平面領域のソボレフ空間

数学において、平面領域のソボレフ空間は、滑らかな境界を持つ平面上の有界領域におけるラプラシアンのディリクレ境界値問題とノイマン境界値問題を解くための偏微分方程式の理論で使用される主要な手法の 1つです。この手法では、ヒルベルト空間上の有界作用素の理論を使用します。これらを使用して、解の正則性を推定し、対応する固有値問題を解くことができます。

Ω ⊂ R ^{2 を}滑らかな境界を持つ有界領域とします。ΩはR ²内の大きな正方形に含まれるため、正方形の反対側の辺を特定することでT ²内の領域と見なすことができます。T ²上のソボレフ空間の理論はBers、John、Schechter (1979) に見られ、この説明は Warner (1983) や Griffiths & Harris (1994) などの後のいくつかの教科書で踏襲されています。

kを整数とすると、（制限された）ソボレフ空間 H₀^キロ
(Ω)はCの閉包として定義される^∞
_℃(Ω) を標準ソボレフ空間 H ^k ( T ² )に置きます。

• H⁰
  ₀(Ω) = L ² (Ω)です。
• 境界上の消失特性：k > 0の場合、Hの要素₀^キロ
  (Ω)は「 Ω上のL ²関数で、 ∂Ω上の最初のk − 1導関数で消える」と呼ばれます。^[1]実際、f   ∈ C ^k ( Ω )がH ₀^キロ
  (Ω)ならば、g = ∂ ^α f は C ¹に含まれます。f _n ∈ Cとします。 ^∞
  _℃(Ω) はソボレフノルムでf _n → fとなるものとし、g _n = ∂ ^α f _nとおく。したがってHでg _n → g  ¹
  ₀(Ω)。したがってh ∈ C ^∞ ( T ² )およびD = a ∂ _x + b ∂ _yの場合、

${\displaystyle \iint _{\Omega }\left(g(Dh)+(Dg)h\right)\,dx\,dy=\lim _{n\to 0}\iint _{\Omega }\left(g(Dh_{n})+(Dg)h_{n}\right)\,dx\,dy=0.}$

グリーンの定理によれば、

${\displaystyle \int _{\partial \Omega }gk=0,}$

どこ

${\displaystyle k=h\cos \left(\mathbf {n} \cdot (a,b)\right),}$

ここで、nは境界に対する単位法線です。このようなkはL ² (Ω)の稠密な部分空間を形成するので、 ∂Ω上でg = 0となります。

• サポートプロパティ: Ω ^{c を}Ωの補集合とし、Ω ^cに対して同様に制限ソボレフ空間を定義する。両方の空間集合はC ^∞ ( T ² )と自然なペアリングを持つ。 Ωのソボレフ空間は、CのT ²のソボレフ空間における消滅子である。^∞
  _℃(Ω ^c )であり、Ω ^cはCの消滅子である。^∞
  _℃(Ω) . ^[2]実際には、これは局所的に小さな変換を適用してドメインをその内部で移動させ、その後滑らかな畳み込み演算子で平滑化することによって証明されています。

H ^k ( T ² )のg がC を消滅させると仮定する^∞
_℃(Ω ^c ) 。コンパクト性により、 Ω を覆う開集合U ₀、U ₁、...、U _Nが有限個存在し、 U ₀の閉包は∂Ωと互いに素であり、各U _iは境界点z _iの周りの開円板であり、 U _iにおいて法線ベクトルn _iの方向への小さな並進によりΩがΩに移動する。 Ω ^cに閉包を持つ開U _{N +1 を追加して}T ²の被覆を作成し、ψ _{i を}この被覆に従属する1 の分割とする。 nによる並進をλ _nで表すと、関数

${\displaystyle g_{t}=\psi _{0}g+\sum _{i=1}^{N}\psi _{n}\lambda _{tn_{i}}g}$

t が0に減少するにつれてgになる傾向があり、依然として消滅関数内にあります。実際、それらはΩ ^cよりも大きな領域（その補関数はΩ内にあります）に対して消滅関数内にあります。小さな台の滑らかな関数で畳み込むと、わずかに小さな領域（依然としてΩ内に補関数がある）の消滅関数内で滑らかな近似が生成されます。これらは必然的にΩ内でコンパクトな台の滑らかな関数です。

• 境界上のさらなる消失特性：消滅子による特徴付けは、 f   ∈ C ^k ( Ω )がH ₀^キロ
  (Ω)は、そのk未満の階数の導関数が∂Ω上でゼロになるとき（そしてそのときに限る）である。^[3]実際、f はΩ ^c上で0と設定することでT ²に拡張できる。この拡張F は、ノルムの公式を使用してH ^k ( T ² )の元を定義する。  

${\displaystyle \|h\|_{(k)}^{2}=\sum _{j=0}^{k}{k \choose j}\left\|\partial _{x}^{j}\partial _{y}^{kj}h\right\|^{2}.}$

さらに、FはCのgに対して( F , g )=0を満たす。^∞
_℃(Ω ^c )。

• 双対性: k ≥ 0の場合、H ^{− k} (Ω)をHの直交補集合として定義する。^{− 0}
  _...(Ω ^c )がH ^{− k} ( T ² )に存在します。P _{k を}H − ^{k (} Ω)への直交射影とすると、Q _k = I − P _kはHへの直交射影となります。^{− 0}
  _...(Ω ^c ) 。k = 0のとき、これはH ⁰ (Ω) = L ² (Ω)となる。f   ∈ Hの場合 ₀^キロ
  (Ω ^c )かつg ∈ H ^{− k} ( T ² )ならば、

${\displaystyle (f,g)=(f,P_{k}g).}$

これは、 H ^k ( T ² )とH ^{− k} ( T ² )のペアリングにおいて、H₀^キロ
(Ω ^c )とH ^{− k} (Ω)は互いの双対です。

• 滑らかな関数による近似: Cのイメージ^∞
  _℃(Ω)はk ≤ 0のときH ^{− k} (Ω)に稠密である。これはk = 0のとき明らかで、 C^∞
  _℃(Ω) + C^∞
  _℃(Ω ^c ) はL ² ( T ² )に密である。k < 0の密度は、 L ² ( T ² )の像がH ^{− k} ( T ² )に密であり、P _{k が}C を消滅させることから導かれる。^∞
  _℃(Ω ^c )。
• 正準等長変換:演算子( I + ∆) ^{k は}Hの等長変換を与える。^2キロ
  ₀(Ω)をH ⁰ (Ω)に、そしてH₀^キロ
  (Ω)をH ^{− k} (Ω)に写像する。実際、最初の命題はT ²上で真なので従う。つまり、( I + ∆) ^{k は}H上の等長写像である。₀^キロ
  (Ω)はCの密度を用いて次のように表される。^∞
  _℃H ^{− k} (Ω )における(Ω) : f、g ∈ Cに対して ^∞
  _℃(Ω)次式が得られます:

