メビウス関数

メビウス関数${\displaystyle \mu (n)}$は、1832年にドイツの数学者アウグスト・フェルディナント・メビウス（ Moebiusとも表記）によって導入された数論における乗法関数である。 ^{[i] [ii] [2]}初等数論および解析数論のいたるところで見られ、その名の由来となったメビウスの逆関数公式の一部として最も頻繁に現れる。1960年代のジャン・カルロ・ロータの研究に続いて、メビウス関数の一般化が組合せ論に導入され、同様に と表記される。 ${\displaystyle \mu (x)}$

メビウス関数は^{[3]で定義される。}

$${\displaystyle \mu (n)={\begin{cases}1&{\text{if }}n=1\\(-1)^{k}&{\text{if }}n{\text{ is the product of }}k{\text{ distinct primes}}\\0&{\text{if }}n{\text{ is divisible by a square}}>1\end{cases}}}$$

メビウス関数は次のようにも表される。

${\displaystyle \mu (n)=\delta _{\omega (n)\Omega (n)}\lambda (n),}$

ここで、はクロネッカーのデルタ、はリウヴィル関数、 は の異なる素因数の数、 は重複度とともに数えられたの素因数の数です。 ${\displaystyle \delta }$${\displaystyle \lambda (n)}$${\displaystyle \omega (n)}$${\displaystyle n}$${\displaystyle \Omega (n)}$${\displaystyle n}$

ガウスによるもう一つの特徴は、すべての原始根の和である。^[4]

最初の50個の正の数 の値は${\displaystyle \mu (n)}$

関数の最初の 50 個の値が以下にプロットされます。

より大きな値は以下で確認できます:

• ウルフラムアルファ
• OEISのBファイル

メビウス関数を生成するディリクレ級数はリーマンゼータ関数の（乗法的）逆関数である。が実部が1より大きい複素数である 場合、${\displaystyle s}$

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\mu (n)}{n^{s}}}={\frac {1}{\zeta (s)}}.}$

これはオイラー積からわかる。

${\displaystyle {\frac {1}{\zeta (s)}}=\prod _{p{\text{ prime}}}{\left(1-{\frac {1}{p^{s}}}\right)}=\left(1-{\frac {1}{2^{s}}}\right)\left(1-{\frac {1}{3^{s}}}\right)\left(1-{\frac {1}{5^{s}}}\right)\cdots }$

また：

• ${\displaystyle \sum \limits _{n=1}^{\infty }{\frac {|\mu (n)|}{n^{s}}}={\frac {\zeta (s)}{\zeta (2s)}};}$
• ${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\mu (n)}{n}}=0;}$
• ${\displaystyle \sum \limits _{n=1}^{\infty }{\frac {\mu (n)\ln n}{n}}=-1;}$
• ${\displaystyle \sum \limits _{n=1}^{\infty }{\frac {\mu (n)\ln ^{2}n}{n}}=-2\gamma ,}$ここでオイラー定数です。${\displaystyle \gamma }$

メビウス関数の ランベルト級数は

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\mu (n)q^{n}}{1-q^{n}}}=q,}$

これは に対して収束する。素数 に対しては、 ${\displaystyle |q|<1}$${\displaystyle \alpha \geq 2}$

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\mu (\alpha n)q^{n}}{q^{n}-1}}=\sum _{n\geq 0}q^{\alpha ^{n}},|q|<1.}$

ガウス^[1]は、素数に対してその原始根の和がと合同であることを証明した。 ${\displaystyle p}$${\displaystyle \mu (p-1)\ (\mod p)}$

が有限体を表す場合（ただし は必ず素数冪となる）、 の次数である単項既約多項式の数は^[5]で与えられる。${\displaystyle \mathbb {F} _{q}}$${\displaystyle q}$${\displaystyle q}$${\displaystyle N}$${\displaystyle n}$${\displaystyle \mathbb {F} _{q}}$

${\displaystyle N(q,n)={\frac {1}{n}}\sum _{d\mid n}\mu (d)q^{\frac {n}{d}}.}$

メビウス関数はメビウスの反転公式で使用されます。

メビウス関数は、超対称性のプリモンガスまたは自由リーマンガスモデルでも発生します。この理論では、基本粒子または「プリモン」はエネルギーを持ちます。第 2 量子化では、多粒子励起が考慮され、任意の自然数に対して で与えられます。これは、自然数を素因数分解することが一意であるという事実から生じます。 ${\displaystyle \log(p)}$${\displaystyle \log(n)}$${\displaystyle n}$

自由リーマン気体では、プリモンをボソンとみなすと、任意の自然数が発生する可能性があります。プリモンをフェルミオンとみなすと、パウリの排他原理により平方数は除外されます。フェルミオンとボソンを区別する演算子は 、メビウス関数に他なりません。 ${\displaystyle (-1)^{F}}$${\displaystyle \mu (n)}$

