等しい球の最密充填

幾何学において、同球の最密充填とは、無限の規則的な配置（または格子）における合同な球の密な配置である。カール・フリードリヒ・ガウスは、格子充填 によって達成できる最高の平均密度、つまり球が占める空間の最大の割合は、

${\displaystyle {\frac {\pi }{3{\sqrt {2}}}}\approx 0.74048}$。

同じ充填密度は、球の同じ最密面を交互に積み重ねることによっても達成でき、これには積層方向に非周期的な構造も含まれます。ケプラー予想は、これが規則的または不規則な球の配置によって達成できる最高の密度であると述べています。この予想はTCヘイルズによって証明されました。^{[1] [2]}最高密度は、1、2、3、8、および24次元でのみ知られています。^[3]

多くの結晶構造は、単一の種類の原子の最密充填、または大きなイオンの最密充填とそれらの間の空間を埋める小さなイオンに基づいています。立方晶と六方晶の配置はエネルギー的に非常に近いため、第一原理からどちらの形が好ましいかを予測することは難しい場合があります。

この最高の平均密度を達成する単純な正則格子は2つあります。それらは対称性に基づいて、面心立方( FCC ) (立方最密充填とも呼ばれる) と六方最密充填( HCP )と呼ばれます。どちらも三角形のタイルの頂点に配置された球のシートに基づいていますが、シートが互いにどのように積み重ねられているかが異なります。FCC格子は、数学者にはA ₃ルートシステムによって生成される格子としても知られています。^[4]

球の最密充填の問題は、1587年頃にトーマス・ハリオットによって初めて数学的に分析された。これは、アメリカへの遠征中にサー・ウォルター・ローリーから船に砲弾を積み上げることについての質問を受けた後のことである。 ^[5] 砲弾は通常、長方形または三角形の木枠に積み上げられ、三面体または四面体のピラミッドを形成した。どちらの配置でも、地面に対する向きが異なる面心立方格子が形成される。六方最密充填では、六角形の底を持つ六面体のピラミッドとなる。

砲弾問題とは、平らな正方形の砲弾のどの配置を積み重ねて四角錐にできるかを問う問題です。エドゥアール・リュカスは、この問題をディオファントス方程式 またはとして定式化し、唯一の解はとであると推測しました。ここで、はピラミッド型の積み重ね配置の層の数であり、 は平らな正方形の配置の辺に沿った砲弾の数です。 ${\displaystyle \sum _{n=1}^{N}n^{2}=M^{2}}$${\displaystyle {\frac {1}{6}}N(N+1)(2N+1)=M^{2}}$${\displaystyle N=1,M=1,}$${\displaystyle N=24,M=70}$${\displaystyle N}$${\displaystyle M}$

FCC 配置と HCP 配置の両方で、各球には 12 個の隣接球があります。各球には、6 個の球に囲まれた 1 つの隙間 (八面体) と、4 個の球に囲まれた 2 つの小さな隙間 (四面体) があります。球の半径が 1 のとき、周囲の球の中心からこれらの隙間の中心までの距離は、四面体の場合は√ 3 ⁄ 2 、八面体の場合は √ 2です。

位置 A の基準レイヤーに対して、さらに 2 つの位置 B と C が可能です。同じものをすぐに繰り返さずに A、B、C のシーケンスをすべて実行でき、特定の半径の球に対して均等に密に詰め込むことができます。

最も一般的なものは

• FCC = ABC ABC ABC... (3 層ごとに同じ)
• HCP = AB AB AB AB... (他のすべてのレイヤーは同じです)。

数え切れないほど無数の無秩序な平面配列（例：ABCACBABABAC...）が存在し、結晶学者ウィリアム・バーローにちなんで「バーローパッキング」と総称されることがある。^[6]

最密充填では、 xy平面における球の中心間の間隔は、ピッチ (球の中心間の距離) が球の直径 1 つである単純なハニカム状のモザイク状になります。z (垂直) 軸に投影された球の中心間の距離は、次のようになります。

${\displaystyle {\text{ピッチ}}_{Z}={\sqrt {6}}\cdot {d \over 3}\approx 0.816\,496\,58d,}$