${\displaystyle {\begin{aligned}\left\|P_{k}(I+\Delta )^{k}f\right\|_{(-k)}&=\sup _{\|g\|_{(-k)}=1}\left|\left((I+\Delta )^{k}f,g\right)_{(-k)}\right|\\&=\sup _{\|g\|_{(-k)}=1}|(f,g)|\\&=\|f\|_{(k)}.\end{aligned}}}$

双対間の随伴写像はこの写像と同一視できるため、( I + ∆) ^kはユニタリ写像であることがわかります。

演算子∆はHとHの同型性を定義する。¹
₀(Ω)とH ⁻¹ (Ω)です。実際、これは指数0のフレドホルム演算子です。 H ¹ ( T ² )の∆の核は定数関数で構成されており、ゼロを除いてΩの境界で消えることはありません。したがって、 Hの核は¹
₀(Ω)は(0)であり、∆は可逆である。

特に、方程式∆ f = gはHにおいて唯一の解を持つ。¹
₀(Ω)の場合、g はH ⁻¹ (Ω)となります。

TをL ² (Ω)上の作用素とし、次のように定義される 。

${\displaystyle T=R_{1}\Delta ^{-1}R_{0},}$

ここで、R _{0 は}L ² (Ω)のH ⁻¹ (Ω)への包含であり、R ₁はH¹
₀(Ω)はL ² (Ω)に存在し、レリッヒの定理により、どちらもコンパクトな作用素です。作用素T はコンパクトかつ自己随伴であり、すべてのfに対して( Tf , f  ) > 0です。スペクトル定理により、 L ² (Ω)には、次の式を満たす 固有関数f _nの完全な正規直交集合があります。

${\displaystyle Tf_{n}=\mu _{n}f_{n},\qquad \mu _{n}>0,\mu _{n}\to 0.}$

μ _n > 0なので、f _{n は}Hにある。¹
₀(Ω) λ _n = μ _{− n}とすると、f _{n は}ラプラシアンの固有関数である。

${\displaystyle \Delta f_{n}=\lambda _{n}f_{n},\qquad \lambda _{n}>0,\lambda _{n}\to \infty 。}$

固有関数f _nの正則性とその解を 決定する  

${\displaystyle \Delta f=u,\qquad u\in H^{-1}(\Omega ),f\in H_{0}^{1}(\Omega ),}$

ソボレフ空間の拡大H₀^キロ
(Ω)を考慮する必要がある。C ∞ (Ω − ) を、導関数とともに連続的に Ω に拡張される Ω 上の滑らかな関数の空間とする。ボレル^の補題^により、これらはまさにT 2上^の滑らかな関数の制限である。ソボレフ空間H ^k (Ω)は、ノルムに対するこの空間のヒルベルト空間完備化として定義される。

${\displaystyle \|f\|_{(k)}^{2}=\sum _{j=0}^{k}{k \choose j}\left\|\partial _{x}^{j}\partial _{y}^{kj}f\right\|^{2}.}$

このノルムはCのソボレフノルムと一致する。^∞
_℃(Ω)となるのでH₀^キロ
(Ω) はH ^k (Ω)の閉部分空間とみなすことができます。H とは異なり、₀^キロ
(Ω)、H ^k (Ω)は当然H ^k ( T ² )のサブスペースではありませんが、 T ^2からΩへの滑らかな関数を制限するマップはソボレフノルムに対して連続なので、連続性によってマップρ _k  : H ^k ( T ² ) → H ^k (Ω)に拡張されます。

• 微分同相写像に対する不変性: 2 つの滑らかな領域の閉包間の微分同相写像は、ソボレフ空間間の同型写像を誘導します。これは、微分に対する連鎖律の単純な帰結です。
• 拡張定理: ρ _kをその核の直交補写像に制限すると、H ^k (Ω)への同型写像が定義されます。拡張写像E _kは、この写像の逆として定義されます。つまり、 H ^k (Ω)のHの直交補写像への同型写像 (必ずしもノルム保存ではない) です。₀^キロ
  (Ω ^c ) が成り立ち、 ρ _k ∘ E _k = Iとなる。Cについて^∞
  _℃(Ω)の場合、それは自然包含写像と一致する。この種のH ^k (Ω)からH ^k ( T ² )への有界拡大写像E _{k は}、最初に Hestenes と Lions によって構築された。滑らかな曲線の場合、Seeley 拡大定理はすべての Sobolev ノルムで連続する拡大を提供する。境界が単なる Lipschitz 曲線である場合に適用される拡大のバージョンは、Calderónによって特異積分演算子を使用して構築され、Stein (1970) によって一般化された。

閉じた環状体の近傍の拡大E を構築すれば十分である。なぜなら、境界の周りのカラーは、T内の閉区間Iを持つ環状体I × Tに微分同相であるからである。滑らかなバンプ関数ψ （境界近くでは 1 、カラーの外側では 0 に等しい）を取ると、 E ( ψf  ) + (1 − ψ )  f はΩ上の拡大を提供する。環状体上では、問題はC ^k (  I  )のC ^k ( T )内の拡大を見つけることに帰着する。単位分割を使用すると、拡大のタスクはIの端点の近傍に帰着する。 0 が左端点であると仮定すると、拡大は局所的に次のように与えられる。 

${\displaystyle E(f)=\sum _{m=0}^{k}a_{m}f\left(-{\frac {x}{m+1}}\right).}$

k次以下の1次導関数を0に合わせると、

${\displaystyle \sum _{m=0}^{k}(-m-1)^{-k}a_{m}=1.}$

この行列方程式は、ヴァンデルモンドの公式により行列式がゼロでないため解ける。E (  f  )の公式をバンプ関数で適切に修正すると、上記のソボレフノルムで連続する拡張が得られることは簡単に確認できる。^[4]

• 制限定理:制限写像ρ _kはker ρ _k = Hで射影的である。₀^キロ
  (Ω ^c )。これは、境界条件を持つソボレフ空間の拡張定理と支持特性から直接導かれる結果です。
• 双対性: H ^k (Ω)は当然 H ^{− k} ₀ (Ω)の双対である。これもまた制限定理から直接導かれる結果である。したがって、ソボレフ空間は連鎖を形成する:

${\displaystyle \cdots \subset H^{2}(\Omega )\subset H^{1}(\Omega )\subset H^{0}(\Omega )\subset H_{0}^{-1}(\Omega )\subset H_{0}^{-2}(\Omega )\subset \cdots }$

