17匹の動物の継承パズル

17 匹の動物の相続パズルは、分割できない財産の不平等だが公平な分配を伴う数学的なパズルであり、通常は、一定数の受益者間で指定された割合で分割しなければならない多数の大型動物 (17 頭のラクダ、17 頭の馬、17 頭の象など) の相続という観点から表現されます。これは、配分問題の一般的な例です。

パズルとして組み立てられることが多いにもかかわらず、これは明確な数学的解を持つ問題というよりも、奇妙な計算に関する逸話です。 ^[1]娯楽数学や数学教育を超えて、この物語はさまざまな比喩的な意味を持つ 寓話として繰り返し語られてきました。

このパズルの起源は古代に遡るとよく言われているが、文書化されていない。代わりに、このパズルの1つのバージョンは、 18世紀のイラン哲学者、ムラ・ムハンマド・マフディ・ナラキの著作にまで遡ることができる。このパズルは、19世紀後半に西洋の娯楽数学の文献に登場した。数人の数学者が、このパズルを17以外の数字に一般化したさまざまなパズルを考案した。

パズルの記述によれば、ある男性が亡くなり、3人の息子に17頭のラクダ（または他の動物）を残し、それぞれ以下の比率で財産を分割することになっています。長男は男性の財産の1 ⁄ 2 を相続し、次男は1 ⁄ 3を相続し、末っ子は1 ⁄ 9を相続します。生きているラクダ1頭にのみ価値があることを考慮すると、ラクダをどのように分割すればよいでしょうか？^[2]

よく言われるように、このパズルを解くために、3人の息子は他の男、たいていは司祭、裁判官、または他の地方役人の助けを求めます。この男は次のようにしてパズルを解きます。彼は自分のラクダを3人の息子に貸し、分割すべきラクダが18頭になったとします。そうすると、相続財産として要求される割合で、長男には9頭、次男には6頭、末っ子には2頭のラクダが残ります。この17頭のラクダのうち1頭が余り、裁判官はそれを自分のものとして持ち帰ります。^[2]これは、分数の合計が1未満であるため可能です。⁠1/2⁠ + ⁠1/3⁠ + ⁠1/9⁠ = ⁠17/18⁠ .

いくつかの情報源は、この解決策のさらなる特徴を指摘している。それは、各息子が当初約束された相続分よりも多くのラクダを受け取るので満足するということである。長男は当初、わずか8頭しか約束されていなかった。+1 ⁄ 2頭のラクダを受け取ったが、9頭を受け取る。真ん中の息子には5頭が約束された。+2 ⁄ 3ですが、6つ受け取ります。そして、末っ子は1+8 ⁄ 9だが2つ受け取る。 ^[3]

同様の不平等な分割の問題は古代にまで遡るが、余分なラクダの貸し出しと返却というひねりはない。例えば、リンド数学パピルスには、多数のパンを4つの異なる指定された割合で分割する問題が取り上げられている。^{[2] [4]} 17匹の動物のパズルは、このパピルスの他の例に見られるタイプの「1への完成」問題の例と見なすことができる。これは、1未満になる分数の集合を、さらに分数を足して合計がちょうど1になるように完成させるというものである。^[5]ローマ帝国における分数相続に関する別の同様の事例は、プブリウス・ユウェンティウス・ケルススの著作に登場し、サルウィウス・ユリアヌスが判決を下した事件に帰せられる。^{[6] [7]}これらの相続問題に見られる、分割不可能な要素を指定された割合に公平に細分化する問題は、比例代表制に基づく選挙制度で議席を割り当てるときにも発生する。^[8]

