普遍的に測定可能なセット

数学において、ポーランド空間の部分集合が 普遍的に測定可能であるとは、その部分集合が、 のすべてのボレル部分集合を測定する上のすべての完全確率測度に関して測定可能であることを意味する。特に、普遍的に測定可能な実数集合は、必然的にルベーグ測定可能である（以下の § 有限性条件を参照）。 ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$

すべての解析集合は普遍的に測定可能である。射影的決定性から、すべての射影集合が普遍的に測定可能であることが導かれ、射影的決定性は十分に大きい基数から導かれる。

測度が確率測度であること、つまりそれ自身の測度が 1 であるという条件は、見かけほど制約的ではありません。たとえば、実数上のルベーグ測度は確率測度ではありませんが、すべての普遍的に測定可能な集合はルベーグ測定可能です。これを確認するには、実数直線を長さ 1 の可算な区間に分割します。たとえば、N ₀ =[0,1)、N ₁ =[1,2)、N ₂ =[-1,0)、N ₃ =[2,3)、N ₄ =[-2,-1)、などです。ここで、μ をルベーグ測度とすると、新しい測度 ν を次のように定義します。 ${\displaystyle X}$

${\displaystyle \nu (A)=\sum _{i=0}^{\infty }{\frac {1}{2^{n+1}}}\mu (A\cap N_{i})}$

すると、ν は簡単に実数上の確率測度となり、集合が ν 測度可能であるのは、それがルベーグ測度である場合に限ります。より一般的には、普遍的に測度可能な集合は、すべてのボレル集合を測度するすべてのシグマ有限測度に関して測度可能でなければなりません。

がカントール空間のサブセットであるとします。つまり、 は0 と 1 の無限シーケンスの集合です。このようなシーケンスの前に 2 進小数点を置くと、シーケンスは、多少の重要でない曖昧さはあるものの、0 から 1 (両端を含む) までの実数として見ることができます。したがって、を区間 [0,1] のサブセットとして考え、そのルベーグ測度が定義されている場合はそれを評価できます。その値は、公平なコインを無限回投げたときに の 元である表と裏のシーケンスを生成する確率であるため、のコイン投げ測度と呼ばれることもあります。${\displaystyle A}$ ${\displaystyle 2^{\omega }}$${\displaystyle A}$${\displaystyle A}$${\displaystyle A}$${\displaystyle A}$

ここで、選択公理から、明確に定義されたルベーグ測度（またはコイン投げ測度）を持たない が存在することがわかります。つまり、そのような に対して、公平なコインを投げるシーケンスが になる確率は明確に定義されていません。これは の病的な特性であり、は「非常に複雑」または「行儀が悪い」 ことを示します。${\displaystyle A}$${\displaystyle A}$${\displaystyle A}$${\displaystyle A}$${\displaystyle A}$

このような集合 から、の各シーケンスに対して次の操作を実行して新しい集合を形成します。シーケンスのすべての偶数位置に 0 を散在させ、他のビットを移動してスペースを作ります。 はよりも直感的に「単純」または「動作が優れている」わけではありませんが、公平なコインを投げるシーケンスが になる確率は明確に定義されています。実際、 になるためには、コインはすべての偶数番目の投げで裏が出なければなりませんが、これは確率 0 で発生します。 ${\displaystyle A}$${\displaystyle A'}$${\displaystyle A}$${\displaystyle A'}$${\displaystyle A}$${\displaystyle A'}$${\displaystyle A'}$

しかし、は普遍的に測定可能ではありません。 それを確認するには、偶数回目の投げでは常に裏が出、奇数回目の投げでは公平である偏ったコインに対してテストすることができます。 シーケンスのセットが普遍的に測定可能であるためには、任意の偏ったコイン (以前の投げのシーケンスを「記憶」できるものでも) を使用することができ、その投げのシーケンスがセットに含まれる確率が明確に定義されている必要があります。 しかし、を前述のコイン (偶数回目の投げでは常に裏が出、奇数回目の投げでは公平であるコイン) でテストする場合、ヒットする確率は明確に定義されません (を公平なコインでテストできないのと同じ理由により)。 したがって、は普遍的に測定可能ではありません。 ${\displaystyle A'}$${\displaystyle A'}$${\displaystyle A'}$${\displaystyle A}$${\displaystyle A'}$

• アレクサンダー・ケクリス（1995）「古典的記述集合論」、Graduate Texts in Mathematics、第156巻、Springer、ISBN 0-387-94374-9
• 西浦東吾（2008）『絶対測定可能空間』ケンブリッジ大学出版局、ISBN 0-521-87556-0