複数地区のパラドックス

投票制度が結合一貫性（強化基準とも呼ばれる）を満たすのは、2組の票を結合して、どちらもAをBより優先させると、常に結合後の選挙民の順位がAをBより上位にする場合である。^[1]これは参加基準のより強い形である。一貫性基準を満たさない制度（即時決選投票やコンドルセ方式など）は、複数選挙区のパラドックスの影響を受けやすく、特にひどい種類の選挙区割り変更（選挙全体で勝利した候補者が1つの選挙区も獲得できないような境界線を引くこと）が可能になる。^[1]

結合一貫性には 3 つのバリエーションがあります。

1. 勝者の一貫性: 2 つの地区で同じ勝者Aが選出された場合、統合された地区でもA が勝利します。
2. ランキングの一貫性: 2 つの選挙区が一連の候補者をまったく同じ方法でランキングした場合、統合された選挙区ではすべての候補者のランキングが同じになります。
3. 評価の一貫性: 2 つの異なる地区が候補者に同じ総合評価を割り当てた場合、その候補者の総合評価は同じである必要があります。

投票システムが勝者一貫性を持つのは、ポイント加算方式である場合のみである。言い換えれば、それは位置投票システムまたはスコア投票（承認投票を含む）でなければならない。^{[2] [3]}

ケメニー＝ヤング法で以下に示すように、システムが強化法に合格するかどうかは、選挙で単一の勝者を選ぶか、候補者の完全な順位付け（順位の一貫性とも呼ばれる）を選ぶかによって決まります。方法によっては、勝者は同じでも順位が異なる2つの選挙区を足し合わせると、異なる勝者が出る場合があります。ケメニー＝ヤング法は順位の一貫性がある唯一のコンドルセ法であり、勝者の一貫性があるコンドルセ法は存在しません。^[3]

この例では、コープランドの方法が一貫性基準に違反していることを示しています。次のような好みを持つ 27 人の有権者を持つ 5 人の候補者 A、B、C、D、E がいるとします。

ここで、すべての投票者の集合は太線で 2 つのグループに分割されます。線より上の投票者は最初の投票者グループ、その他の投票者は 2 番目の投票者グループです。

以下に、最初の投票者グループのコープランド勝者が決定されます。

結果は次のように表にまとめられます。

結果: 最初の投票者グループの投票により、A は 4 人の対立候補のうち 3 人に勝つことができますが、他のどの候補者も 2 人以上の対立候補に勝つことはできません。したがって、最初の投票者グループによって Aがコープランド勝者に選出されます。

これで、第2グループの投票者の中でコープランドの勝者が決定した。

結果は次のように表にまとめられます。

結果: 2 番目のグループの投票のみを考慮すると、A は 4 人の対立候補のうち 3 人に勝つことができますが、他のどの候補者も 2 人以上の対立候補に勝つことはできません。したがって、A は2 番目のグループの投票者によってコープランド勝者に選出されます。

最終的に、投票者全員の中からコープランドの勝者が決定されます。

結果は次のように表にまとめられます。

結果: C がコンドルセの勝者なので、コープランドはC を勝者として選択します。

この例では、即時決選投票が一貫性基準に違反していることを示しています。3 人の候補者 A、B、C と、次の優先順位を持つ 23 人の有権者を想定します。

ここで、すべての投票者の集合は太線で 2 つのグループに分割されます。線より上の投票者は最初の投票者グループ、その他の投票者は 2 番目の投票者グループです。

続いて、最初のグループの投票者の即時決選投票の勝者が決定されます。

B は 2 票しか持っていないため、最初に脱落します。その票は A に移されます。これで、A は 6 票を持ち、4 票の C に勝ちます。

結果: B が敗退した後、 A がC に勝利します。

これで、第2グループの投票者の即時決選投票の勝者が決定した。

C は得票数が最少の 3 票で、脱落します。A は C からの票をすべて集めてその恩恵を受けます。これで、7 票の A が 6 票の B に勝利します。

結果: C が排除され、 A がB に勝利します。

最後に、全投票者の中から決選投票の勝者が決定されます。

C は第一希望票が最も少ないため最初に排除され、その票は分割されます。4 票は B に、3 票は A に移されます。したがって、B は 12 票、A は 11 票で勝利します。

