同値性（測度論）

数学、特に測度論において、同値とは、2 つの測度が質的に類似しているという概念です。具体的には、2 つの測度は、どのイベントが測度ゼロを持つかについて一致しています。

とを測定空間上の2つの測度とし、と を それぞれ-零集合と- 零集合 の集合とします。このとき、測度がに関して絶対連続であるとは、次の場合のみ言えます。これは次のように表されます。${\displaystyle \mu}$${\displaystyle \nu}$${\displaystyle (X,{\mathcal {A}}),}$$${\displaystyle {\mathcal {N}}_{\mu }:=\{A\in {\mathcal {A}}\mid \mu (A)=0\}}$$$${\displaystyle {\mathcal {N}}_{\nu }:=\{A\in {\mathcal {A}}\mid \nu (A)=0\}}$$${\displaystyle \mu}$${\displaystyle \nu}$${\displaystyle \nu}$${\displaystyle \mu}$${\displaystyle {\mathcal {N}}_{\nu }\supseteq {\mathcal {N}}_{\mu }.}$${\displaystyle \nu \ll \mu .}$

2つの測度が同等であるとは、次の式を満たす場合のみである^[1]。つまり、2つの測度が同等であるとは、次の式を満たす場合である。${\displaystyle \mu \ll \nu }$${\displaystyle \nu \ll \mu ,}$${\displaystyle \mu \sim \nu .}$${\displaystyle {\mathcal {N}}_{\mu }={\mathcal {N}}_{\nu }.}$

実数直線上の 2 つの測度を、 すべてのボレル集合について と 定義します。すると、の外側のすべての集合は と の測度が 0 になるため、 と は同値となり、の内側の集合は、ルベーグ測度に関して空集合であるときに、まさに-空集合または-空集合になります。 $${\displaystyle \mu (A)=\int _{A}\mathbf {1} _{[0,1]}(x)\mathrm {d} x}$$ $${\displaystyle \nu (A)=\int _{A}x^{2}\mathbf {1} _{[0,1]}(x)\mathrm {d} x}$$ ${\displaystyle A.}$${\displaystyle \mu}$${\displaystyle \nu}$${\displaystyle [0,1]}$${\displaystyle \mu}$${\displaystyle \nu}$${\displaystyle [0,1]}$${\displaystyle \mu}$${\displaystyle \nu}$

ある測定可能な空間を見て、を計数測度とすると、 集合 a の濃度は になります。 したがって、計数測度には空集合という 1 つのヌル集合のみが含まれます。つまり、 です。したがって、2 番目の定義により、他の任意の測度が計数測度と同等であるのは、空集合 だけが唯一の -null 集合である場合に限ります。 ${\displaystyle (X,{\mathcal {A}})}$${\displaystyle \mu}$$${\displaystyle \mu (A)=|A|,}$$${\displaystyle |A|}$${\displaystyle {\mathcal {N}}_{\mu }=\{\varnothing \}.}$${\displaystyle \nu}$${\displaystyle \nu}$

尺度は${\displaystyle \mu}$が有限であり、^[2]と同等である場合、測度の支持測度${\displaystyle \nu}$${\displaystyle \mu}$${\displaystyle \sigma}$${\displaystyle \nu}$${\displaystyle \mu .}$