微分演算子∂ _x、 ∂ _{y は}、各ソボレフ空間を、指数が 1 小さい大きい方の空間に移動します。

• ソボレフの埋め込み定理: H ^{k +2} (Ω)はC ^k (Ω ⁻ )に含まれます。これは、拡張定理とH ^{k +2} ( T ² )に対するソボレフの埋め込み定理から直接導かれる結果です。
• 特徴づけ: H ^k (Ω) はL ² (Ω) = H ⁰ (Ω)内のfから成り、すべての導関数 ∂ ^α f は|α| ≤ kに対してL ² (Ω)内に存在する。ここで、導関数は上記のソボレフ空間の連鎖内で取られる。^[5] C  ^∞
  _℃(Ω) がH ^k (Ω)に弱稠密である場合、この条件はL ²関数f _αが存在し、

${\displaystyle \left(f_{\alpha },\varphi \right)=(-1)^{|\alpha |}\left(f,\partial ^{\alpha }\varphi \right),\qquad |\alpha |\leq k,\varphi \in C_{c}^{\infty }(\Omega ).}$

この特徴を証明するには、f がH ^k (Ω)内にある場合、∂ ^α f はH ^{k −|α|} (Ω) 内にあり、したがってH ⁰ (Ω) = L ² (Ω)内にあることに注意してください。 逆に、ソボレフ空間H ^k ( T ² )に対する結果はよく知られています。この仮定は、(∂ _x − i ∂ _y ) ^k fがL ² ( T ² )内にあることを意味し、 fのフーリエ係数に関する対応する条件は、 f がH ^k ( T ² )内にあることを示しています。 同様に、この結果は環状空間[− δ , δ ] × Tに対して直接証明できます。実際、 T ₂に関する議論により、fの任意のより小さな環状領域 [−δ',δ'] × Tへの制限はH ^kに含まれます。同様に、関数f _R  ( x , y ) = f  ( Rx , y )の制限は、 R > 1に対してH ^kに含まれます。一方、R → 1のときL ²で∂ ^α f _R → ∂ ^α f となるため、f はH ^kに含まれます。一般領域Ωの場合は、 f がf = ψf + (1 − ψ )  fと表すことができるため、これらの 2 つのケースに簡約されます。ここで、 ψ はΩでサポートされるバンプ関数であり、 1 − ψ は境界のカラーでサポートされます。                    

• 正則性定理: L ² (Ω)内のf がH ^k (Ω)内の導関数∂ _x fと∂ _y f の両方を持つ場合、f はH ^{k +1} (Ω)内にあります。これは、上記のH ^k (Ω)の特徴付けから直接導かれる結果です。実際、超関数のレベルで満たされる場合でもこれが真である場合、H ^k (Ω)内の関数g、hがあり、 C内の φに対して ( g、φ) = ( f、φ _x ) かつ ( h、φ) = ( f、φ _y ) である場合、      ^∞
  _℃(Ω)の場合、f はH ^{k +1} (Ω)に含まれます。  
• 環状空間上の回転:環状空間I × Tの場合、 T ²への拡大写像は、第 2 変数の回転に関して構成上同変である。

${\displaystyle R_{t}f(x,y)=f(x,y+t).}$

T ²では、f がH ^kに含まれる場合、差分商δ _h  f = h ⁻¹ ( R _h  f − f  ) → ∂ _y f がH ^{k −1}に含まれることが分かっています。差分商がH ^kで有界である場合、 ∂ _y f はH ^kに含まれます。両方の主張は、次の式の結果です。     

${\displaystyle {\widehat {\delta _{h}f}}(m,n)=h^{-1}(e^{-ihn}-1){\widehat {f}}(m,n)=-\int _{0}^{1}ine^{-inht}\,dt\,\,{\widehat {f}}(m,n).}$

T ²に関するこれらの結果は、拡張機能を使用した環状部に関する同様の結果を示唆しています。

∆ u = fでuがHにある場合¹
₀(Ω)かつf がH ^{k −1} (Ω)に含まれ、k ≥ 0の場合、u はH ^{k +1} (Ω)に含まれます。

分解u = ψu + (1 − ψ ) uをとります。ここでψはΩで支えられ、1 − ψ は境界のカラーで支えられています。T 2 の標準ソボレフ理論はψu^に適用できます。楕円正則性は、それがH ^{k +1} ( T ² )にあり、したがってH ^{k +1} (Ω)にあることを意味します。v = (1 − ψ ) u はHにあります。¹
₀は環状体と微分同相なので、Ωを環状体とし 、∆を

${\displaystyle {\begin{aligned}\Delta _{1}&=\Delta -[\Delta ,\psi ]\\&=\Delta +\left(p\partial _{x}+q\partial _{y}-\Delta \psi \right)\\&=\Delta +X.\end{aligned}}}$

証明^[6]はk上の帰納法によって進められ、同時に不等式

${\displaystyle \|u\|_{(k+1)}\leq C\|\Delta _{1}u\|_{(k-1)}+C\|u\|_{(k)},}$

定数C はkのみに依存します。 k = 0に対してこの不等式を確立するのは簡単です。ここで密度u はΩでコンパクトサポートの滑らかなものとすることができます。

${\displaystyle {\begin{aligned}\|u\|_{(1)}^{2}&=|(\Delta u,u)|\\&\leq |(\Delta _{1}u,u)|+|(Xu,u)|\\&\leq \|\Delta _{1}u\|_{(-1)}\|u\|_{(1)}+C^{\prime }\|u\|_{(1)}\|u\|_{(0)}.\end{aligned}}}$

カラーは環状体と微分同相です。環状体上の回転流R _{t は、}対応するベクトル場Y = r ∂ _x + s ∂ _yを持つカラー上の流れS _{t を}引き起こします。したがって、Y はベクトル場∂ _θに対応します。環状体上の放射状ベクトル場r ∂ _rは、カラー上で法線ベクトル場に比例するベクトル場Z = p ∂ _x + q ∂ _yを与える可換ベクトル場です。ベクトル場YとZは可換です。

差分商δ _h u は、フローS _tに対して形成できる。交換子[ δ _h , ∆ ₁ ]は、 H ^{k +1} (Ω)からH ^{k −1} (Ω)への 2 階微分演算子である。それらの演算子ノルムは、 h が0 の近傍で一様に有界である。なぜなら、計算は、交換子が∆ _{1の係数を}S _hで構成された差分商に置き換えるだけの環状領域上で実行できるからである。一方、v = δ _h u はH内にある。¹
₀(Ω)なので、 uの不等式はvにも同様に当てはまります。

