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ボルダ方式、または順位制投票とは、順位に基づいて候補者に与えられるポイント数と、その候補者より下位にランク付けされた候補者の数を合計したポイント数を用いる投票方式である。最下位の候補者（投票者から最も支持されなかった候補者）には0ポイント、2番目に下位の候補者には1ポイント、といった具合にポイントが加算される。すべての投票用紙のポイントが計算され、最も多くのポイントを獲得した候補者が当選する。
ボルダ数法は、1435年にニコラウス・クザーヌスによって初めて記録された提案（下記「歴史」参照）[ 1 ] [ 2 ]から独立して何度か再発明されてきたが、 1770年にこのシステムを再考案した18世紀のフランスの数学者で海軍技師のジャン＝シャルル・ド・ボルダにちなんで名付けられた。 [ 3 ]
ボルダカウントは、その好ましい理論的特性と操作の容易さの両方で、社会選択理論においてよく知られています。戦略的投票と戦略的指名がない場合、ボルダカウントは（一貫して多数派の好みに従うのではなく）広く受け入れられる選択肢または候補者を選出する傾向があります。[ 4 ]投票と指名のパターンが完全にランダムである場合、ボルダカウントは一般的に非常に高い社会的効用効率を持ちます。[ 5 ]しかし、この方法は、類似した候補者のクラスターがある場合にスポイラー効果に対して非常に脆弱です。候補者の増加が選挙に与える影響は無制限であるため、どの政党でも十分な数のクローンを立候補させることで選挙に勝つことができます。[ 5 ] [ 6 ]等順位または切り捨て投票の一般的な実装は、有権者が戦略的である場合に極端な埋没を促す可能性があり、非常に人気のないダークホース候補者が注目を避けることで勝つことができます。[ 7 ] [ 8 ] [ 9 ]この問題は、ボルダ方式では、著しく低い優先順位によって、有権者の第一希望が選挙で落選する可能性があることから生じます。ボルダ方式では、低い優先順位は高い優先順位よりも重みが小さくなるため、この問題はバックリン方式ほど深刻ではありませんが、依然として存在します。[ 10 ]
伝統的なボルダ方式は現在、スロベニア国民議会の少数民族議員2名を選出するために使用されており[ 11 ]、修正された形でアイスランド議会選挙の政党名簿議席に選出される候補者を決定するためにも使用されている。ダウダル方式として知られる変種は、ナウル議会の議員を選出するために使用されている[ 12 ]。1970年代初頭まで、フィンランドでは別の変種が政党名簿内の個々の候補者を選出するために使用されていた。 1979年から2002年まで、この方法はキリバスの大統領選挙候補者を選出するために使用されていた[ 13 ]。また、この方法は世界中のさまざまな民間団体やコンテストでも広く使用されている。
クォータ・ボルダ方式は、比例配分型の複数当選者制度の一種である。
ボルダ方式は順位付け投票システムであり、投票者は候補者リストを好みの順にランク付けします。例えば、投票者は最も好ましい候補者に1、2番目に好ましい候補者に2、といった具合です。この点において、ボルダ方式は、即時決選投票、単記移譲式投票、コンドルセ方式などの他の順位付け投票システムと類似しています。候補者を評価するための整数値のランク付けは、大数の法則に基づく確率モデルを用いたラプラスによって正当化されました。
ボルダ方式は、順位投票方式に分類されます。つまり、すべての候補者の優先順位がカウントされますが、それぞれ異なる値が割り当てられます。もう一つの一般的な順位投票方式は、最上位の候補者にのみ1ポイントを割り当てる多数決投票です。
各候補者には、各投票用紙において、その候補者よりも支持されている候補者の数に等しい数のポイントが割り当てられる。
ボルダの1784年の原著論文では、最下位の候補者に1点、2番目に下位の候補者に2点、といった具合に点数を割り当て、n人の候補者がいる場合、投票用紙で最も上位の候補者がn点を得るようにした。[ 14 ] [ 15 ]彼は、すべての投票者がすべての候補者に順位を付けた場合、最下位の候補者に何点が割り当てられるかは関係ないと指摘した。[ 14 ]
