リンド数学パピルス 2/n 表

古代エジプトの数学的著作であるリンド数学パピルス^[1]^[2]には、 2/ nの形式の有理数をエジプト分数（異なる単位分数の和）に変換するための数表が含まれている。エジプト分数とは、エジプト人が分数を表記するために使用した形式である。このテキストには50の有理数の表現方法が説明されている。これは、エジプト第二中間期（紀元前1650年頃-1550年）^{[3]に、名前が知られている最初の数学者}アハメスによって書かれた。この文書の一部は、紀元前1850年の未知のテキストからコピーされた可能性がある。

テーブル

次の表は、パピルスに記載されている拡張を示しています。

リンド数学パピルスのこの部分は9枚のパピルスにまたがって書かれていた。^[4]

説明

任意の有理数は、単位分数の和として無限に異なる展開が可能であり、リンド数学パピルスの発見以来、数学者は古代エジプト人がこの表に示されている特定の展開をどのように計算したかを理解しようと苦労してきました。

ギリングスの提案には 5 つの異なる手法が含まれていました。リンド数学パピルスの問題 61 には 1 つの公式が示されています。

{\frac {2}{3n}}={\frac {1}{2n}}+{\frac {1}{6n}}

^[5]これは（後者の式ではnは3で割り切れる）と同等に表現できる。 ^[6]

{\frac {2}{n}}={\frac {1}{2}}{\frac {1}{n}}+{\frac {3}{2}}{\frac {1}{n}}

他の可能な式は以下の通りである: ^[6]

\,{\frac {2}{n}}\;=\;{\frac {1}{3}}{\frac {1}{n}}+{\frac {5}{3}}{\frac {1}{n}}

（nは5で割り切れる）

\!{\frac {2}{mn}}\!={\frac {1}{m}}\!{\frac {1}{k}}+{\frac {1}{n} }{\frac {1}{k}}

（ここでkはmとnの平均）

\,{\frac {2}{n}}\;=\,{\frac {1}{n}}+{\frac {1}{2n}}+{\frac {1}{3n}}+{\frac {1}{6n}}

この式は、表のn = 101の分解を生成します。

アハメスは2/ p ( pは素数)を2つの方法で変換し、2/ pq 合成分母を3つの方法で変換したと示唆されています。^{[6]他の人は、アハメスが}最小公倍数に似た乗法因数を使用する1つの方法のみを使用したと示唆しています。2/ p表がどのように分解されたかについての詳細で簡単な説明は、アブドゥルラーマン・アブドゥルアズィーズによって提供されています。^[7]

他の表テキストとの比較

古代エジプトの古いパピルスにも、エジプトの分数の同様の表が含まれていた。紀元前1850年頃に書かれたラフン数学パピルスは、リンドパピルスの未知の出典の1つとほぼ同じ年代である。カフンの2/ n分数は、リンドパピルスの2/ n表に示されている分数分解と同一であった。^[8]

紀元前1900年頃のエジプト数学革巻（EMLR）には、1/nの形の分数を他の単位分数に分解したものがリストされています。この表は、他の有理数の和として書かれた1/ nの形の26の単位分数列で構成されていました。 ^[9]

アフミームの木板には、 1/ nという形式の難しい分数(具体的には、1/3、1/7、1/10、1/11、1/13) が、ホルスの目分数で書かれていた。ホルスの目分数は、 ⁠1/2k^円⁠そして剰余はroと呼ばれる単位で表されます。答えは、最初の除数に提案された解を掛けて、結果の答えが1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + 1/32 + 1/64 + 5 ro、つまり1であることを確認することで確認されました。 ^[10]