${\displaystyle {\begin{aligned}\|\delta _{h}u\|_{(k+1)}&\leq C\|\Delta _{1}\delta _{h}u\|_{(k-1)}+C\|\delta _{h}u\|_{(k)}\\&\leq C\|\delta _{h}\Delta _{1}u\|_{(k-1)}+C\|[\delta _{h},\Delta _{1}]u\|_{(k-1)}+C\|\delta _{h}u\|_{(k)}\\&\leq C\|\Delta _{1}u\|_{(k)}+C^{\prime }\|u\|_{(k+1)}.\end{aligned}}}$

差分商δ _h uの一様有界性は、 YuがH ^{k +1} (Ω)に存在することを意味し、

${\displaystyle \|Yu\|_{(k+1)}\leq C\|\Delta _{1}u\|_{(k)}+C^{\prime }\|u\|_{(k+1)}.}$

したがって、VuはH ^{k +1} (Ω)に存在する。ここでVはベクトル場である。

${\displaystyle V={\frac {Y}{\sqrt {r^{2}+s^{2}}}}=a\partial _{x}+b\partial _{y},\qquad a^{2}+b^{2}=1.}$

さらに、Vu はYuと同様の不等式を満たします。

${\displaystyle \|Vu\|_{(k+1)}\leq C^{\prime \prime }\left(\|\Delta _{1}u\|_{(k)}+\|u\|_{(k+1)}\right).}$

Wを直交ベクトル場と する

${\displaystyle W=-b\partial _{x}+a\partial _{y}.}$

これは、襟の近傍にある 滑らかなどこにも消えない関数ξに対してξZと書くこともできます。

WuがH ^{k +1} (Ω)にあることを示すだけで十分である。

${\displaystyle (V\pm iW)u=(a\mp ib)\left(\partial _{x}\pm i\partial _{y}\right)u,}$

したがって、∂ _x uと∂ _y u はH ^{k +1} (Ω)に含まれ、u はH ^{k +2} (Ω)に含まれなければなりません。

Wuの結果を確認するには、 VWuとW ² u がH ^k (Ω)内にあることを示すだけで十分です。

${\displaystyle {\begin{aligned}A&=\Delta -V^{2}-W^{2},\\B&=[V,W],\end{aligned}}}$

ベクトル場である。しかし、

${\displaystyle {\begin{aligned}W^{2}u&=\Delta u-V^{2}u-Au,\\VWu&=WVu+Bu,\end{aligned}}}$

右辺のすべての項はH ^k (Ω)に含まれる。さらに、 Vuの不等式は、

${\displaystyle {\begin{aligned}\|Wu\|_{(k+1)}&\leq C\left(\|VWu\|_{(k)}+\left\|W^{2}u\right\|_{(k)}\right)\\&\leq C\left\|\left(\Delta -V^{2}-A\right)u\right\|_{(k)}+C\|(WV+B)u\|_{(k)}\\&\leq C_{1}\|\Delta _{1}u\|_{(k)}+C_{1}\|u\|_{(k+1)}.\end{aligned}}}$

したがって

${\displaystyle {\begin{aligned}\|u\|_{(k+2)}&\leq C\left(\|Vu\|_{(k+1)}+\|Wu\|_{(k+1)}\right)\\&\leq C^{\prime }\|\Delta _{1}u\|_{(k)}+C^{\prime }\|u\|_{(k+1)}.\end{aligned}}}$

双対ディリクレ問題の正則性定理から帰納的に、Hにおける∆の固有関数は¹
₀(Ω) はC ^∞ (Ω ⁻ )に存在します。さらに、 fがC ^∞ (Ω ⁻ )に、u がHに該当する∆ u = fの任意の解は、¹
₀(Ω) はC ^∞ (Ω ⁻ )にu を持たなければなりません。どちらの場合も、消失特性により、固有関数とu はΩの境界で消失します。

双対ディリクレ問題はディリクレ問題を解くのに使用できます。

${\displaystyle {\begin{cases}\Delta f|_{\Omega }=0\\f|_{\partial \Omega }=g&g\in C^{\infty }(\partial \Omega )\end{cases}}}$

ボレルの補題により、g はC ^∞ (Ω ⁻ )における関数Gの制限である。F を∂Ω上でF = 0となる∆ F = ∆ Gの滑らかな解とする。するとf = G − F はディリクレ問題を解く。最大原理により、解は一意である。^[7]

ディリクレ問題の解は、滑らかな境界を持つ単連結領域に対するリーマン写像定理の強い形式を証明するために使用できます。この方法は、環状体に微分同相な領域にも適用できます。 ^[8]滑らかな境界を持つ多重連結領域の場合、Schiffer & Hawley (1962) は、領域を円形の穴のあるディスクにマッピングする方法を示しました。彼らの方法は、非線形境界条件でディリクレ問題を解くことです。彼らは関数gを構築し、次のようにします。

• g はΩの内部で調和的である。
• ∂Ωについては、 ∂ _n g = κ − Ke ^Gが成り立ちます。ここで、κは境界曲線の曲率、∂ _nは∂Ωに垂直な方向の微分、Kは各境界成分に対して一定です。

Taylor (2011) は、滑らかな境界を持つ単連結領域Ωに対するリーマン写像定理の証明を与えている。必要に応じて変換すると、 0 ∈ Ωと仮定できる。ディリクレ問題の解は、 Ω上にΩで調和的で∂Ω上で−log| z |に等しい唯一の滑らかな関数U ( z )が存在することを示している。グリーン関数をG ( z ) = log| z | + U ( z )で定義する。これは∂Ω上ではゼロで、 0から離れるとΩ上で調和的になる。Uの調和共役V は、U + iVが正則となる唯一のΩ上の実関数である。したがって、それはコーシー・リーマン方程式を満たす必要がある。

${\displaystyle {\begin{aligned}U_{x}&=-V_{y},\\U_{y}&=V_{x}.\end{aligned}}}$

解は次のように与えられる。

${\displaystyle V(z)=\int _{0}^{z}-U_{y}dx+V_{x}dy,}$

ここで積分はΩ内の任意の経路で行われる。 V _xとV _yが存在し、 Uの対応する導関数によって与えられることは簡単に証明できる。したがってV はΩ上の滑らかな関数であり、 0で消える。コーシー・リーマンの法則により、f = U + iVはΩ上で滑らかで、 Ω上で正則であり、f  (0) = 0である。関数H = arg z + V ( z )は2 πの倍数までしか定義されないが、関数   

