単一ピークの好み

単峰性の選好は選好関係の一種です。あるグループが一連の結果に対して単峰性の選好を持つのは、次のような線に沿って結果を順序付けることができる場合です。

1. 各エージェントはセット内で「最良の結果」を持ち、
2. 各エージェントにとって、最良の結果から遠い結果はそれほど好まれません。

単一ピークの嗜好は、1 次元ドメインに典型的です。典型的な例は、複数の消費者が公共財の購入量を決定する必要があるときです。量は 1 次元変数です。通常、各消費者は自分にとって最適な特定の量を決定します。実際の量がその理想的な量より多い/少ない場合、エージェントの満足度は低くなります。

単一ピークの選好では、結果を選択するための単純で真実なメカニズムがあり、それは中央値を選択することです。これにより、中央値投票者定理が生まれます。^{[要出典]中央値関数が}強い単調性特性を満たすため、これは真実です。

この概念はダンカン・ブラック^[1]によって最初に提唱され、後にケネス・アロー^[2]によって提唱されました。

が可能な結果の集合であるとします 。がエージェントの集合であるとします。エージェントiの選好関係は で表されます。Xにおけるの最大要素は で表されます_。${\displaystyle X=\{x_{1},\ldots ,x_{m}\}}$${\displaystyle N=\{1,\ldots ,n\}}$${\displaystyle \succ_{i}}$${\displaystyle \succ_{i}}$${\displaystyle x_{i}^{*}}$

グループN は、 N内のすべてのエージェントiに対して、次のような結果の順序が存在する場合、Xに対して単峰性の好みを持つと言われます。

${\displaystyle x_{k} は x_{i} の意味で、$
${\displaystyle x_{k}>x_{j}\geq x_{i}^{*}\Rightarrow x_{j}\succ _{i}x_{k}}$

言葉で言えば、はエージェントiにとっての理想点です。エージェントが理想点の右または左にある 2 つの結果を比較する場合、エージェントは に最も近い選択肢を厳密に選択します 。 ${\displaystyle x_{i}^{*}}$${\displaystyle x_{i}^{*}}$

優先順位関係は異なりますが、結果の順序はすべてのエージェントで同じである必要があることに注意してください。 ${\displaystyle \succ_{i}}$

BallesterとHaeringer ^[3]は、単峰性の好みに対する以下の必要条件を証明した。

グループN がXに対して単峰性の好みを持つ場合、 X内の結果の 3 つ組ごとに、 N内のどのエージェントによっても最後にランク付けされない結果が存在します。

次のグラフは、結果 {A、B、C、D、E} に対して単一のピークを持つ 3 つの優先順位のセットを示しています。縦軸の数字は結果の優先順位を表し、1 が最も好ましいものです。同じくらい好ましい 2 つの結果は、同じ順位になります。

結果の順序は、A < B < C < D < E です。緑のエージェントの理想的な結果は A、赤のエージェントは B、青のエージェントは C です。各エージェントについて、理想的な結果から離れると、順位は下がります。

また、結果の 3 つ組ごとに、そのうちの 1 つ (真ん中のもの) が最後にランク付けされることはないことも確認できます。たとえば、{A、B、C} では、B が最後にランク付けされることはありません。{C、D、E} では、D が最後にランク付けされることはありません。などです。

次の 2 つのグラフで表される 2 つの好みをそれぞれ上記の 3 つの好みに追加すると、結果として得られる 4 つの好みのグループは単一のピークにはなりません。

青の好みについては、好みの順位が「D」で急激に下がり、「E」で急激に上がることがわかります。これは、青の好みが A<B<C<D<E の順序に関して単峰ではないことを証明していますが、4 つの好みすべてが単峰になる他の順序が存在しないことを証明しているわけではありません。これを正式に証明するには、3 つの結果のセット {A、D、E} を検討します。これらの結果はそれぞれ、あるエージェントの最悪の結果です。A は赤のエージェントにとって最悪、D は青のエージェントにとって最悪、E は上記の緑のエージェントにとって最悪です。したがって、X の順序付けによって好みのセットが単峰になることはありません。

緑の選好は、最も好まれる結果が「B」と「C」の 2 つであるため、正式には単峰型ではありません。このような選好は、単峰型と呼ばれることもあります。

単一ピークの好みには、さまざまなアプリケーションに対するさまざまな解釈があります。

イデオロギー的嗜好の簡単な応用は、結果空間を通り上の位置として考え、それぞれを個人の住所と考えることです。通りにはバス停が 1 つしかなく、すべての個人はバス停までできるだけ歩かないようにしたいとします。この場合、個人は単一ピークの嗜好を持ちます。つまり、個人の理想点は であり、西に遠ければ遠いほど、または東に遠ければ遠いほど、他の位置を嫌います。 ${\displaystyle \{x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n}\}}$${\displaystyle x_{i}}$${\displaystyle i}$${\displaystyle x_{i}}$

結果空間は、イデオロギー スペクトル内のさまざまな政策として考えることもできます。左派の政策と右派の政策、よりリベラルな政策とより保守的な政策、自由市場を支持する政策と国家介入を支持する政策などです。有権者は、イデオロギー スペクトルの 2 つの方向の間で理想的なバランスが取れている場合、単峰性の好みを持ち、政策を嫌うほど、理想的な点から遠ざかります。

次のような線に沿って結果を順序付けることができる場合、 エージェントのグループは一連の可能な結果に対して単層選好を持っていると言われます。

1. 各エージェントはセット内で「最悪の結果」を持ち、
2. 各エージェントにとって、最悪の結果から遠い結果がより好まれます。

ラッカーとピーターズ^[4]は、円上に単一のピークを持つ選好のクラスを研究した。

単峰性認識問題とは、一連の結果に対する一連の好みが与えられた場合に、好みが単峰性である結果に共通の順序があるかどうかを判定するという決定問題です。通常、この共通の順序が存在する場合は、それを見つけることも必要です。

Trick ^[5]は、木上で単一ピークの嗜好を認識するための多項式時間アルゴリズムを提示している。

エスコフィエ、スパンジャード、ティドリコバ^[6]は、一般的なグラフ上で単一のピークを持つ嗜好を認識する問題を研究している。

• 単一パラメータメカニズム
• 星型の好み- 単一ピークの好みを多次元領域に拡張したもの。