ここで、d は球の直径です。これは、密に詰まった球の四面体配置から得られます。

HCP と FCC の配位数は12であり、それらの原子充填係数(APF) は上記の数値 0.74 に等しくなります。

球詰め格子を形成する場合、最初に注意すべき事実は、2 つの球が接触するときはいつでも、一方の球の中心からもう一方の球の中心まで、接触点を横切る直線が引けるということです。したがって、最短経路、つまりその直線に沿った中心間の距離はr ₁  +  r ₂になります。ここで、r ₁は最初の球の半径、r _{2 は}2 番目の球の半径です。密に詰めた場合、すべての球は共通の半径r を共有します。したがって、2 つの中心の距離は単純に 2 rになります。

ABAB-... 六角形の球の最密充填を形成するには、格子の座標点が球の中心になります。目標は、HCP に従って箱を球で埋めることだとします。箱はx - y - z座標空間に配置されます。

まず、球を一列に並べます。中心はすべて一直線上にあります。球の中心同士が接している距離は 2 rなので、 x座標は 2 rずつ変化します。y座標と z 座標は同じです。簡単にするために、ボールが最初の列にあり、そのy座標とz座標が単にrで、その表面がゼロ平面上にあるとします。最初の列の中心の座標は、(2 r ,  r ,  r )、(4 r ,  r ,  r )、(6 r  , r ,  r )、(8 r  , r ,  r )、... のようになります。

次に、次の列の球体を形成します。ここでも、中心はすべて直線上にあり、x座標の差は 2 rですが、 x方向に距離rのシフトがあるため、この列のすべての球体の中心は、最初の列で 2 つの球体が接している場所のx座標と揃います。これにより、新しい列の球体が最初の列に近づいていき、新しい列のすべての球体が最初の列の 2 つの球体に接するようになります。新しい球体は2 つの球体に接しているため、その中心は隣接する 2 つの球体の中心とともに正三角形を形成します。辺の長さはすべて 2 rなので、列間の高さまたはy座標の差は√ 3 rです。したがって、この列の座標は次のようになります。

${\displaystyle \left(r,r+{\sqrt {3}}r,r\right),\ \left(3r,r+{\sqrt {3}}r,r\right),\ \left(5r,r+{\sqrt {3}}r,r\right),\ \left(7r,r+{\sqrt {3}}r,r\right),\dots .}$

この行の最初の球は元の行の 1 つの球にのみ接していますが、その位置は行の残りの球の位置に従います。

次の行は、 x座標をrだけシフトし、y座標を√ 3だけシフトするというパターンに従います。ボックスの xおよびy の最大境界に達するまで行を追加します。

ABAB-... の積み重ねパターンでは、球の奇数番号の平面は、 Z座標のピッチの違いを除いてまったく同じ座標を持ち、球の偶数番号の平面は同じX座標とY座標を共有します。両方のタイプの平面は上記のパターンを使用して形成されますが、最初の行の最初の球の開始位置は異なります。

上で平面 #1 として正確に説明した平面、つまり A 平面を使用して、この平面の上に球を置き、A 平面内の 3 つの球に接するようにします。3 つの球はすでに互いに接しており、正三角形を形成しています。これらがすべて新しい球に接しているので、4 つの中心は正四面体を形成します。^[7]すべての辺は 2 rに等しくなります。これは、すべての辺が 2 つの球が接して形成されるためです。その高さ、つまり2 つの「平面」間のz座標の差は⁠√6r2​​​/3⁠ 。これをx座標とy座標のオフセットと組み合わせると、B 平面の最初の行の中心が得られます。

${\displaystyle \left(r,r+{\frac {{\sqrt {3}}r}{3}},r+{\frac {{\sqrt {6}}r2}{3}}\right),\ \left(3r,r+{\frac {{\sqrt {3}}r}{3}},r+{\frac {{\sqrt {6}}r2}{3}}\right),\ \left(5r,r+{\frac {{\sqrt {3}}r}{3}},r+{\frac {{\sqrt {6}}r2}{3}}\right),\ \left(7r,r+{\frac {{\sqrt {3}}r}{3}},r+{\frac {{\sqrt {6}}r2}{3}}\right),\dots .}$