現代の慣例では、最も低い順位の候補者には通常0点、2番目に低い順位の候補者には1点、といった具合に点数が与えられ、n人の候補者がいる場合、各候補者は第一希望に対してn -1点を受け取ります。 [ 16 ]勝者は、合計点数が最も高い候補者です。例えば、4人の候補者がいる選挙では、1枚の投票用紙で有権者が表明した希望に対して割り当てられる点数は次のようになります。
3人の有権者U、V、Wがいると仮定します。UとVは候補者をABCDの順にランク付けし、WはBCDAの順にランク付けします。
こうしてブライアンが選出された。
テネシー州の州都を決める架空の選挙に基づいた、より長い例を以下に示します。
コンドルセは選挙を推定値を組み合わせる試みと捉えた。各候補者には評価値があり、各投票者は各候補者の価値についてノイズのある推定値を持っていると仮定する。投票用紙によって、投票者は推定された評価値の順に候補者をランク付けすることができる。選挙の目的は、最良の候補者の複合的な推定値を生成することである。このような推定値は、個々の構成要素のどれよりも信頼性が高い可能性がある。[ 17 ]
ペイトン・ヤングは、ボルダカウントが最良候補者の近似最尤推定値を与えることを示した。 [ 5 ]彼の定理は、誤差が独立していることを前提としている。つまり、ある投票者が特定の候補者を高く評価した場合、その投票者が「類似した」候補者を高く評価するとは考えられないということである。この性質が欠如している場合、つまり、投票者が共通の属性を持つ候補者に相関した順位付けをした場合、最尤性の性質は失われ、ボルダカウントは指名効果に大きく左右される。つまり、投票用紙に類似した候補者がいる場合、候補者が当選する可能性が高くなる。
ボルダの集計方法は、たとえ投票者が多様な立場にいる場合でも、考慮対象とならない候補者が存在すると、特に歪みが生じやすい。コンドルセ基準を満たす投票システムは、この弱点から保護されている。なぜなら、中央値投票者定理も自動的に満たすからである。中央値投票者定理とは、他の候補者が誰であろうと、選挙の勝者は中央値投票者が好む候補者になるという定理である。
11人の有権者がいて、その立場がスペクトル上で0、1、…、10と表せると仮定し、アンドリューとブライアンという2人の候補者がいて、その立場が図示されていると仮定します。
中央値投票者のマーリーンは5位に位置し、両候補とも彼女の右側にいるため、Aが当選すると予想されます。ボルダ方式の場合、集計結果を示す表を作成することでこれを検証できます。表の主要部分は、行と列の見出しで示されるように、2番目の候補よりも1番目の候補を好む投票者を示し、右側の追加列は1番目の候補の得点を示します。
Aは確かに選出された。
しかし、ここでさらに右派の候補者が2人、選挙に立候補すると仮定してみましょう。
計数表は以下のように展開されます。
2人のダミー候補者の登場により、Bは選挙に勝利することができた。同様の例から、コンドルセ侯爵は、ボルダの集計は「判断を下す際に無関係な要素に依存している」ため「必ず誤りを招く」と主張した。[ 12 ]
投票制度にはいくつかの正式な基準があり、その結果は以下の表にまとめられています。
シミュレーションによると、戦略的投票がなく、すべての候補者に順位をつけた投票用紙がある場合、コンドルセ勝者が存在するときはボルダがコンドルセ勝者を選ぶ確率が高いことが示されている。[ 1 ] [ 12 ]
同順位の場合の処理方法については、いくつかの異なる方法が提案されている。それらは、先に述べた4人の候補者による選挙を例に説明することができる。
修正ボルダ法とトーナメントボルダ法、および同順位を認めないボルダ法は、戦術投票に対して悲惨な結果をもたらすことでよく知られており、この反応は「七面鳥選挙」と呼ばれている。[ 7 ]フランス科学アカデミー（ボルダも会員だった）はボルダのシステムを実験したが、それを放棄した。その理由の一つは、「投票者がボルダ規則を操作する方法を見つけた」からである。[ 19 ]ボルダの集計における戦略的操作の問題に対して、M. ド・ボルダは次のように述べた。[ 16 ] [ 19 ] [ 20 ]
現状を精査し、真実を精査してください。 私の計画は正直な男性のみを対象としています。
