アフミムの木板

アフミーム木板はカイロ木板とも呼ばれ^[1]、古代エジプトの算数問題を解くための2枚の木板である。それぞれ約18×10インチ（460 mm×250 mm）の大きさで、石膏で覆われている。木板の両面に碑文が刻まれている。最初の木板の象形文字の碑文には召使のリストが含まれており、その後に数学的な文章が続いている。^[2]この文章は、他に名前のない王の治世の38年（当初は28年と考えられていた）のものである。エジプト中王国初期に遡る全体的な年代と、治世の最高年を組み合わせると、木板は紀元前1950年頃の第12王朝のファラオ、センウセレト1世の治世のものである可能性がある。^[3] 2枚目の木板にも召使が数名リストされており、さらに数学的な文章が含まれている。^[2]

この粘土板は現在カイロのエジプト考古学博物館に収蔵されている。この文章は1901年にダレッシーによって報告され^[4]、その後1906年に分析され出版された^[5]。

粘土板の前半には、 64 djaからなる体積の単位であるヘカットを1/3、1/7、1/10、1/11、1/13 で乗算した 5 回の計算結果が記されている。答えは、ホルスの目の2 進法の商と、roと呼ばれる 1/320 の係数にスケーリングされた正確なエジプト分数剰余で書かれていた。文書の後半では、2 つの部分からなる商と剰余の答えに、それぞれの被除数 (3、7、10、11、13) を乗算して、最初からヘカットの 1 である 64/64 を返すことによって、5 回の除算の答えの正しさを証明した。

2002年、ハナ・ヴィマザロヴァはカイロ博物館からテキストの最新のコピーを入手し、5つの2部構成の解答すべてが、64/64ヘカットの単位を返した筆記者によって正確性が正しくチェックされたことを確認した。このとき、11と13による除算のデータに関するダレッシーの2つの問題のコピーにあった小さな誤植が修正された。^[6] 5つの除算がすべて正確であったことはダレッシーによって疑われていたが、1906年まで証明されなかった。

数学の内容

1/3ケース

最初の問題では、1ヘカットを+ (5 ro ) (1 に等しい) と書き、その式を 3 で割って割ります。 $1/2+1/4+1/8+1/16+1/32+1/64$

筆記者はまず 5 roの余りを 3 で割り、それが (1 + 2/3) roに等しいと判断します。
次に、筆記者は方程式の残りの 1/3 を見つけ、それがに等しいと判断します。 $1/4+1/16+1/64$
この問題の最後のステップは、答えが正しいかどうかを確認することです。筆記者は 3 を掛けて答えが (1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + 1/32 + 1/64) + (5 ro )であることを示します。筆記者は、この答えが 1 に等しいことを知っています。 $1/4+1/16+1/64+(1+2/3)ro$

現代の数学表記法では、筆記者は、ヘカット分数の 3 倍 (1/4 + 1/16 + 1/64) が 63/64 に等しく、剰余部分 (1 + 2/3) ro の3 倍が 5 roに等しく、これは 1/64 のヘカットに等しく、合計すると最初のヘカットの 1 (64/64) になることを示したと言えるでしょう。

その他の分数

粘土板に書かれた他の問題も同じ手法で計算された。筆記者は 1 hekat = 320 roという等式を使い、64 を 7、10、11、13 で割った。例えば、1/11 の計算では、64 を 11 で割ると 5 となり、余りは 45/11 roとなる。これは (1/16 + 1/64) hekat + (4 + 1/11) roと同等である。計算結果を確認するために筆記者は 2 つの部分からなる数に 11 を掛け、5 つの証明すべてで報告されているように、結果 63/64 + 1/64 = 64/64 を示した。

正確さ

計算にはいくつかの小さな間違いがあります。たとえば、1/7 の計算では、問題のすべてのコピーでは 12 とその 2 倍の 24 とされています。この問題の各バージョンで、間違いはまったく同じ場所で発生しますが、筆記者は 64/64 ヘカットの統一性に基づいて考えていたため、この間違いにもかかわらず正しい答えを見つけることができます。1/7 の割り算の 4 番目のコピーには、行の 1 つにさらに小さな間違いがあります。 $2\times 7$

1/11 の計算は 4 回行われ、問題が隣り合って表示されるため、筆記者が計算手順を練習していたような印象を与えます。1/13 の計算は、完全な形で 1 回、部分的な計算で 2 回表示されます。計算には誤りがありますが、筆記者は正しい答えを見つけます。1/10 は、1 回しか計算されていない唯一の分数です。この問題の計算には間違いはありません。^[6]

他のテキストにおけるヘカットの問題

リンド数学パピルス( RMP) には、RMP 35、36、37、38、47、80、81、82、83、84 に 60 を超えるヘカット乗算と除算の例が含まれています。ヘカットの単位が、必要に応じて 64/64 バイナリヘカットと ro 剰余標準から、320 ro ステートメントに記録された 2 番目の 320/320 標準に変更されたため、問題は異なります。いくつかの例を次に示します。