自由リーマン気体は、分割関数がリーマンゼータ関数であるという事実を含め、数論との興味深い関連が数多くある。この考えは、アラン・コヌによるリーマン予想の証明の試みの基礎となっている。^[6]

メビウス関数は乗法的です（つまり、 と が互いに素である場合）。 ${\displaystyle \mu (ab)=\mu (a)\mu (b)}$${\displaystyle a}$${\displaystyle b}$

証明: 互いに素な2つの数 が与えられている場合、 を に帰納します。 の場合、 となります。 でない場合は、 となるため、 ${\displaystyle m\geq n}$${\displaystyle mn}$${\displaystyle mn=1}$${\displaystyle \mu (mn)=1=\mu (m)\mu (n)}$${\displaystyle m>n\geq 1}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}0&=\sum _{d|mn}\mu (d)\\&=\mu (mn)+\sum _{d|mn;d<mn}\mu (d)\\&{\stackrel {\text{induction}}{=}}\mu (mn)-\mu (m)\mu (n)+\sum _{d|m;d'|n}\mu (d)\mu (d')\\&=\mu (mn)-\mu (m)\mu (n)+\sum _{d|m}\mu (d)\sum _{d'|n}\mu (d')\\&=\mu (mn)-\mu (m)\mu (n)+0\end{aligned}}}$$

メビウス関数の、（それ自身と 1 を含む）すべての正の約数に対する和は、次の場合を除いて 0 になります。 ${\displaystyle n}$${\displaystyle n}$${\displaystyle n=1}$

${\displaystyle \sum _{d\mid n}\mu (d)={\begin{cases}1&{\text{if }}n=1,\\0&{\text{if }}n>1.\end{cases}}}$

上記の等式は、重要なメビウスの反転公式につながり、乗法関数と算術関数の理論において関連性がある 主な理由です。${\displaystyle \mu }$

組合せ論におけるの他の応用は、組合せ群および組合せ列挙におけるポリア列挙定理の使用に関連しています。 ${\displaystyle \mu (n)}$

メビウス関数の引数の因数分解を直接知らなくてもメビウス関数を計算する 式^{[7]がある。}

${\displaystyle \mu (n)=\sum _{\stackrel {1\leq k\leq n}{\gcd(k,\,n)=1}}e^{2\pi i{\frac {k}{n}}},}$

すなわち、はの原始-乗根の和です。(ただし、この定義の計算量は、少なくともオイラー積の定義の計算量と同じです。) ${\displaystyle \mu (n)}$${\displaystyle n}$

メビウス関数が満たす他の恒等式には以下が含まれる。

${\displaystyle \sum _{k\leq n}\left\lfloor {\frac {n}{k}}\right\rfloor \mu (k)=1}$

そして

${\displaystyle \sum _{jk\leq n}\sin \left({\frac {\pi jk}{2}}\right)\mu (k)=1}$。

最初のものは古典的な結果であり、2番目は2020年に発表されました。^{[8] [9]}メルテンス関数についても同様のことが言えます。

式

${\displaystyle \sum _{d\mid n}\mu (d)={\begin{cases}1&{\text{if }}n=1,\\0&{\text{if }}n>1\end{cases}}}$

ディリクレ畳み込みを使用すると、次のように記述できます。 ここで、は畳み込みにおける恒等式です。 ${\displaystyle 1*\mu =\varepsilon }$${\displaystyle \varepsilon }$

この公式を証明する一つの方法は、2つの乗法関数のディリクレ畳み込みがやはり乗法であることに注目することです。したがって、素数の累乗の公式を証明すれば十分です。実際、任意の素数 と任意の${\displaystyle p}$${\displaystyle k>0}$

${\displaystyle 1*\mu (p^{k})=\sum _{d\mid p^{k}}\mu (d)=\mu (1)+\mu (p)+\sum _{1<m<=k}\mu (p^{m})=1-1+\sum 0=0=\varepsilon (p^{k})}$、

一方、${\displaystyle n=1}$

${\displaystyle 1*\mu (1)=\sum _{d\mid 1}\mu (d)=\mu (1)=1=\varepsilon (1)}$。

この式を証明する別の方法は、等式を使うことである。

${\displaystyle \mu (n)=\sum _{\stackrel {1\leq k\leq n}{\gcd(k,\,n)=1}}e^{2\pi i{\frac {k}{n}}},}$

上記の式は、の約数のうち 1 つに対して、の 乗根がそれぞれ原始 乗根であるため、 の乗根の合計が 0 になるという事実の結果です。 ${\displaystyle n}$${\displaystyle n}$${\displaystyle d}$${\displaystyle d}$${\displaystyle n}$

しかし、この恒等式を第一原理から証明することも可能です。まず、のとき、これは自明に真であることに注目してください。次に と仮定します。すると、の因数と のすべての素因数の集合の部分集合の間には一対一の関係が存在します。主張された結果は、空でないすべての有限集合には奇数と偶数の基数の部分集合が同数あるという事実から導かれます。 ${\displaystyle n=1}$${\displaystyle n>1}$${\displaystyle d}$${\displaystyle n}$${\displaystyle \mu (d)\neq 0}$${\displaystyle n}$