廃止されたにもかかわらず、切り捨てボルダルールは、従来のルールやトーナメント方式に比べて、戦術的投票に対する反応がかなり穏やかです。戦術的投票は、比較的穏やかな弾丸投票で構成されており、選挙は潜在的な七面鳥選挙を生み出すのではなく、多数決と正直なボルダ集計の中間のような振る舞いをするだけです。この形式のルールを使用しているスロベニアでは、有権者の約42%が第二希望をランク付けしています。[ 12 ]
ボルダ投票の実施方法によっては、有権者が投票用紙を一定の長さに切り詰める必要がある場合がある。
ボルダが考案したこの方式は、当選者が1人となる選挙での使用を想定して考案されたものだが、最も多くのポイントを獲得した候補者を当選者とすることで、当選者が複数人となる選挙でもボルダ方式を採用することが可能である。つまり、議席が2つであれば、最も多くのポイントを獲得した2人の候補者が当選し、3つの議席であれば、最も多くのポイントを獲得した3人の候補者が当選する、といった具合である。ボルダ方式の複数議席制を採用しているナウルでは、2議席または4議席の選挙区が用いられている。
クォータ・ボルダ方式は、ボルダ数を用いて複数議席選挙区における比例代表制を採用する制度です。クリス・ゲラーのSTV-B方式は、投票数のクォータを用いて候補者を選出しますが、ボルダスコアが最も低い候補者を排除します。ゲラーSTV方式では、部分的な票の移譲後にボルダスコアを再計算しないため、部分的な票の移譲は選挙における投票力には影響しますが、候補者の排除には影響しません。
ナンソン法とボールドウィン法は、ボルダスコアに基づくコンドルセ一致投票法である。どちらも、即時決選投票に類似した一連の脱落ラウンドとして実行される。ナンソン法では、平均ボルダスコア未満の候補者は各ラウンドで脱落する。ボールドウィン法では、最低スコアの候補者が脱落する。ボルダカウントとは異なり、ナンソン法とボールドウィン法は多数決コンドルセ法である。なぜなら、コンドルセ勝者は常に平均ボルダスコアより高く、コンドルセ敗者は常に平均ボルダスコアより低いからである。[ 24 ]どちらの方法も単調ではない。
ボルダカウントは、戦術的投票と戦略的指名の両方による操作を受けやすい。ダウダルシステムは、修正ボルダカウントを使用しているキリバスとダウダルシステムを使用しているナウルでの観察に基づくと、より耐性があるかもしれないが[ 13 ] 、ナウルシステムについてはこれまでほとんど研究が行われていない。
ボルダの投票方式は、他のほとんどの投票方式と比べても、戦術的投票に対して非常に脆弱です。 [ 25 ]真の好みではなく戦術的に投票する有権者は、より大きな影響力を持つことになります。さらに憂慮すべきことに、全員が戦術的に投票し始めると、結果は大きな同数となり、半ランダムに決定される傾向があります。妥協を用いる場合、有権者は、自分がさらに好まない候補者に勝つために、2番目または3番目の選択肢の候補者の順位を、1番目の選択肢の候補者よりも不誠実に上げます。埋没を用いる場合、有権者は、投票用紙上であまり好まない候補者の順位を不誠実に下げることで、より好まれる候補者を助けることができます。これらの戦略を組み合わせると、特に選挙の候補者の数が増えるにつれて、強力になります。例えば、ある有権者が最も当選の可能性が高いと考える候補者が2人いる場合、その有権者は、より好む候補者を1位に、あまり好まない候補者を最下位にランク付けすることで、この2人の有力候補間の争いに最大限の影響を与えることができる。もしどちらの有力候補も有権者の真の第一希望でも最終希望でもない場合、その有権者は妥協と埋没という2つの戦術を同時に用いていることになる。もし十分な数の有権者がこのような戦略を用いると、選挙結果はもはや有権者の真の意思を反映しないものとなるだろう。
戦術的投票がいかに強力であるかの例として、北米東海岸に住む100人のグループが旅行を計画しているとします。彼らはボルダカウントを使って、どの都市を訪れるかを投票で決めることにしました。候補はニューヨーク市、オーランド、イカルイトの3つです。48人がオーランド/ニューヨーク/イカルイトを好み、44人がニューヨーク/オーランド/イカルイトを好み、4人がイカルイト/ニューヨーク/オーランドを好み、4人がイカルイト/オーランド/ニューヨークを好みます。全員が本当の好みに投票した場合、結果は次のようになります。