${\displaystyle F(z)=e^{G(z)+iH(z)}=ze^{f(z)}}$

はΩ上で正則でΩ上で滑らかです。構築により、z ∈ ∂Ωに対してF (0) = 0かつ| F ( z )| = 1です。zは巻き数1なので、F ( z )も巻き数 1 です。一方、F ( z ) = 0となるのは、 z = 0で単純な零点がある場合のみです。したがって、議論の原理により、 F は単位円D内のすべての値を正確に 1 回想定し、F′ はΩ内で零になりません。境界曲線上の導関数が零でないことを確認することは、 e ^iHの導関数を計算することと同じです。つまり、 Hの導関数は境界曲線上で零になってはなりません。コーシー-リーマン方程式により、これらの接線導関数は境界の法線方向の方向導関数の符号を除きます。しかし、 G は境界上で零になり、| F | = e ^GなのでΩでは厳密に負になります。ホップの補題は、外向き法線の方向におけるGの方向微分が厳密に正であることを意味します。したがって、境界曲線上では、 F にはどこにも消える微分はありません。境界曲線は 1 回転数を持つため、F は単位円上への境界曲線の微分同相写像を定義します。したがって、F  : Ω → D は滑らかな微分同相写像であり、正則写像Ω → Dと境界間の滑らかな微分同相写像に制限されます。

同様の議論は、単純な滑らかな曲線C _i (内側の曲線) とC _o (外側の曲線)で囲まれた二重連結領域Ωのリーマン写像定理を証明するのにも適用できます。 変換により、1 が外側の境界上にあると仮定できます。 u をディリクレ問題の滑らかな解とし、外側の曲線ではU = 0 、内側の曲線では-1とします。最大原理により、 Ω内のzに対して0 < u ( z ) < 1となり、ホップ補題により、uの法線微分は外側の曲線では負、内側の曲線では正となります。ストークスの定理により、境界上の- u _y dx + u _y dxの積分は 0 となるため、境界曲線からの寄与は打ち消されます。 一方、各境界曲線では、寄与は境界に沿った法線微分の積分となります。 したがって、定数c > 0が存在し、 U = cu は次式を満たします。

${\displaystyle \int _{C}\left(-U_{y}\,dx+U_{x}\,dy\right)=2\pi }$

各境界曲線上でUの調和共役Vは次のように定義される 。

${\displaystyle V(z)=\int _{1}^{z}-u_{y}\,dx+u_{x}\,dy}$

は2πの倍数まで明確に定義される。関数

${\displaystyle \displaystyle {F(z)=e^{U(z)+iV(z)}}}$

はΩ上で滑らかで、 Ωで正則です。外側の曲線上で| F | = 1で、内側の曲線上で| F | = e ^{− c} = r < 1です。外側の曲線上の接線微分は、コーシー・リーマン方程式により、どこにも零になりません。これは、正規微分がどこにも零にならないからです。積分の正規化は、F が境界曲線と 2 つの同心円の間の微分同相写像に制限されることを意味します。外側と内側の曲線の像は、環状空間内の任意の点について巻き数1と0 を持つので、引数原理を適用すると、 F は環状空間r < | z | < 1内のすべての値を正確に 1 回とります。これには重複値が含まれるため、 Fの複素微分はΩでどこにも零になりません。このF は、閉じた環状空間r ≤ | z |上へのΩの滑らかな微分同相写像です。 ≤ 1、内部の正則写像と両方の境界曲線上の滑らかな微分同相写像に制限されます。

制限写像τ  :C∞ ⁽ T2 ) →C∞ ⁽ T ) =C∞ ^{( 1} × T )は^、k≥1に対して連続写像Hk ( T2 )→Hk ^{− 1/2} ( T )に拡張される。[ ^9]実際 ^、

${\displaystyle \displaystyle {{\widehat {\tau f}}(n)=\sum _{m}{\widehat {f}}(m,n),}}$

コーシー・シュワルツの不等式は

${\displaystyle {\begin{aligned}\left|{\widehat {\tau f}}(n)\right|^{2}\left(1+n^{2}\right)^{k-{\frac {1}{2}}}&\leq \left(\sum _{m}{\frac {\left(1+n^{2}\right)^{k-{\frac {1}{2}}}}{\left(1+m^{2}+n^{2}\right)^{k}}}\right)\left(\sum _{m}\left|{\widehat {f}}(m,n)\right|^{2}\left(1+m^{2}+n^{2}\right)^{k}\right)\\&\leq C_{k}\sum _{m}\left|{\widehat {f}}(m,n)\right|^{2}\left(1+m^{2}+n^{2}\right)^{k},\end{aligned}}}$

ここで、積分テストにより、

${\displaystyle {\begin{aligned}C_{k}&=\sup _{n}\sum _{m}{\frac {\left(1+n^{2}\right)^{k-{\frac {1}{2}}}}{\left(1+m^{2}+n^{2}\right)^{k}}}<\infty ,\\c_{k}&=\inf _{n}\sum _{m}{\frac {\left(1+n^{2}\right)^{k-{\frac {1}{2}}}}{\left(1+m^{2}+n^{2}\right)^{k}}}>0.\end{aligned}}}$

τは全射である。なぜなら、連続な拡大写像EはH ^{k − 1/2} ( T )からH ^k ( T ² )まで構成できるからである。^{[10] [11]}実際、

${\displaystyle {\widehat {Eg}}(m,n)=\lambda _{n}^{-1}{\widehat {g}}(n){\frac {\left(1+n^{2}\right)^{k-{\frac {1}{2}}}}{\left(1+n^{2}+m^{2}\right)^{k}}},}$

どこ

${\displaystyle \lambda _{n}=\sum _{m}{\frac {\left(1+n^{2}\right)^{k-{\frac {1}{2}}}}{\left(1+m^{2}+n^{2}\right)^{k}}}.}$

したがってc _k < λ _n < C _{k で}ある。gが滑らかであれば、構成によりEg は1 × T上のgに制限される。さらに、E は有界線型写像であるため 、

${\displaystyle {\begin{aligned}\|Eg\|_{(k)}^{2}&=\sum _{m,n}\left|{\widehat {Eg}}(m,n)\right|^{2}\left(1+m^{2}+n^{2}\right)\\&\leq c_{k}^{-2}\sum _{m,n}\left|{\widehat {g}}(n)\right|^{2}{\frac {\left(1+n^{2}\right)^{2k-1}}{\left(1+m^{2}+n^{2}\right)^{k}}}\\&\leq c_{k}^{-2}C_{k}\|g\|_{k-{\frac {1}{2}}}^{2}.\end{aligned}}}$

^{すると、H k} (Ω) から H ^{k − 1/2} (∂Ω) へのトレースマップ τ が存在することがわかる。実際、境界の管状近傍と、カラーでサポートされ境界付近で 1 に等しい滑らかな関数 ψ を取る。ψ による乗算は関数をカラーのH ^{kに持ち込むが、これはトレースマップが存在する環状体の H k}と同一視できる。円周上の半整数ソボレフ空間の微分同相写像 (または座標変換) に対する不変性は、 H ^{k + 1/2} ( T ) 上の同値ノルムが^[12]で与えられるという事実から導かれる。

