エジプトの数学的な革巻き

エジプト数学レザーロール (EMLR)
エジプト数学レザーロール (EMLR)
ロンドンの大英博物館
日付	紀元前1650年頃
原産地	テーベ
言語	ヒエラティック
サイズ	長さ: 10インチ (25 cm); 幅: 17インチ (43 cm)

エジプト数学皮革巻物 (EMLR)は、1858 年にアレクサンダー・ヘンリー・リンドが購入した 10 × 17 インチ (25 × 43 cm) の皮革巻物です。1864年にリンド数学パピルスとともに大英博物館に送られましたが、1927 年まで化学的に軟化されて広げられることはありませんでした (Scott, Hall 1927)。

この文字は中王国時代のヒエラティック文字で右から左に書かれています。学者たちはEMLRの年代を紀元前17世紀としています。^[2]

数学の内容

この革製の巻物はエジプト分数の計算に便利です。この巻物には、別の分数に等しい26個の分数の合計が記されています。合計は2列に記され、その後にまったく同じ合計が記された2列が続きます。^[3]

記載されている 26 の合計のうち、10 はホルスの目数です。1/2、1/4 (2 回)、1/8 (3 回)、1/16 (2 回)、1/32、1/64 はエジプト分数から変換されています。エジプト分数から変換された偶数分母の合計は他に 7 つあります。1/6 (2 回記載されていますが、1 回は間違っています)、1/10、1/12、1/14、1/20、1/30 です。例として、3 つの 1/8 変換は、代替として 1 つまたは 2 つのスケーリング係数に従っています。

1. 1/8 x 3/3 = 3/24 = (2 + 1)/24 = 1/12 + 1/24

2. 1/8 x 5/5 = 5/40 = (4 + 1)/40 = 1/10 + 1/40

3. 1/8 x 25/25 = 25/200 = (8 + 17)/200 = 1/25 + (17/200 x 6/6) = 1/25 + 102/1200 = 1/25 + (80 + 16 + 6)/1200 = 1/25 + 1/15 + 1/75 + 1/200

最終的に、エジプトの分数から変換された、奇数の分母を持つ 9 つの合計ができました: 2/3、1/3 (2 回)、1/5、1/7、1/9、1/11、1/13、1/15。

大英博物館の審査官は、等価な単位分数列がどのように、またはなぜ計算されたかについての紹介や説明を発見しませんでした。^[4]等価な単位分数列は、分数 1/3、1/4、1/8、1/16 に関連付けられています。最後の 1/15 単位分数列に関連付けられた些細なエラーがありました。1/15 列は 1/6 に等しいと記載されていました。もう 1 つの重大なエラーは 1/13 に関連付けられており、1927 年の審査官はこれを解決しようとしませんでした。

現代の分析

オリジナルの数学書では、手順や公式がどこから来たのか説明されていません。これはEMLRにも当てはまります。学者たちは、古代エジプト人がEMLRの単位分数表と、リンド数学パピルスとラフン数学パピルスで知られている2/n表の両方を作成するためにどのような技術を使用したかを推測しようとしました。両方のタイプの表は、分数を扱う計算や測定単位の変換を支援するために使用されました。^[3]

EMLR には非常によく似た単位分数分解のグループがあることが指摘されています。たとえば、5 行目と 6 行目は簡単に 1/3 + 1/6 = 1/2 という式にまとめられます。この式をそれぞれ 3、4、5、6、7、8、10、15、16、32 で割ると、11、13、24、20、21、19、23、22、25、26 行目が簡単に得られます。^[5]

いくつかの問題は、分子と分母の両方に同じ項を掛け、その結果得られる方程式をさらに簡約するアルゴリズムによって解決できます。

{\frac {1}{pq}}={\frac {1}{N}}\times {\frac {N}{pq}}

この方法は、N=25 を使用した場合に EMLR に現れる分数 1/8 の解を導きます (現代の数学表記を使用)。

1/8=1/25\times 25/8=1/5\times 25/40=1/5\times (3/5+1/40)

=1/5\times (1/5+2/5+1/40)=1/5\times (1/5+1/3+1/15+1/40)=1/25+1/15+1/75+1/200

^[6]

現代の結論

EMLR は、テキストが大英博物館で公開された 1927 年以来、学生筆写者のテスト文書と見なされてきました。筆写者は、有理数 1/p と 1/pq を別の単位分数列に変換する練習をしました。入手可能な中王国時代の数学記録 ( RMP 2/n 表など)を読むと、現代のエジプト算術を学ぶ学生は、訓練を受けた筆写者がアルゴリズム的および非アルゴリズム的手法を適用して、2/n と n/p を簡潔な単位分数列に変換する方法を改善したことが分かります。