ニューヨークの有権者が敗北の可能性が高いと認識し、全員が戦術的にニューヨーク／イカルイト／オーランドへの投票意向を変更し、オーランドを埋もれさせることに合意すれば、それだけで結果を自分たちに有利に変えるのに十分だ。
この例では、結果が非常に僅差だったため、ニューヨークの有権者のうち、わずか数人が投票先を変更するだけで結果が覆りました。他の全員が本来の投票先で投票していた場合、たった5人の有権者の変更で十分だったでしょう。しかし、オーランドの有権者がニューヨークの有権者が戦術投票を計画していることに気づけば、彼らもオーランド／イカルイト／ニューヨークに戦術投票することができます。ところが、ニューヨークとオーランドの有権者全員がそうすると、驚くべき新たな結果が生まれます。
戦術的な投票が行き過ぎた結果、最下位の選択肢が優勝候補となり、3つの選択肢はどれも非常に拮抗している。戦術的な投票によって、グループの真の好みは完全に覆い隠され、ほぼ同数という状況になってしまった。
ボルダ方式は、チーム編成やクローニングと呼ばれる戦略的な候補者指名に非常に脆弱です。これは、似たようなイデオロギーを持つ候補者が複数出馬すると、そのうちの1人が当選する確率が高まることを意味します。これは、上記の「無関係な選択肢の影響」の例で示されています。したがって、ボルダ方式では、派閥はできるだけ多くの候補者を擁立することが有利になります。例えば、小選挙区制であっても、政党は選挙にできるだけ多くの候補者を擁立することが有利になります。この点で、ボルダ方式は、候補者を多く擁立すると派閥が不利になる「小選挙区制」などの他の多くの単記選挙制度とは異なります。小選挙区制では、このように政党の票を「分割」すると、派閥の候補者が当選する可能性を損なうスポイラー効果が生じる可能性があります。
ナウルでは、ローランド・クン議員によると、戦略的指名が行われており、派閥は当選が見込まれない複数の「緩衝候補」を擁立し、主要な競争相手の得票数を減らしている。[ 12 ]しかし、この戦略的指名の効果は、単純な等差数列ではなく調和数列を使用することで大幅に軽減される。調和数列は無限であるため、理論的には、十分な数のクローンを指名することで、どんな候補者（どれほど不人気であっても）でも選出できる。実際には、そうするために必要なクローンの数は、ナウルの総人口を超える可能性が高い。
テネシー州で州都の所在地に関する選挙が行われるとします。人口は4つの都市に分かれており、すべての有権者は州都が自分たちの居住地からできるだけ近い場所にあることを望んでいます。選択肢は以下のとおりです。
したがって、有権者は自分の居住地に近い順に候補者を好むと想定される。100人の有権者あたりのポイント数は以下のとおりである。
したがって、ナッシュビルが選出された。
ダウダルルールに基づくと、表は次のようになる。
通常のボルダのルール通り、ナッシュビルが勝つだろう。
ボルダ方式はスロベニアの一部の政治選挙で用いられており、 2002年以前はミクロネシアのキリバス共和国でも用いられていた。ナウルでも同様の方式が採用されている。
スロベニアでは、ボルダ選挙区制は国民議会90議席のうち2議席を選出するために用いられる。1議席はイタリア系住民の選挙区を代表し、もう1議席はハンガリー系少数民族の選挙区を代表する。
ナウル議会の議員は、通常の選挙方法から2つの点で逸脱したボルダ式投票方式の変形に基づいて選出される。
キリバスでは、大統領（ベレティテンティ）は多数決制で選出されるが、（2002年以前は）ボルダ式投票の変形版を用いて、選挙に出馬する候補者を3人または4人選出していた。選挙区は議会（マネアバ）の議員で構成されていた。議会の有権者は4人の候補者のみに順位を付け、他の候補者には0点を与えた。少なくとも1991年以降、戦術投票は候補者指名プロセスの重要な特徴となっていた。
ナウル共和国は1968年にオーストラリアから独立した。独立前と独立後3年間は、オーストラリアから導入した即時決選投票方式を採用していたが、1971年以降はボルダ式投票方式の変形版が使用されている。
修正ボルダ集計法は、アイルランド緑の党が党首を選出する際に使用されている。[ 26 ] [ 27 ]