${\displaystyle \|f\|_{[k+{\frac {1}{2}}]}^{2}=\|f\|_{(k)}^{2}+\int _{0}^{2\pi }\int _{0}^{2\pi }{\frac {\left|f^{(k)}(s)-f^{(k)}(t)\right|^{2}}{\left|e^{is}-e^{it}\right|^{2}}}\,ds\,dt.}$

これは、τとEの性質（「トレース定理」）の結果でもある。^[13]実際、Tの任意の微分同相写像fは、第2因子のみに作用することでT ²の微分同相写像Fを誘導する。誘導写像F *の下でのH ^k ( T ^{2 )の不変性は、} f * = τ ∘ F * ∘ Eであるため、 f *の下でのH ^{k − 1/2} ( T )の不変性を意味する。

トレース定理のさらなる帰結は、2つの正確なシーケンスである^{[14] [15]}

${\displaystyle (0)\to H_{0}^{1}(\Omega )\to H^{1}(\Omega )\to H^{\frac {1}{2}}(\partial \Omega )\to (0)}$

そして

${\displaystyle (0)\to H_{0}^{2}(\Omega )\to H^{2}(\Omega )\to H^{\frac {3}{2}}(\partial \Omega )\oplus H^{\frac {1}{2}}(\partial \Omega )\to (0),}$

ここで最後の写像は、H ² (Ω)のf をf | _∂Ωおよび ∂ _n f | _∂Ωに変換します。トレース写像の正規微分の高次のべきを含む これらのシーケンスの H ^k (Ω)への一般化があります。

${\displaystyle (0)\to H_{0}^{k}(\Omega )\to H^{k}(\Omega )\to \bigoplus _{j=1}^{k}H^{j-{\frac {1}{2}}}(\partial \Omega )\to (0).}$

H ^{j − 1/2} (∂Ω)へのトレースマップはfを∂^{k − j}
_nf  | _∂Ω

ノイマン問題に対するソボレフ空間アプローチは、ディリクレ問題に対するアプローチほど直接的に表現することはできない。主な理由は、関数f がH ¹ (Ω)にある場合、正規微分∂ _n f  | _∂Ωをソボレフ空間のレベルで事前に定義できないことである。代わりに、平面上の有界領域Ω上のラプラシアンΔに対する境界値問題の別の定式化が使用される。これは、ディリクレ形式、 H ¹ (Ω)上の準線型双線型形式、H¹
₀(Ω)または中間の閉じた部分空間。境界上の積分は、ディリクレ形式の定義には関係しません。代わりに、ディリクレ形式が強制性と呼ばれる特定の正値条件を満たす場合、解は弱い意味で存在することを示すことができ、いわゆる「弱解」です。一般的な正則性定理は、境界値問題の解がH ² (Ω)に存在する必要があることを意味します。したがって、それらは強い解であり、関数とその境界への正規導関数の制限を含む境界条件を満たします。ディリクレ問題はこれらの用語で同じように表現できますが、トレースマップf  | _∂ΩはH ¹ (Ω)上ですでに定義されているため、ディリクレ形式を明示的に言及する必要はなく、演算子の定式化はより直接的です。統一された議論は Folland (1995) で示されており、以下に簡単に要約します。上で説明したディリクレ問題がこのフレームワークにどのように適合するかを説明します。次に、テイラー (2011) に従って、この観点からノイマン問題を詳細に扱います。

平面上の境界領域Ω上のラプラシアンΔの境界値問題のヒルベルト空間定式化は、以下のデータから導かれる。^[16]

• 閉じた部分空間H¹
  ₀(Ω) ⊆ H ⊆ H ¹ (Ω)です。
• Δのディリクレ形式は、 f、g ∈ H ¹ (Ω)に対して定義された有界エルミート双線型形式D (  f、g )によって与えられ、 f、g ∈ Hに対してD (  f、g ) = (∆ f、g )となる。¹
  ₀（Ω） .
• Dは強制的である、すなわち、正の定数Cと非負の定数λが 存在し、 D (  f , f  )≥C ( f  , f )  ( ₁₎ −λ ( f , f  )となる。

L ² (Ω)の初期データfが与えられたときの境界値問題の弱解は、次を満たす 関数uである。

${\displaystyle D(f,g)=(u,g)}$

すべてのgに対して。

ディリクレ問題とノイマン問題の両方において

${\displaystyle D(f,g)=\left(f_{x},g_{x}\right)+\left(f_{y},g_{y}\right).}$

ディリクレ問題H = Hの場合¹
₀（Ω）この場合

${\displaystyle D(f,g)=(\Delta f,g),\qquad f,g\in H.}$

トレース定理により、解はH ^1/2 (∂Ω)においてu | _Ω = 0を満たします。

ノイマン問題ではHはH ¹ (Ω)とみなされます。

Ω上の古典的なノイマン問題は境界値問題を解くことである。

${\displaystyle {\begin{cases}\Delta u=f,&f,u\in C^{\infty }(\Omega ^{-}),\\\partial _{n}u=0&{\text{on }}\partial \Omega \end{cases}}}$

グリーンの定理によれば、 u、v ∈ C ^∞ (Ω ⁻ )に対して

${\displaystyle (\Delta u,v)=(u_{x},v_{x})+(u_{y},v_{y})-(\partial _{n}u,v)_{\partial \Omega }.}$

したがって、ΩでΔ u = 0であり、ノイマン境界条件を満たす場合、u _x = u _y = 0 となり、u はΩで一定になります。

したがって、ノイマン問題は定数を加えることによって唯一の解を持つ。^[17]

H ¹ (Ω)上のエルミート形式を次のように定義する 。

${\displaystyle \displaystyle {D(f,g)=(u_{x},v_{x})+(u_{y},v_{y}).}}$

H ¹ (Ω)はHと双対関係にあるので⁻¹
₀(Ω) 、 HにはLuという固有の元素がある。⁻¹
₀(Ω)となる

${\displaystyle \displaystyle {D(u,v)=(Lu,v).}}$

I + L写像はH ¹ (Ω)からHへの等長写像である。⁻¹
₀(Ω)なので、特にL は制限されます。

実際には

${\displaystyle ((L+I)u,v)=(u,v)_{(1)}.}$

それで

${\displaystyle \|(L+I)u\|_{(-1)}=\sup _{\|v\|_{(1)}=1}|((L+I)u,v)|=\sup _{\|v\|_{(1)}=1}|(u,v)_{(1)}|=\|u\|_{(1)}.}$

