最高中央値投票ルール

最高中央値投票ルールは、最も高い中央値評価を持つ候補者が選出される段階的投票ルールのクラスです。

さまざまな最高中央値ルールは、同点の扱い、つまり同じ中央値評価を持つ候補者をランク付けする方法が異なります。

最高中央値ルールの支持者は、それが投票者の意見を最も忠実に反映していると主張している。彼らは、他の基数投票ルールと同様に、最高中央値はアローの不可能定理の対象ではないと指摘している。

しかし、批評家は、最高中央値ルールは参加とアルキメデスの性質に違反していると指摘しています。最高中央値ルールでは、ほぼ全会一致で他のすべての候補者よりも好まれる候補者を選出できない可能性があります。

スコア投票と同様に、投票者は共通の尺度に沿って候補者を評価します。例:

選挙人は複数の候補者に同じ評価を与えることができる。評価されなかった候補者には自動的に「悪い」という評価が与えられる。^[1]

次に、各候補者について、各評価を付けた有権者の割合を計算します。例:

これは、合計が投票数の 100% に相当する累積ヒストグラムの形式でグラフ表示されます。

次に、各候補者について、多数派（または中央値）の評価（ここでは太字で表示）を決定します。このルールは、投票者の絶対多数（50% 以上）が、候補者は少なくとも多数派の評価に値すると判断し、選挙人の半数以上（50% 以上）が、候補者は最大でも多数派の評価に値すると判断したことを意味します。したがって、多数派の評価は中央値のように見えます。

最高中央値スコアを持つ候補者が 1 人だけの場合は、その候補者が選出されます。そうでない場合は、最高中央値ルールに従って、最高中央値スコアを持つ候補者の中から選択するタイブレーク手順を実行する必要があります。

異なる候補者が同じ中央評価を共有している場合、補間に類似した同点判定ルールが必要です。離散評価スケールの場合、中央値はデータの変化には影響されませんが、スケールの選択に非常に影響されます (評価間に大きな「ギャップ」があるため)。

ほとんどの同点決着ルールでは、賛成派（中央値以上の成績）と反対派（中央値以下の成績）の相対的な割合を比較して同点の候補者を選びます。^[2]賛成派と反対派の割合はそれぞれとで表され、中央値の成績の割合は と表されます。 ${\displaystyle p}$${\displaystyle q}$${\displaystyle m}$

• バックリンのルールでは、候補者は反対者の数（1を引いた数）で順位付けされます。 ^[3] 反バックリン派はこれを逆にします（賛成者の割合が最も高い候補者を選びます）。
• 多数決では、中央値以外の評価に最も近い候補者を考慮し、その評価に基づいて同点の候補者を決定します。^[2]
• 典型的な判定では、賛成者の数から反対者の数を引いた数で候補者を順位付けします^[2]。${\displaystyle p-q}$
• 中心判決は、典型的な判決を賛成者と反対者の総数で割ります。
• 継続的バックリン投票または段階的多数決（GMJ）は、通常の判定とも呼ばれ、^[2] 50%の支持に達するために必要な中央値の割合によって候補者をランク付けします。
  • これは、現在のスコアと次に高いスコアの間で線形補間を使用するのと同じです。
  • 一般的な判断と比較すると、中央値が低い場合、スコアの差がより顕著になります。言い換えれば、より「極端な」候補者は、より極端な評価を受けます。

次の表の例は、6 つの同点評価を示しています。各選択肢は、上記のルールのいずれかに基づいて勝ちます。(Bucklin/anti-Bucklin 以外のすべてのスコアは、次に高いスコアと次に低いスコアの間の補間として解釈できるように、範囲内に収まるように調整されています。) ${\textstyle \left[-{\frac {1}{2}},{\frac {1}{2}}\right]}$

カーディナル投票システムでは、投票者は順位付け投票よりもはるかに多くの情報を提供することができます（十分なカテゴリがある限り）。投票者は2人の候補者のうちどちらを好むかを指定できるだけでなく、その候補者をどの程度強く好むかを表明することができます。 ^[4]投票者は候補者を評価するためのさまざまなオプションから選択できるため、微妙な品質の判断が可能になります。^{[4] [5]}