ボルダの集計方法は、北アイルランドの特定の和平会議において非政府的な目的で使用されており、シン・フェイン党、アルスター統一党、UDAの政治部門のメンバーを含む参加者間の合意形成を支援するために用いられてきた。
ボルダ集計法は、米国の一部の教育機関で選挙に用いられている。
ボルダ式投票方式は、一部の専門団体や技術団体が選挙で採用している。
OpenGLアーキテクチャレビュー委員会は、機能選択方法の一つとしてボルダカウントを採用している。
ボルダ・カウントは、トーストマスターズ・インターナショナルが主催する世界スピーチコンテストの優勝者を決定するために用いられます。審査員は上位3名のスピーカーをランク付けし、それぞれ3点、2点、1点を与えます。ランク付けされなかった候補者は0点となります。
修正ボルダ集計法は、 AIESEC米国会員委員会の会長を選出するために使用されます。
ユーロビジョン・ソング・コンテストでは、ボルダ方式を大幅に改変した方式が採用されており、ポイントの配分も異なっている。各投票では上位10曲のみが対象となり、最有力候補には12ポイント、2位には10ポイント、残りの8曲には8～1ポイントが与えられる。明確な勝者を有利にする設計ではあるものの、非常に接戦となる場合や同点となる場合もある。
ボルダカウントは、オーストラリアブドウ栽培・醸造学会によるワインのトロフィー審査や、ドイツのブレーメン大学コンピューティング技術センターで開催される自律型ロボットサッカー競技会「ロボカップ」で使用されている。
フィンランド協会法では、比例代表選挙を実施するためのボルダ集計の3つの異なる修正方法が規定されている。これらの修正方法はすべて、ナウルと同様に分数を使用する。フィンランドの協会は、他の選挙方法を選択することもできる。[ 29 ]
ボルダカウントは、スポーツ賞を授与する際によく用いられる方法です。アメリカでの使用例としては以下のようなものがあります。
ボルダカウントは、情報検索における順位集計方法として提案されており、文書を複数の基準に従ってランク付けし、その結果得られた順位を組み合わせて複合順位を作成します。この方法では、順位付け基準は投票者として扱われ、集計順位はそれらの「投票」にボルダカウントを適用した結果となります。[ 31 ]
スポーツ大会では、対戦相手同士の順位付けが頻繁に行われ、各対戦では勝利に1ポイント、引き分けに0.5ポイント、敗北に0ポイントが与えられます（場合によっては2/1/0のように2倍されることもあります）。これは、2人の候補者に対する1人の投票者の各選好をスポーツの試合に例えるボルダ方式に類似しています。また、2人の候補者に対する有権者の全体的な選好をスポーツの試合に例えるコープランド方式にも類似しています。この採点システムは、19世紀半ば頃に国際チェスで採用され、1888年から1889年にかけてイングランド・フットボールリーグでも採用されました。
ボルダカウントは、少なくとも4回、独立して開発されたと考えられている。
ボルダカウントは、多数派の支持を得た選択肢よりも、より広く受け入れられる選択肢を選ぶことがあるため、合意に基づく投票システムとして説明されることがある。
前衛的な声のセルイ パー 2、セルイ プレセデンテス パー 3、および最高の名前、最高の名前、最高の数の機能を備えています。 … Il est aisé de voir que dans la question dont il s'agit, les quantités a & b peuvent être tout ce qu'on voudra[各候補者の得票数は、最下位の得票数を1倍、下から2番目の得票数を2倍、その前の得票数を3倍、といった具合に1位の得票数まで掛け合わせ、最後に候補者の数を掛け合わせることで表されます。 … It is easy to see that in the question at hand, the quantity a and b can be whatever one wants ]
が加算されます。合計ポイントが最も高い候補者が選挙の勝者として選ばれます。
a = 0 かつ b = 1 の場合、ボルダ スコアはペアワイズ比較のマトリックスから直接読み取ることができます。候補者のボルダ スコアは、ペアワイズ比較における各ライバルに対する彼女の投票の合計と同一です。