結果: C が脱落し、 B がA に勝利します。

A は、最初の投票者グループ内でも、2 番目の投票者グループ内でも、即時決選投票の勝者です。しかし、両方のグループを合わせると、即時決選投票の勝者として B が選出されます。したがって、即時決選投票は一貫性基準を満たしていません。

この例では、ケメニー・ヤング法が一貫性基準に違反していることを示しています。3 人の候補者 A、B、C と、次の好みを持つ 38 人の有権者を想定します。

ここで、すべての投票者の集合は太線で 2 つのグループに分割されます。線より上の投票者は最初の投票者グループ、その他の投票者は 2 番目の投票者グループです。

以下に、第 1 グループの投票者によるケメニー - ヤングの勝者が決定されます。

Kemeny–Young 法では、ペア比較のカウントを次の集計表に並べます。

すべての可能なランキングのランキングスコアは次のとおりです。

結果: ランキング A > B > C の順にランキングスコアが高くなります。したがって、A がB と C に先んじて勝利します。

これで、第2グループの投票者におけるケメニー・ヤングの勝者が決定した。

Kemeny–Young 法では、ペア比較のカウントを次の集計表に並べます。

すべての可能なランキングのランキングスコアは次のとおりです。

結果: ランキング A > C > B の順にランキングスコアが高くなります。したがって、A がC と B に先んじて勝利します。

最終的に、投票者全員によるケメニー・ヤングの勝者が決定されます。

Kemeny–Young 法では、ペア比較のカウントを次の集計表に並べます。

すべての可能なランキングのランキングスコアは次のとおりです。

結果: ランキング B > A > C の順にランキングスコアが高くなります。したがって、B がA と C に先んじて勝利します。

A は、最初の投票者グループ内と 2 番目の投票者グループ内で、Kemeny-Young 勝者です。しかし、両方のグループを合わせると、B が Kemeny-Young 勝者として選出されます。したがって、Kemeny-Young 法は強化基準を満たしていません。

ケメニー・ヤング法は、順位の一貫性を満たしています。つまり、選挙民が任意に 2 つの部分に分割され、各部分で別々の選挙が行われて同じ順位が選択された場合には、選挙民全体の選挙でも同じ順位が選択されます。実際、これは順位の一貫性を満たす 唯一のコンドルセ法です。

順位のケメニー・ヤングスコアは、順位に一致する各投票のペアワイズ比較の数を合計することによって計算されます。したがって、選挙区のケメニー・ヤングスコアは、選挙区を互いに素なサブセット（）に分割し、これらのサブセットのケメニー・ヤングスコアを計算して合計する ことで計算できます。${\displaystyle {\mathcal {R}}}$${\displaystyle {\mathcal {R}}}$${\displaystyle s_{V}({\mathcal {R}})}$${\displaystyle V}$${\displaystyle V=V_{1}\cup V_{2}}$${\displaystyle V_{1}\cap V_{2}=\emptyset }$

${\displaystyle {\text{(I)}}\quad s_{V}({\mathcal {R}})=s_{V_{1}}({\mathcal {R}})+s_{V_{2}}({\mathcal {R}})}$。

ここで、選挙区 の選挙について考えてみましょう。強化の前提は、選挙区 を任意に 2 つの部分に分割し、各部分で同じ順位を選択することです。つまり、各選挙区 の順位の Kemeny-Young スコアは、他のすべての順位 よりも大きくなります。 ${\displaystyle V}$${\displaystyle V=V_{1}\cup V_{2}}$${\displaystyle {\mathcal {R}}}$${\displaystyle {\mathcal {R}}}$${\displaystyle {\mathcal {R}}'}$

${\displaystyle {\begin{aligned}{\text{(II)}}\quad \forall {\mathcal {R}}':{}&s_{V_{1}}({\mathcal {R}})>s_{V_{1}}({\mathcal {R}}')\\{\text{(III)}}\quad \forall {\mathcal {R}}':{}&s_{V_{2}}({\mathcal {R}})>s_{V_{2}}({\mathcal {R}}')\end{aligned}}}$

ここで、選挙区全体のランキングのケメニー・ヤング スコアが、他のすべてのランキングのケメニー・ヤング スコアよりも大きいことを示す必要があります。 ${\displaystyle {\mathcal {R}}}$${\displaystyle {\mathcal {R}}'}$