一方、Hの任意のf  ⁻¹
₀(Ω) はH ¹ (Ω)上の有界共役線型形式を定義し、vを(  f , v )に写す。リース・フィッシャーの定理により、 u ∈ H ¹ (Ω)が存在し、

${\displaystyle \displaystyle {(f,v)=(u,v)_{(1)}.}}$

したがって( L + I ) u = f となり、L + I は射影的となる。L 2 (Ω)上の有界^線型作用素T を次のように 定義する。

${\displaystyle T=R_{1}(I+L)^{-1}R_{0},}$

ここで、R ₁はH ¹ (Ω) → L ² (Ω)の写像、つまりコンパクト演算子であり、R _{0 は}L ² (Ω) → H の写像である。⁻¹
₀(Ω) はその随伴なので、これもコンパクトです。

演算子T には次の特性があります。

• Tは短縮形の組み合わせなので短縮形である
• Tはコンパクトである。なぜなら、R ₀とR _{1 は}レリッヒの定理によりコンパクトだからである。
• T は自己随伴である。なぜなら、f、g ∈ L ² (Ω)ならば、 f = ( L + I ) u、g = ( L + I ) vと書けるからである。ここで、 u、v ∈ H ¹ (Ω)であるからである。  

${\displaystyle (Tf,g)=(u,(I+L)v)=(u,v)_{(1)}=((I+L)u,v)=(f,Tg).}$

• T は正のスペクトルと核(0)を持ち、

${\displaystyle (Tf,f)=(u,u)_{(1)}\geq 0,}$

Tf = 0はu = 0を意味し、したがってf = 0です。

• L ² (Ω)の完全な正規直交基底f _{n が}存在し、これはTの固有関数から構成される。したがって 

${\displaystyle Tf_{n}=\mu _{n}f_{n}}$

0 < μ _n ≤ 1かつμ _nが0に減少する。

• Tの像はH ¹ (Ω)内にあるため、固有関数はすべてH ¹ (Ω)内に存在します。
• f _{n は}Lの固有関数であり、 

${\displaystyle \displaystyle {Lf_{n}=\lambda _{n}f_{n},\qquad \lambda _{n}=\mu _{n}^{-1}-1.}}$

したがって、λ _{n は}非負であり、∞まで増加します。

• 固有値0は重複度1で発生し、定数関数に対応する。u ∈ H ¹ (Ω)がLu = 0を満たす場合、

${\displaystyle (u_{x},u_{x})+(u_{y},u_{y})=(Lu,u)=0,}$

したがってuは定数です。

最初の主要な正則性の結果は、演算子Lとディリクレ形式Dで表現される弱解は、ラプラシアンΔとノイマン境界条件で表現される古典的な意味での強解であることを示しています。したがって、 u ∈ H ¹ (Ω)、   f   ∈ L ² (Ω)でu = Tf の場合、u ∈ H ² (Ω)はΔ u + u = fと∂ _n u | _∂Ω = 0 を満たします。さらに、 uに依存しない定数Cに対して、  

${\displaystyle \|u\|_{(2)}\leq C\|\Delta u\|_{(0)}+C\|u\|_{(1)}.}$

ご了承ください

${\displaystyle \|u\|_{(1)}\leq \|Lu\|_{(-1)}+\|u\|_{(0)},}$

以来

${\displaystyle {\begin{aligned}\|u\|_{(1)}^{2}&=|(Lu,u)|+\|u\|_{(0)}^{2}\\&\leq \|Lu\|_{(-1)}\|u\|_{(1)}+\|u\|_{(0)}\|u\|_{(1)}.\end{aligned}}}$

分解u = ψu + (1 − ψ ) uをとります。ここでψはΩでサポートされ、1 − ψ は境界のカラーでサポートされます。

演算子Lは次のように特徴付けられる。

${\displaystyle (Lf,g)=\left(f_{x},g_{x}\right)+\left(f_{y},g_{y}\right)=(\Delta f,g)_{\Omega }-\left(\partial _{n}f,g\right)_{\partial \Omega },\qquad f,g\in C^{\infty }(\Omega ^{-}).}$

それから

${\displaystyle ([L,\psi ]f,g)=([\Delta ,\psi ]f,g),}$

となることによって

${\displaystyle \displaystyle {[L,\psi ]=-[L,1-\psi ]=\Delta \psi +2\psi _{x}\partial _{x}+2\psi _{y}\partial _{y}.}}$

関数v = ψuとw = (1 − ψ ) u は別々に扱われます。vは本質的に内部点に対する通常の楕円正則性の考慮の対象ですが、w は境界付近で差分商を使用した特別な処理が必要です。∆とノイマン境界条件に関して強い特性が確立されると、「ブートストラップ」正則性の結果はディリクレ問題の場合とまったく同じように証明できます。

関数v = ψuはHにある¹
₀( Ω ₁ )ここでΩ _{1 は}Ω内で閉包する領域である。f   ∈ Cの場合 ^∞
_℃(Ω)とg ∈ C ^∞ (Ω ⁻ )

${\displaystyle (Lf,g)=(\Delta f,g)_{\Omega }.}$

連続性により、 fをvに置き換えても同じことが成り立ち、したがってLv = ∆ vとなる。したがって   

${\displaystyle \Delta v=Lv=L(\psi u)=\psi Lu+[L,\psi ]u=\psi (f-u)+[\Delta ,\psi ]u.}$

したがって、vをH 1 ⁽ T 2 ⁾の要素と見なすと、∆v∈L 2 ( T ² )となる。したがって、v∈H ² ( T ² )となる。φ∈Cに対してv = φvであるため^、∞
_℃(Ω) 、 v ∈ Hとなる。²
₀（Ω）さらに、

${\displaystyle \|v\|_{(2)}^{2}=\|\Delta v\|^{2}+2\|v\|_{(1)}^{2},}$

となることによって

${\displaystyle \|v\|_{(2)}\leq C\left(\|\Delta (v)\|+\|v\|_{(1)}\right).}$

関数w = (1 − ψ ) u は、境界の管状近傍に含まれるカラーでサポートされています。差分商δ _h w は流れS _tに対して形成され、 H ¹ (Ω)内にあるため、最初の不等式が適用されます。

${\displaystyle {\begin{aligned}\|\delta _{h}w\|_{(1)}&\leq \|L\delta _{h}w\|_{(-1)}+\|\delta _{h}w\|_{(0)}\\&\leq \|[L,\delta _{h}]w\|_{(-1)}+\|\delta _{h}Lw\|_{(-1)}+\|\delta _{h}w\|_{(0)}\\&\leq \|[L,\delta _{h}]w\|_{(-1)}+C\|Lw\|_{(0)}+C\|w\|_{(1)}.\end{aligned}}}$