中世イスラム世界の数学には、分数に分ける類似の問題が数多く知られているが^{[1] [4] [9]}、「17頭のラクダの話は、古典的なアラブ・イスラム数学の一部ではないようだ」。^[9]アル・フワーリズミー、フィボナッチ、タルタリアの著作に見られるこの問題の起源も確認されていない。^[10]「伝説上の物語」では、16世紀のムガル帝国の大臣ビルバルがこの問題を作ったとされている。^[11]ピエール・アゲロンが発見した17頭のラクダを使ったパズルの最も古い記録は、18世紀のイランのシーア派哲学者、ムラ・ムハンマド・マフディー・ナラキの著作に見られる。^[9] 1850年までに、ジェームズ・フィリップス・フレッチャーが出版したメソポタミア旅行記を通じて、このパズルは既にアメリカで流通していた。^{[12] [13]} 1859年に『The Mathematical Monthly』に掲載され、 ^{[10] [14]} 17頭の象が登場し中国起源とされるバージョンは、ウィリアム・ヘンリー・クレマー編の『ハンキー・パンキー：手品の本』 （ロンドン、1872年）に掲載されたが、ウィルジャルバ・フリケルまたはヘンリー・ルウェリン・ウィリアムズの作とされることも多い。 ^{[2] [10]同じパズルはその後、19世紀後半から20世紀初頭にかけて、}ヘンリー・デュドニー、サム・ロイド、^[2] エドゥアール・ルーカス、^[9] ホフマン教授、^[15]エミール・フォーリー^[16]などの著作にも登場した。^{[17] [18] [19] [20]} 17頭の馬が登場するバージョンは、20世紀半ばのアメリカで民間伝承として広まった。 ^[21]

この物語の別バージョンでは、11頭のラクダを1 ⁄ 2、1 ⁄ 4、1 ⁄ 6に分割する。^{[22] [23]このパズルの別のバージョンは、1938年にポルトガル語で}ジュリオ・セザール・デ・メロ・エ・ソウザによって最初に出版された数学パズルの本、 「数を数えた男」という本に登場します。このバージョンでは、35頭のラクダから始まり、17頭のラクダのバージョンと同じ割合で分割されます。物語の主人公がラクダを1頭貸し、36頭のラクダを3人の兄弟で分けた後、2頭が残ります。1頭は主人公に返し、もう1頭は賢さに対するご褒美として彼に与えます。この本の英語版の末尾の注では、17頭のラクダバージョンの問題として、FourreyとGaston Boucheny（1939）の著作が引用されています。^[10]

この物語は娯楽数学を超えて、学校の数学の授業の基礎として使われてきた。^{[3] [24]}宗教、法律、経済、政治における様々な道徳を説く寓話として、 ^{[19] [25] [26] [27] [28]さらには化学における}触媒作用の一般向けの説明としても使われてきた。^[29]

コンピュータ科学者のポール・ストックマイヤーは、任意の数の動物について、が の異なる約数の和として表せるという性質を持つ類似のパズルのクラスを定義しています。この場合、動物を分割する分数が であるパズルが得られます。 を分割するように 数が選ばれているため、これらの分数はすべて単位分数に簡略化されます。動物の裁判官の取り分 と組み合わせると、数 1 のエジプト分数表現が生成されます。^[2]${\displaystyle n}$${\displaystyle n}$ ${\displaystyle d_{1},d_{2},\dots }$${\displaystyle n+1}$${\displaystyle n}$$${\displaystyle {\frac {d_{1}}{n+1}},{\frac {d_{2}}{n+1}},\dots .}$$${\displaystyle d_{i}}$${\displaystyle n+1}$${\displaystyle 1/(n+1)}$

このようなパズルの基礎として使用できるラクダの数（つまり、の異なる約数の和として表すことができる数）は、整数列を形成する。${\displaystyle n}$${\displaystyle n+1}$

インドの物理学者S.ナラナンは、3つの項のみを持ち、 3つの単位分数の分母の最小公倍数に等しい、より制限されたクラスの一般化されたパズルを模索し、これらの条件を満たす分数の3つ組を7つだけ見つけました。^[11]${\displaystyle n+1}$

ブラジルの研究者マルシオ・ルイス・フェレイラ・ナシメントとルイス・バルコは、35頭のラクダのバリエーションのように、1頭以上のラクダが貸し出され、返却される数が貸し出した数より多くなる可能性がある例に問題をさらに一般化しました。^[10]

• 猿とココナッツ、より複雑な公平な分割パズル