年表

以下の年表は、RMP 2/ nテーブルに関連する EMLR の内容をより明確に理解するための報告に向けた最近の進歩を示すいくつかのマイルストーンを示しています。

1895年 - フルチは、すべてのRMP 2/pシリーズをアリコート部分でコード化することを提案した。^[7]
1927年 - グランビルはEMLR算術は純粋に加法的なものであると結論付けた。^[8]
1929年 - フォーゲルは、EMLRには25の単位分数列しか含まれていないにもかかわらず、EMLRの方が（RMPよりも）重要であると報告した。^[9]
1950年 - ブルーインズは独立してフルチのRMP 2/ p分析を確認 (ブルーインズ 1950)
1972年 - ギリングスはより簡単なRMP問題である2/ pq級数の解法を発見した（ギリングス1972：95–96）。
1982年 - ノルはRMP単位分数2/35、2/91、2/95を2/ pq問題の例外として特定しました。^[10]
2002年 - ガードナーは5つの抽象的なEMLRパターンを特定しました。^[6]
2018 – Dorce が RMP 2/p のパターンについて説明します。

参照

エジプトの数学テキスト:

他の：

リベル・アバカ
シルヴィア・クシュド（フランス語）

参考文献

^ チェイス、アーノルド・バファム。1927-1929。『リンド数学パピルス：厳選写真、翻訳、翻字、直訳による自由翻訳と解説』。数学教育の古典 8。全2巻。オバーリン：アメリカ数学協会。（レストン：全米数学者協議会、1979年に再版）。ISBN 0-87353-133-7
^ クラゲット、マーシャル。古代エジプトの科学：資料集。第3巻：古代エジプトの数学。アメリカ哲学協会紀要232。フィラデルフィア：アメリカ哲学協会、1999年、pp.17-18、25、37-38、255-257
^ abc アネット・イムハウゼン、『エジプト、メソポタミア、中国、インド、イスラムの数学：資料集』、ビクター・J・カッツ編、プリンストン大学出版、2007年、21～22頁
^ ギリングス、リチャード J.「エジプトの数学用革製筆記具–第 8 行。筆記者はどのようにこれを作成したか?」(Historia Mathematica 1981)、456–457 ページ。
^ ギリングス、リチャード J.、ファラオの時代の数学、ドーバー出版、1982 年再版 (1972) ISBN 0-486-24315-X
^ ab ガードナー、ミロ。「エジプトの数学用革巻物、証明された短期および長期」。数学科学の歴史、アイヴァー・グラッタン・ギネス、BCヤダブ（編）、ニューデリー、ヒンドゥスタン・ブック・エージェンシー、2002年：119-134。
^ Hultsch, F. 「Die Elemente der Aegyptischen Theilungsrechnung 8, Übersicht über die Lehre von den Zerlegungen」。 (1895):167–71。
^ Glanville, SRK「大英博物館の数学的な革巻物」。エジプト考古学ジャーナル13、ロンドン（1927年）：232-8。
^ ヴォーゲル、カート。「Erweitert die Lederolle unsere Kenntniss ägyptischer Mathematik」。 Archiv für Geschichte der Mathematik、V 2、Julius Schuster、ベルリン (1929): 386–407。
^ クノール、ウィルバー・R.「古代エジプトとギリシャにおける分数の技法」Historia Mathematica 9、ベルリン（1982）：133–171。