交換子[ L , δ _h ]は、 H ¹ (Ω)からHへの演算子として一様有界である。⁻¹
₀(Ω)。これは不等式をチェックすることと同等である。

${\displaystyle \left|\left(\left[L,\delta _{h}\right]g,h\right)\right|\leq A\|g\|_{(1)}\|h\|_{(1)},}$

gに対して、h はカラー上の滑らかな関数である。これは、ソボレフ空間の不変性と、環状空間に対して、関数にR h_を適用した後、差分演算子を係数に適用することで、微分演算子を持つδ _hの交換子が得られるという事実を使って、環状空間上で直接確認できる。 ^[18]

${\displaystyle \left[\delta ^{h},\sum a_{\alpha }\partial ^{\alpha }\right]=\left(\delta ^{h}(a_{\alpha })\circ R_{h}\right)\partial ^{\alpha }.}$

したがって、差分商δ _h wは一様有界であり、したがってYw ∈ H ¹ (Ω)で

${\displaystyle \|Yw\|_{(1)}\leq C\|Lw\|_{(0)}+C^{\prime }\|w\|_{(1)}.}$

したがってVw ∈ H ¹ (Ω)であり、VwはYwと同様の不等式を満たします。

${\displaystyle \|Vw\|_{(1)}\leq C^{\prime \prime }\left(\|Lw\|_{(0)}+\|w\|_{(1)}\right).}$

Wを直交ベクトル場とする。ディリクレ問題と同様に、 w∈H2 ( ^Ω )であることを示すには、 Ww∈H1 (Ω)^であることを示すだけで十分である。

これを確認するには、 VWw、W ² u ∈ L ² (Ω)であることを示すだけで十分です。前と同様に、

${\displaystyle {\begin{aligned}A&=\Delta -V^{2}-W^{2}\\B&=[V,W]\end{aligned}}}$

はベクトル場である。一方、φ∈Cに対しては（Lw , φ）＝（∆w , φ ）である。^∞
_℃(Ω)なので、Lwと∆ w はΩ上の同じ分布を定義します。したがって

${\displaystyle {\begin{aligned}\left(W^{2}w,\varphi \right)&=\left(Lw-V^{2}w-Au,\varphi \right),\\(VWw,\varphi )&=(WVw+Bw,\varphi ).\end{aligned}}}$

右辺の項はL ² (Ω)内の関数と対になっているので、正則性基準はWw ∈ H ² (Ω)であることを示します。したがって、両方の項がL ² (Ω)にあり、 φと同じ内積を持つため、 Lw = ∆ w となります。

さらに、 Vwの不等式は、

${\displaystyle {\begin{aligned}\|Ww\|_{(1)}&\leq C\left(\|VWw\|_{(0)}+\left\|W^{2}w\right\|_{(0)}\right)\\&\leq C\left\|\left(\Delta -V^{2}-A\right)w\right\|_{(0)}+C\|(WV+B)w\|_{(0)}\\&\leq C_{1}\|Lw\|_{(0)}+C_{1}\|w\|_{(1)}.\end{aligned}}}$

したがって

${\displaystyle {\begin{aligned}\|w\|_{(2)}&\leq C\left(\|Vw\|_{(1)}+\|Ww\|_{(1)}\right)\\&\leq C^{\prime }\|\Delta w\|_{(0)}+C^{\prime }\|w\|_{(1)}.\end{aligned}}}$

u = v + w ∈ H ² (Ω)となる。さらに、

${\displaystyle {\begin{aligned}\|u\|_{(2)}&\leq C\left(\|\Delta v\|+\|\Delta w\|+\|v\|_{(1)}+\|w\|_{(1)}\right)\\&\leq C^{\prime }\left(\|\psi \Delta u\|+\|(1-\psi )\Delta u\|+2\|[\Delta ,\psi ]u\|+\|u\|_{(1)}\right)\\&\leq C^{\prime \prime }\left(\|\Delta u\|+\|u\|_{(1)}\right).\end{aligned}}}$

u ∈ H ² (Ω)なので、グリーンの定理は連続性によって適用できる。したがって、 v ∈ H ¹ (Ω)の場合、

${\displaystyle {\begin{aligned}(f,v)&=(Lu,v)+(u,v)\\&=(u_{x},v_{x})+(u_{y},v_{y})+(u,v)\\&=((\Delta +I)u,v)+(\partial _{n}u,v)_{\partial \Omega }\\&=(f,v)+(\partial _{n}u,v)_{\partial \Omega }.\end{aligned}}}$

したがって、ノイマン境界条件は満たされます。

${\displaystyle \partial _{n}u|_{\partial \Omega }=0,}$

ここで、左辺はH ^1/2 (∂Ω)の要素、つまりL ² (∂Ω)の要素とみなされます。

ここでの主な結果は、u ∈ H ^{k +1} ( k ≥ 1 )、∆ u ∈ H ^kかつ∂ _n u | _∂Ω = 0ならば、u ∈ H ^{k +2}かつ

${\displaystyle \|u\|_{(k+2)}\leq C\|\Delta u\|_{(k)}+C\|u\|_{(k+1)},}$

uに依存しない定数に対して。

ディリクレ問題に対する対応する結果と同様に、これはk ≥ 1の帰納法によって証明される。k = 1の場合、u はノイマン問題の弱解でもあるので、 k = 0の場合の上記の推定値を満たす。ノイマン境界条件は次のように書ける。

${\displaystyle Zu|_{\partial \Omega }=0.}$

Zは周期フロー_Stに対応するベクトル場Yと可換なので、ディリクレ問題に用いられる帰納的証明法はこの場合も同様に有効である。差分商δh^はZで表されるときに境界条件を保存する。^[19]

ノイマン問題の正則性定理から帰納的に、H ¹ (Ω)のDの固有関数はC ^∞ ( Ω ⁻ )に含まれることがわかります。さらに、 fがC ^{∞ (Ω −} )に含まれ、u がH ¹ (Ω)に含まれるDu = fの任意の解は、必ずu がC ^∞ (Ω ⁻ )に含まれます。どちらの場合も、消失特性により、固有関数とuの正規導関数は∂Ω上で消失します。    

上記の方法は、関連するノイマン境界値問題を解決するために使用できます。

${\displaystyle {\begin{cases}\Delta f|_{\Omega }=0\\\partial _{n}f|_{\partial \Omega }=g&g\in C^{\infty }(\partial \Omega )\end{cases}}}$

ボレルの補題により、gは関数G∈C∞ ( Ω− ⁾の制限である。Fは境界付近で∂nF=Gとなるような滑らかな関数とする。uは∆u = −∆Fの解^で_∂nu = 0とする。するとf=u + Fは境界値_問題を解く。 [ ^20] 

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