2 行目の座標は、上で最初に説明したパターンに従い、次のようになります。

${\displaystyle \left(2r,r+{\frac {4{\sqrt {3}}r}{3}},r+{\frac {{\sqrt {6}}r2}{3}}\right),\ \left(4r,r+{\frac {4{\sqrt {3}}r}{3}},r+{\frac {{\sqrt {6}}r2}{3}}\right),\ \left(6r,r+{\frac {4{\sqrt {3}}r}{3}},r+{\frac {{\sqrt {6}}r2}{3}}\right),\ \left(8r,r+{\frac {4{\sqrt {3}}r}{3}},r+{\frac {{\sqrt {6}}r2}{3}}\right),\dots .}$

次の平面であるA平面との違いは、また、⁠√6r2​​​/3⁠ z方向にはxとyがシフトし、最初のA平面のxとy座標と一致するようになります。 ^[8]

一般に、球の中心の座標は次のように表すことができます。

${\displaystyle {\begin{bmatrix}2i+((j\ +\ k){\bmod {2}})\\{\sqrt {3}}\left[j+{\frac {1}{3}}(k{\bmod {2}})\right]\\{\frac {2{\sqrt {6}}}{3}}k\end{bmatrix}}r}$

ここで、i、j、k はx、y、z座標の 0 から始まるインデックスです。

HCP システムの結晶学的特徴、例えばベクトルや原子面族は、 4 値のミラー指数表記 ( hkil ) を使用して記述できます。ここで、 3 番目の指数i は、 − h  −  kに等しい縮退しているが便利な成分を表します。h、i、k の指数方向は 120° 離れているため、直交していません。l成分は、 h、i、k の指数方向に対して相互に垂直です。

FCC および HCP 充填は、最も高い対称性 (最小の繰り返し単位) を持つ、等しい球の最も密な充填として知られています。より密な球の充填も知られていますが、それらは不等な球の充填を伴います。充填密度 1 で空間を完全に満たすには、ハニカムなどの非球形が必要です。

2 つの球間の各接触点を、接触する球の中心を結ぶ辺に置き換えると、辺の長さが等しい四面体と八面体が生成されます。FCC 配置では、四面体-八面体ハニカムが生成されます。HCP 配置では、回転した四面体 - 八面体ハニカムが生成されます。代わりに、すべての球に、他のどの球よりも近い空間内の点を追加すると、これらのハニカムの双対が生成されます。FCCの場合は菱形十二面体ハニカム、 HCP の場合は台形菱形十二​​面体ハニカムです。

泡の間の隙間の水が排出されると、FCC または HCP 配列の石鹸水中に球状の泡が出現する。このパターンは、菱形十二面体ハニカムまたは台形菱形十二​​面体ハニカムにも近づく。しかし、このような FCC または HCP フォームの液体含有量は非常に少なく、プラトーの法則を満たさないため不安定である。ケルビン フォームとウィア–フェラン フォームはより安定しており、液体含有量が非常に少ない限界では界面エネルギーが小さい。^[9]

hcp および fcc 構造によって残される格子間空孔には、四面体空孔と八面体空孔の 2 種類があります。四面体空孔は 4 つの球で囲まれ、そのうち 3 つは 1 つの層にあり、もう 1 つは次の層から来ています。八面体空孔は 6 つの球で囲まれ、そのうち 3 つは 1 つの層から来ており、残りの 3 つは次の層から来ています。たとえば、多くの単純な化合物の構造は、より大きな原子から形成される密集システム内の四面体または八面体空孔を占有する小さな原子の観点から説明されることがよくあります。

層状構造は、空の八面体面と充填された八面体面が交互に並ぶことで形成される。2つの八面体層は通常、4つの構造配置を可能にし、それらはhcpまたはfccパッキングシステムで充填される。四面体の穴を埋める場合、完全に充填されるとfccフィールド配列となる。単位セルでは、穴を埋めるとhcpとfccの層が混在した多面体配列になることがある。^[10]

• 立方晶系
• エルミート定数
• ランダムクローズパック
• 球詰め
• 円筒球パッキング

ウィキメディア・コモンズには、最高密度の球体充填に関連するメディアがあります。

• P. クリシュナ & D. パンディ、「密充填構造」、国際結晶学連合、ユニバーシティ カレッジ カーディフ プレス。カーディフ、ウェールズ。PDF