最高中央値法では、有権者に候補者を順位付けするのではなく評価するよう求めるため、アローの不可能性定理を回避し、全会一致と無関係な選択肢の独立性の両方を満たします。^[6]しかし、最高中央値は、わずかに強いほぼ全会一致の基準を満たしていません（「デメリット」を参照）。

最高中央値法は無関係な選択肢からの独立性を満たすため、同様の政治派閥に属する複数の候補者は、互いに助け合ったり傷つけたりすることなく選挙に参加できます。^[6]候補者を追加しても、以前の候補者の順位は変わりません。言い換えれば、AとBの間で選択する際にグループがAをBより高くランク付けした場合、A、B、Cの間で選択する際にそのBをAより高くランク付けすべきではありません。

最高中央値ルールが平均値ルールよりも優れている点として最もよく挙げられるのは、不正を働く動機を持つ有権者の数を最小限に抑えられることです。^[4]特に選好度の低い有権者は、候補者に非常に高いスコアや非常に低いスコアを与える動機があまりありません。一方、スコア投票システムではすべての有権者に誇張する動機があり、理論的には有権者の大部分が事実上の 承認投票を行うことになります（ほとんどの有権者は各候補者に最高または最低のスコアのみを与えます）。

最高中央値ルールは参加基準に違反します。言い換えれば、候補者は「支持者が多すぎる」ために敗北する可能性があります。

以下の例では、「+」というラベルの付いた 2 つの投票用紙を追加すると、A (最初の勝者) が B に負けることに注意してください。

スコア投票（すなわち、最高中央値の代わりに最高平均値を選択すること）は、 VNM効用定理の系として、参加基準、アルキメデスの性質、および無関係な選択肢の独立性を満たす唯一の投票システムであることが証明できます。^[7]

最高中央値ルールはアルキメデスの性質に違反します。非公式には、アルキメデスの性質は、投票者の「99.999...%」がボブよりアリスを好む場合、アリスがボブに勝つべきであることを示しています。以下に示すように、ボブがアリスより優れていると考える投票者が 1 人しかおらず、非常に多数の投票者 (最大 100%) がアリスに高い評価を与えた場合でも、アリスが選挙でボブに勝つことは可能です。

この選挙では、1 人 (おそらくボブ自身) を除くすべての投票者がアリスの方が優れた候補者であると考えているにもかかわらず、ボブは最高の中央値 (51) を獲得し、アリスに勝利しました。これは、投票者の数に関係なく当てはまります。その結果、1 人の投票者の弱い好みが、残りの有権者の強い好みを上書きする可能性があります。

候補者のアリスとボブに限定した上記の例は、正規化された投票（つまり、0～100 の範囲全体を使用するようにスケールされた投票）では最高中央値が多数決基準を満たすことができるものの、最高中央値ルールが多数決基準を満たさない例でもあります。ただし、正規化ではアルキメデスの基準を回復することはできません。

フランスの有権者を対象にした世論調査では、多数決の実施に反対する人が多数派を占めたが、スコア投票による選挙の実施には賛成する人が多数派を占めた。^{[8] [9] [より詳しい情報源が必要]}

• 基数投票システムは最高中央値方式に似ていますが、中央値以外の統計を使用して勝者を決定します。最も一般的なのは、平均値を使用するスコア投票です。
• 承認投票は、承認と不承認の2つの評価しかあり得ない退化したケースに相当します。この場合、すべての同点決着ルールは同等です。^[10]

• 枢機卿の投票
• 多数決
• バックリン投票
• 選挙制度
• 選挙制度の比較

• Baujard, Antoinette; Gavrel, Frédéric; Igersheim, Herrade; Laslier, Jean-François; Lebon, Isabelle (2017年9月). 「投票者は評価投票でグレードスケールをどのように利用するか」(PDF) . European Journal of Political Economy . 55 : 14–28. doi :10.1016/j.ejpoleco.2017.09.006. ISSN  0176-2680.

• さまざまな最高中央値ルールと範囲投票を実装するRパッケージ: HighestMedianRules