構造の剛性

離散幾何学および離散力学において、構造剛性は、柔軟なリンクまたはヒンジによって接続された剛体によって形成される集合体の柔軟性を予測するための組み合わせ理論です。

剛性とは、力が加わっても曲がったり曲がったりしない構造の特性です。剛性の反対は柔軟性です。構造剛性理論では、構造は、それ自体が剛体であるオブジェクトの集合によって形成されます。これらのオブジェクトは、直線ロッド (線分) などの単純な幾何学的形状をとると想定されることが多く、一対のオブジェクトは柔軟なヒンジで接続されています。構造が剛性であるのは、曲がることができない場合、つまり、剛性コンポーネントの形状とヒンジでの接続パターンを維持する構造の連続的な動きがない場合です。

剛性には本質的に異なる 2 種類があります。 有限またはマクロな剛性とは、構造が正の量で曲がったり、折れ曲がったり、曲がったりしないことを意味します。 無限小の剛性とは、理論上も検出できないほど小さい量でも構造が曲がらないことを意味します (技術的には、特定の微分方程式には非ゼロの解がないことを意味します)。有限の剛性の重要性は明らかですが、無限小の剛性も重要です。理論上の無限小の柔軟性は、現実世界ではごくわずかな曲がり、その結果として構造が劣化することに対応するためです。

剛体グラフは、構造的に剛体なユークリッド空間へのグラフの埋め込みである。 ^[1]つまり、辺を剛体棒に、頂点を柔軟なヒンジに置き換えることによって形成される構造が剛体である場合、グラフは剛体である。剛体でないグラフは柔軟であると呼ばれる。より正式には、隣接する頂点間の距離を保存したまま頂点を連続的に移動でき、その結果、隣接していない頂点間の距離が変更される場合、グラフ埋め込みは柔軟である。^[2]後者の条件は、単純な平行移動や回転などの ユークリッド合同を排除する。

一部のエッジが圧縮要素(長い長さに伸ばすことはできるが、短い長さに縮むことはできない) を表し、他のエッジが張力要素 (縮むことはできるが、伸ばすことはできない) を表すグラフの剛性問題を検討することもできます。これらのタイプのエッジを持つ剛性グラフは、テンセグリティ構造の数学的モデルを形成します。

基本的な問題は、構造物を構築せずに、理論的な分析によって構造物の剛性を予測する方法です。この分野の主な成果は次のとおりです。

• 任意の次元において、ロッドとヒンジの連結の剛性はマトロイドによって記述されます。2 次元剛性マトロイドの基底(平面内の最小剛性グラフ) はラマン グラフです。
• コーシーの定理は、面が剛体プレートで構成され、辺に沿ってヒンジで接続された3 次元の凸多面体が剛体構造を形成することを述べています。
• 柔軟な多面体、つまり非凸多面体は、ラウル・ブリカール、ロバート・コネリーらによって構築されました。現在証明されているベローズ予想は、柔軟な多面体の連続的な動きはすべてその体積を保存するというものです。
• グリッドブレース問題では、剛性を持たせるフレームワークが、交差ブレースとして対角線を追加した正方形グリッドである場合、構造の剛性は、基礎となる二部グラフの接続性に関する問題に変換することで分析できます。^{[3] [4]}

しかし、他の多くの単純な状況では、かなりの数学理論が存在するにもかかわらず、構造の剛性を数学的に分析する方法がまだ必ずしもわかっていません。

構造剛性の数学的理論の創始者の一人は物理学者ジェームズ・クラーク・マクスウェルです。20 世紀後半には剛性の数学的理論が開花し、21 世紀にも続いています。

「力の作用を受けるフレームワークの平衡とたわみの理論は、品質の硬度に作用します...フレームワークが追加の接続ピースによって強化されている場合...3次元の場合、通常の力の方程式の方法では、各ポイントにはその平衡を決定する3つの方程式があり、ポイントの数をs 、接続の数をeとすると、 eの未知数の間に3つの方程式が与えられます。ただし、各ピースの作用と反作用が等しいため、力によって必ず満たされなければならないシステムの平衡方程式は6つあります。したがって、e  = 3 s  − 6の場合、任意の永久力の効果は、さまざまなピースに張力または圧力を生成する際に明確になります。ただし、e  > 3 s  − 6の場合、これらの力は不確定になります...」^[5]

• チェビシェフ・グリューブラー・クッツバッハ基準
• フレームワークに頼る
• ケンプの普遍性定理

• Alfakih, Abdo Y. (2007)、「バーとジョイントのフレームワークの次元剛性について」、離散応用数学、155 (10): 1244–1253、doi : 10.1016/j.dam.2006.11.011、MR  2332317。
• コネリー、ロバート（1980）、「特定のケーブルフレームワークの剛性と任意の三角形の凸面の2次剛性」、数学の進歩、37（3）：272〜299、doi：10.1016 / 0001-8708（80）90037-7、MR  0591730。
• クラポ、ヘンリー（1979）、「構造剛性」、構造トポロジー（1）：26–45、73、hdl：2099/521、MR  0621627。
• マクスウェル、JC (1864)、「力の逆数と図について」、哲学雑誌、第 4 シリーズ、27 (182): 250–261、doi :10.1080/14786446408643663。
• Rybnikov, Konstantin; Zaslavsky, Thomas (2005)、「アーベルゲイングラフのバランス基準と区分線形幾何学への応用」、離散および計算幾何学、34 (2): 251–268、arXiv : math/0210052、doi :10.1007/s00454-005-1170-6、MR  2155721、S2CID  14391276。
• ホワイトリー、ウォルター（1988）、「マトロイドの結合とフレームワークの剛性」、SIAM Journal on Discrete Mathematics、1（2）：237–255、doi：10.1137/0401025、MR  0941354