この最後の事実は、空でない有限集合 の濃度に関する帰納法によって簡単に示すことができます。まず、 の場合、 の奇数濃度の部分集合、つまり自体が 1 つだけ存在し、偶数濃度の部分集合、つまり が 1 つだけ存在します。次に、 の場合 、 の部分集合を、内の固定された要素が含まれているかどうかによって 2 つのサブクラスに分割します。これらの 2 つのサブクラスの間には明らかな全単射があり、部分集合 に対して同じ補集合を持つ部分集合をペアにします。また、これらの 2 つのサブクラスのうちの 1 つは、集合 のすべての部分集合で構成されているため、帰納法の仮定により、奇数濃度の部分集合と偶数濃度の部分集合の数は同数になります。これらの部分集合は、 の偶数および奇数濃度の - を含む部分集合に全単射に対応します。この 2 つの全単射から、帰納法のステップが直接得られます。 ${\displaystyle |S|}$${\displaystyle S}$${\displaystyle |S|=1}$${\displaystyle S}$${\displaystyle S}$${\displaystyle \emptyset }$${\displaystyle |S|>1}$${\displaystyle S}$${\displaystyle x}$${\displaystyle S}$${\displaystyle \{x\}}$${\displaystyle S\setminus \{x\}}$${\displaystyle \{x\}}$${\displaystyle S}$

関連する結果として、二項係数は対称的に合計される奇数と偶数の累乗のエントリを交互に示します。

メビウス関数の平均値（平均次数の意味で）はゼロである。この主張は、実は素数定理と同等である。^[10]

${\displaystyle \mu (n)=0}$ が素数の2乗で割り切れる 場合のみである。この性質を持つ最初の数は${\displaystyle n}$

4、8、9、12、16、18、20、24、25、27、28、32、36、40、44、45、48、49、50、52、54、56、60、63、...（OEISの配列A013929 ）。

が素数であれば ですが、その逆は成り立ちません。となる最初の非素数はです。 3つの異なる素因数（スフェニック数）を持つ最初の数は次のとおりです。 ${\displaystyle n}$${\displaystyle \mu (n)=-1}$${\displaystyle n}$${\displaystyle \mu (n)=-1}$${\displaystyle 30=2\times 3\times 5}$

30、42、66、70、78、102、105、110、114、130、138、154、165、170、174、182、186、190、195、222、...（OEISの配列A007304）。

そして、5つの異なる素因数を持つ最初の数は

2310、2730、3570、3990、4290、4830、5610、6006、6090、6270、6510、6630、7410、7590、7770、7854、8610、8778、8970、9030、9282、9570、9690、...（OEISのシーケンスA046387）。

数論において、メビウス関数と密接に関連する別の算術関数はメルテンス関数であり、次のように定義される。

${\displaystyle M(n)=\sum _{k=1}^{n}\mu (k)}$

あらゆる自然数nに対して が成り立ちます。この関数は、リーマンゼータ関数の零点の位置と密接に関係しています。とリーマン予想の関係の詳細については、メルテンス予想に関する記事を参照してください。 ${\displaystyle M(n)}$

式から

${\displaystyle \mu (n)=\sum _{\stackrel {1\leq k\leq n}{\gcd(k,n)=1}}e^{2\pi i{\frac {k}{n}}},}$

メルテンス関数は次のように与えられる。

${\displaystyle M(n)=-1+\sum _{a\in {\mathcal {F}}_{n}}e^{2\pi ia},}$

ここで はのFarey 数列です。 ${\displaystyle {\mathcal {F}}_{n}}$${\displaystyle n}$

この式はフランネル・ランダウの定理の証明に用いられる。^[11]

組合せ論では、すべての局所有限な半順序集合(poset) には接続代数が割り当てられます。この代数の重要なメンバーの 1 つが、poset の「メビウス関数」です。この記事で扱う古典的なメビウス関数は、本質的には、割り切れる度合いによって半順序付けられたすべての正の整数の集合のメビウス関数に等しいです。これらの一般的なメビウス関数の正確な定義といくつかの例については、接続代数に関する記事を参照してください。

コンスタンティン・ポポヴィチ^[12]は、一般化メビウス関数を、 メビウス関数とそれ自身との- 倍ディリクレ畳み込みとして定義した。これは、 ${\displaystyle \mu _{k}=\mu *\cdots *\mu }$${\displaystyle k}$

${\displaystyle \mu _{k}\left(p^{a}\right)=(-1)^{a}{\binom {k}{a}}\ }$

ここで二項係数は の場合にはゼロになる。二項式を の多項式として読み替えることで、定義を複素数に拡張することができる。^[13]${\displaystyle a>k}$${\displaystyle k}$${\displaystyle k}$

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• ワイスタイン、エリック W.「メビウス関数」。マスワールド。