参考文献

^ チェイス、アーノルド・バファム（1927–1929）、リンド数学パピルス：選択された写真、翻訳、音訳、直訳による自由翻訳と解説（2巻）、数学教育の古典、第8巻、オバーリン：アメリカ数学協会. 再版、レストン：全米数学教育協議会、1979年、ISBN 0-87353-133-7。
^ ロビンズ、ゲイ、シュート、チャールズ（1987）、リンド数学パピルス：古代エジプトのテキスト、ロンドン：大英博物館出版局。
^ イムハウゼン、アネット（2016）、古代エジプトの数学：文脈的歴史、プリンストン大学出版、p. 65、ISBN 9780691209074
^ アンソニー、スパリンジャー (1990)、「歴史的文書としてのリンド数学パピルス」、Studien zur Altägyptischen Kultur、17 : 295–337、JSTOR 25150159。
^ クラゲット、マーシャル（1999年）、古代エジプト科学、資料集。第3巻：古代エジプトの数学、アメリカ哲学協会紀要、アメリカ哲学協会、ISBN 978-0-87169-232-0。
^ abc バートン、デイビッド・M（2003）、数学の歴史：入門、ボストン：Wm. C.ブラウン。
^ Abdulrahman A. Abdulaziz、「2/n を単位分数に分解するエジプトの方法について」、Historia Mathematica、第 35 巻、第 1 号、2008 年、1-18 ページ、ISSN 0315-0860、https://doi.org/10.1016/j.hm.2007.03.002。
^ Imhausen, A. (2002)、「UC 32159」、Lahun Papyri: 表テキスト、University College London
^ Imhausen, Annette (2007)、「エジプトの数学」、Katz, Victor J. (編)、『エジプト、メソポタミア、中国、インド、イスラムの数学: 資料集』、プリンストン、ニュージャージー: プリンストン大学出版、pp. 1–56特に21～22ページをご覧ください。
^ Vymazalova, H. (2002)、「カイロの木簡: 古代エジプトにおける穀物単位 HK3T の使用」、Archiv Orientální、70 (1)、Charles U.、プラハ: 27–42。

[1] チェイス、アーノルド・バファム（1927–1929）、リンド数学パピルス：選択された写真、翻訳、音訳、直訳による自由翻訳と解説（2巻）、数学教育の古典、第8巻、オバーリン：アメリカ数学協会. 再版、レストン：全米数学教育協議会、1979年、ISBN 0-87353-133-7。

[2] ロビンズ、ゲイ、シュート、チャールズ（1987）、リンド数学パピルス：古代エジプトのテキスト、ロンドン：大英博物館出版局。

[3] イムハウゼン、アネット（2016）、古代エジプトの数学：文脈的歴史、プリンストン大学出版、p. 65、ISBN 9780691209074

[4] アンソニー、スパリンジャー (1990)、「歴史的文書としてのリンド数学パピルス」、Studien zur Altägyptischen Kultur、17 : 295–337、JSTOR 25150159。

[Clagett-5] クラゲット、マーシャル（1999年）、古代エジプト科学、資料集。第3巻：古代エジプトの数学、アメリカ哲学協会紀要、アメリカ哲学協会、ISBN 978-0-87169-232-0。

[Burton-6] バートン、デイビッド・M（2003）、数学の歴史：入門、ボストン：Wm. C.ブラウン。

[7] Abdulrahman A. Abdulaziz、「2/n を単位分数に分解するエジプトの方法について」、Historia Mathematica、第 35 巻、第 1 号、2008 年、1-18 ページ、ISSN 0315-0860、https://doi.org/10.1016/j.hm.2007.03.002。

[8] Imhausen, A. (2002)、「UC 32159」、Lahun Papyri: 表テキスト、University College London

[9] Imhausen, Annette (2007)、「エジプトの数学」、Katz, Victor J. (編)、『エジプト、メソポタミア、中国、インド、イスラムの数学: 資料集』、プリンストン、ニュージャージー: プリンストン大学出版、pp. 1–56特に21～22ページをご覧ください。

[10] Vymazalova, H. (2002)、「カイロの木簡: 古代エジプトにおける穀物単位 HK3T の使用」、Archiv Orientální、70 (1)、Charles U.、プラハ: 27–42。