問題35～38ではヘカットの分数を求めます。問題38では1ヘカットを320 roにスケーリングし、7/22を掛けました。答え101 9/11 roは22/7を掛けることで証明されましたが、この事実はクラゲットやヴィマザロワ以前の学者によって言及されていませんでした。^[7]
問題 47 では、100ヘカットを (6400/64) にスケーリングし、(6400/64) に 1/10、1/20、1/30、1/40、1/50、1/60、1/70、1/80、1/90、1/100 の分数を掛けて、2 進商と 1/1320 (ro) の余りの単位分数級数を求めました。
問題80では、ヘカットの5ホルスの目分数とそれに相当する分数を、ヒヌと呼ばれる別の単位の表現として示しました。^[7]これらは、ヴィマザロワ以前は不明瞭でした。問題81では、一般に、ヘカットの1の2進商とロ剰余のステートメントを、同等の1/10ヒヌ単位に変換し、RMP 80データの意味を明確にしました。

エーベルス・パピルスは中王国後期の有名な医学書である。その生のデータは、アキム木版に示唆されたヘカト1部で書かれており、64以上の約数を扱うことができる。 ^[8]

参考文献

^ エジプトのカイロにあるエジプト博物館にカタログ番号CG 25367およびCG 25368として収蔵されている。
^ ab T. Eric Peet、「エジプト考古学ジャーナル」、第9巻、第1/2号（1923年4月）、pp. 91–95、エジプト探検協会
^ ウィリアム・K・シンプソン、「ハトヌブ」石碑の追加断片、近東研究ジャーナル、第20巻第1号（1961年1月）、25～30ページ
^ Daressy、Georges、Catalogue général des antiquités égyptiennes du Musée du Caire、巻番号 25001-25385、1901 年。
^ Daressy、Georges、「Calculs égyptiens du Moyen Empire」、Recueil de travaux relatifs à la philologie et à l'archéologie égyptiennes et assyriennes XXVIII、1906、62–72。
^ ab Vymazalova, H.「カイロの木板：古代エジプトにおける穀物単位HK3Tの使用」Archive Orientallai、Charles U.、プラハ、pp. 27–42、2002年。
^ ab Clagett, Marshall古代エジプト科学、資料集。第3巻：古代エジプトの数学（アメリカ哲学協会紀要）アメリカ哲学協会。1999年ISBN 978-0-87169-232-0
^ Pommerening, Tanja、「Altagyptische Holmasse Metrologish neu Interpretiert」および関連する製薬および医療知識、要約、フィリップス大学、マールブルク、2004 年 8 月 11 日、Studiien zur Altagyptischen Kulture、Beiheft の「Die Altagyptschen Hohlmass」より抜粋、10 、ハンブルク、ブスケ・フェルラーク、 2005年

外部リンク

ガーデナー、ミロ、「古代エジプトの問題とその革新的な算術的解決法」、ガニタ・バーラティ、2006 年、第 28 巻、インド数学史協会紀要、メリーランド出版、ニューデリー、pp 157–173。
古代のホルスの目問題を解くために使われた算術ミロ・ガードナー 2024年9月22日アクセス
ギリングス、R. 『ファラオ時代の数学』。マサチューセッツ州ボストン：MIT プレス、pp. 202–205、1972 年。ISBN 0-262-07045-6。（絶版）
ワイスタイン、エリック・W.「アクミム木簡」。マスワールド。スケールされた AWT 剰余

[1] エジプトのカイロにあるエジプト博物館にカタログ番号CG 25367およびCG 25368として収蔵されている。

[Peet-2] T. Eric Peet、「エジプト考古学ジャーナル」、第9巻、第1/2号（1923年4月）、pp. 91–95、エジプト探検協会

[3] ウィリアム・K・シンプソン、「ハトヌブ」石碑の追加断片、近東研究ジャーナル、第20巻第1号（1961年1月）、25～30ページ

[4] Daressy、Georges、Catalogue général des antiquités égyptiennes du Musée du Caire、巻番号 25001-25385、1901 年。

[5] Daressy、Georges、「Calculs égyptiens du Moyen Empire」、Recueil de travaux relatifs à la philologie et à l'archéologie égyptiennes et assyriennes XXVIII、1906、62–72。

[Vymazalova,_H_pp._27-6] Vymazalova, H.「カイロの木板：古代エジプトにおける穀物単位HK3Tの使用」Archive Orientallai、Charles U.、プラハ、pp. 27–42、2002年。

[Clagett-7] Clagett, Marshall古代エジプト科学、資料集。第3巻：古代エジプトの数学（アメリカ哲学協会紀要）アメリカ哲学協会。1999年ISBN 978-0-87169-232-0

[8] Pommerening, Tanja、「Altagyptische Holmasse Metrologish neu Interpretiert」および関連する製薬および医療知識、要約、フィリップス大学、マールブルク、2004 年 8 月 11 日、Studiien zur Altagyptischen Kulture、Beiheft の「Die Altagyptschen Hohlmass」より抜粋、10 、ハンブルク、ブスケ・フェルラーク、 2005年