} =0.}$$

これは一般解を持ち、 ここで はスカラーポテンシャルである。^{[3] : 192}これをガウスの法則に代入すると、 $${\displaystyle \mathbf {H} =-\nabla \Phi _{M},}$$${\displaystyle \Phi _{M}}$$${\displaystyle \nabla ^{2}\Phi _{M}=\nabla \cdot \mathbf {M} .}$$

このように、磁化の発散は静電気における電荷と同様の役割を果たしており^[4]、有効電荷密度と呼ばれることが多い。 ${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {M} ,}$${\displaystyle \rho _{M}}$

ベクトルポテンシャル法は、有効電流密度を用いても適用できる。 $${\displaystyle \mathbf {J_{M}} =\nabla \times \mathbf {M} .}$$

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