さらに読む

ブラウン、ケビン S. アフミンパピルス 1995 – エジプトの単位分数 1995
ブルックハイマー、マキシム、Y. サロモン。「RJ ギリングスのリンドパピルスの 2/n 表の分析に関するコメント」Historia Mathematica 4 ベルリン (1977): 445–452。
ブルーインズ、エバート M.「プラトンとテーブルエジプト 2/n」。ヤヌス 46 日、アムステルダム、(1957): 253–263。
ブルーインズ、エバートM.「エジプト算術」Janus 68、アムステルダム、(1981):33–52。
ブルーインズ、エバート M.「エジプト算術に関する簡約可能かつ自明な分解」Janus 68、アムステルダム、(1981): 281–297。
ダレッシー、ジョルジュ。「Akhmim Wood Tablets」、Le Caire Imprimerie de l'Institut Francais d'Orcheologie Orientale、1901、95–96。
ドルセ、カルロス。「リンド数学パピルスの表表の分解の正確な計算」、歴史研究、第6巻、第2号、2018年12月、33-49。
ガードナー、ミロ。「エジプトの数学巻物」、非西洋文化における科学、技術、医学の歴史百科事典、シュプリンガー、2005 年 11 月。
ギリングス、リチャード J.「エジプトの数学用革巻物」。オーストラリア科学ジャーナル 24 (1962): 339–344、ファラオ時代の数学。マサチューセッツ州ケンブリッジ: MIT プレス、1972 年。ニューヨーク: ドーバー、1982 年再版。
ギリングス、リチャード J.「リンド数学パピルスの表紙：古代エジプトの書記はどのように作成したか？」正確な科学の歴史のアーカイブ 12 (1974)、291-298。
Gillings、Richard J.「The Recto of the RMP and the EMLR」、Historia Mathematica、トロント 6 (1979)、442–447。
ギリングス、リチャード J.「エジプトの数学用革製筆記具 - 8 行目。筆記者はどのようにそれを行なったのか?」(Historia Mathematica 1981)、456-457 ページ。
ガン、バティスコムジョージ。TE ピート著「リンド数学パピルス」のレビュー。エジプト考古学ジャーナル 12 ロンドン、(1926): 123–137。
アネット・イムハウゼン. 「エジプトの数学テキストとその文脈」、Science in Context、第16巻、ケンブリッジ（英国）、（2003年）：367-389。
レゴン、ジョン AR「カフンの数学的断片」。エジプト学に関する議論、オックスフォード 24、(1992)。
リューネブルク、H.「Zerlgung von Bruchen in Stammbruche」Leonardi Pisani Liber Abbaci oder Lesevergnügen eines Mathematikers、Wissenschaftsverlag、マンハイム、1993。81–85。
Rees, CS「エジプトの分数」、Mathematical Chronicle 10、オークランド、(1981): 13–33。
Roero, CS「エジプトの数学」『数学科学の歴史と哲学の百科事典』I. Grattan-Guinness（編）、ロンドン、（1994）：30–45。
スコット、A. およびホール、HR、「研究室ノート：紀元前17世紀のエジプトの数学用革巻物」、大英博物館季刊誌、第2巻、ロンドン、(1927年)：56。
シルベスター、JJ「普通分数の理論における一点について」：アメリカ数学ジャーナル、3 ボルチモア (1880): 332–335, 388–389。

外部リンク

「エジプトの数学的な革巻き物」ガードナー、ミロ。MathWorld 。
「エジプトの数学的な革巻き」ガードナー、ミロ。PlanetMath.org 。

[Chace,_Arnold_Buffum_1929-1] チェイス、アーノルド・バファム。1927-1929。『リンド数学パピルス：厳選写真、翻訳、翻字、直訳による自由翻訳と解説』。数学教育の古典 8。全2巻。オバーリン：アメリカ数学協会。（レストン：全米数学者協議会、1979年に再版）。ISBN 0-87353-133-7

[Clagett-2] クラゲット、マーシャル。古代エジプトの科学：資料集。第3巻：古代エジプトの数学。アメリカ哲学協会紀要232。フィラデルフィア：アメリカ哲学協会、1999年、pp.17-18、25、37-38、255-257

[Imhausen-3] アネット・イムハウゼン、『エジプト、メソポタミア、中国、インド、イスラムの数学：資料集』、ビクター・J・カッツ編、プリンストン大学出版、2007年、21～22頁

[4] ギリングス、リチャード J.「エジプトの数学用革製筆記具–第 8 行。筆記者はどのようにこれを作成したか?」(Historia Mathematica 1981)、456–457 ページ。

[5] ギリングス、リチャード J.、ファラオの時代の数学、ドーバー出版、1982 年再版 (1972) ISBN 0-486-24315-X

[MG-6] ガードナー、ミロ。「エジプトの数学用革巻物、証明された短期および長期」。数学科学の歴史、アイヴァー・グラッタン・ギネス、BCヤダブ（編）、ニューデリー、ヒンドゥスタン・ブック・エージェンシー、2002年：119-134。

[7] Hultsch, F. 「Die Elemente der Aegyptischen Theilungsrechnung 8, Übersicht über die Lehre von den Zerlegungen」。 (1895):167–71。

[8] Glanville, SRK「大英博物館の数学的な革巻物」。エジプト考古学ジャーナル13、ロンドン（1927年）：232-8。

[9] ヴォーゲル、カート。「Erweitert die Lederolle unsere Kenntniss ägyptischer Mathematik」。 Archiv für Geschichte der Mathematik、V 2、Julius Schuster、ベルリン (1929): 386–407。

[10] クノール、ウィルバー・R.「古代エジプトとギリシャにおける分数の技法」Historia Mathematica 9、ベルリン（1982）：133–171。