${\displaystyle s_{V}({\mathcal {R}})\ {\stackrel {(I)}{=}}\ s_{V_{1}}({\mathcal {R}})+s_{V_{2}}({\mathcal {R}})\ {\stackrel {(II)}{>}}\ s_{V_{1}}({\mathcal {R}}')+s_{V_{2}}({\mathcal {R}})\ {\stackrel {(III)}{>}}\ s_{V_{1}}({\mathcal {R}}')+s_{V_{2}}({\mathcal {R}}')\ {\stackrel {(I)}{=}}\ s_{V}({\mathcal {R}}')\quad q.e.d.}$

したがって、Kemeny-Young 法は完全なランキングに関して一貫しています。

この例では、多数決判断が強化に違反していることを示しています。2 人の候補者 A と B と、次の評価を持つ 10 人の投票者がいると仮定します。

ここで、すべての投票者の集合は太線で 2 つのグループに分割されます。線より上の投票者は最初の投票者グループ、その他の投票者は 2 番目の投票者グループです。

次に、最初の投票者グループの多数決勝者が決定されます。

並べ替えられた評価は次のようになります。

結果: 最初の投票者グループの投票により、A は「優秀」の中央評価を獲得し、B は「まずまず」の中央評価を獲得しました。したがって、最初の投票者グループによって 、 Aが多数決勝者に選出されました。

これで、第 2 グループの投票者の多数決による勝者が決定しました。

並べ替えられた評価は次のようになります。

結果: 2 番目のグループの投票のみを考慮すると、A は「普通」の評価の中央値を持ち、B は「悪い」の評価の中央値を持ちます。したがって、A は2 番目の投票者グループによって多数決の勝者に選出されます。

最終的に、投票者全員の多数決で勝者が決定されます。

並べ替えられた評価は次のようになります。

A と B の中央評価は両方とも「普通」です。同点なので、中央値が異なるまで両方から「普通」評価が削除されます。それぞれの投票から 20% の「普通」評価を除外すると、並べ替えられた評価は次のようになります。

結果: 現在、A の中央評価は「悪い」、B の中央評価は「普通」です。したがって、B が多数決勝者に選出されます。

A は、最初の投票者グループ内と 2 番目の投票者グループ内で多数決勝者です。しかし、両方のグループを合わせると、多数決勝者として B が選出されます。したがって、多数決は一貫性基準を満たしていません。

この例では、ランク付けペア方式が一貫性基準に違反していることを示しています。次の好みを持つ 39 人の有権者を持つ 3 人の候補者 A、B、C がいると仮定します。

ここで、すべての投票者の集合は太線で 2 つのグループに分割されます。線より上の投票者は最初の投票者グループ、その他の投票者は 2 番目の投票者グループです。

次に、最初の投票者グループの順位付けされたペアの勝者が決定されます。

結果は次のように表にまとめられます。

勝利の並べ替えリストは次のようになります。

結果: B > C および A > B が最初に確定します (その後は C > A を確定できません)。したがって、完全な順位は A > B > C となります。したがって、最初の投票者グループによって、 A が順位付けペアの勝者として選出されます。

これで、第 2 グループの投票者のランキング ペアの勝者が決定しました。

結果は次のように表にまとめられます。

勝利の並べ替えリストは次のようになります。

結果: 2 番目のグループの投票のみを考慮すると、最初に A > C および C > B が確定します (その後は B > A は確定できません)。したがって、完全なランキングは A > C > B となります。したがって、 2 番目の投票者グループによって、 Aがランク付けされたペアの勝者に選出されます。

最後に、投票者全員の順位付けされたペアの勝者が決定されます。

結果は次のように表にまとめられます。

勝利の並べ替えリストは次のようになります。

結果: これで、3 つのペア (A > C、B > C、B > A) すべてがサイクルなしでロックされます。完全なランキングは B > A > C です。したがって、ランク付けされたペアは、サイクルがないため、コンドルセの勝者である B を勝者として選択します。

A は、最初の投票者グループ内と 2 番目の投票者グループ内でランク付けペアの勝者です。ただし、両方のグループを合わせると、ランク付けペアの勝者として B が選出されます。したがって、ランク付けペア方式は一貫性基準を満たしていません。

1. ^ John H Smith、「可変有権者による選好の集約」、 Econometrica、第41巻（1973年）、1027-1041頁。
2. ^ DR Woodall、「優先選挙ルールの特性」、 Voting matters、第3号（1994年12月）、8～15ページ。
3. ^ HP Young、「社会的選択スコアリング関数」、 SIAM応用数学ジャーナル第28巻第4号（1975年）、824〜838頁。