漸近解析

数学解析において、漸近解析（漸近論とも呼ばれる）とは、変数やパラメータが大きな値、小さな値、または特定の値に近い値をとる場合に、数学的問題に対する近似的な解析解を生成する方法の開発と応用である。^{[ 1 ]}

漸近解析の一例として、関数近似があります。例えば、関数${\textstyle {\widetilde {y}}(x)=x}$関数を正確に近似する$y(x)=x+e^{-x}}$大きな正の値の場合${\textstyle x}$値（図1）。任意の必要な精度に対して、対応する範囲があります。${\textstyle x}$この精度が発生する値。この場合、相対誤差が 1% 未満の選択された精度は、${\textstyle x}$値は3.4より大きい。

素数定理は重要な漸近結果の一例である。任意の実数に対して${\textstyle x}$素数計数関数は、次のように表される。${\textstyle \operatorname {\pi } (x)}$、は、以下の素数の個数です。${\textstyle x}$. 関数、${\textstyle x/\ln(x)}$は、大きな数に対する素数計数関数を近似する。${\textstyle x}$前の例と同様に、${\textstyle x}$が大きくなるにつれて、近似関数の精度は高まり、相対誤差はますます小さくなる。この漸近的な関係は、次の表記法で表される。 $$\displaystyle \pi (x)\sim {\frac {x}{\ln(x)}}\quad (x\to \infty )}$$

漸近解析は数学の多くの分野に影響を与えます。数学者は漸近解析を使用して、関数の近似、陰関数、積分、反復関数、級数の総和、部分和、差分方程式の解、微分方程式の解、およびコンピュータアルゴリズムの特性を計算します。^{[ 2 ] [ 3 ] [ 4 ] [ 5 ]}

形式的には、関数f ( x )とg ( x )が与えられたとき、二項関係を定義します。$${\displaystyle f(x)\sim g(x)\quad ({\text{as }}x\to \infty )}$$もし、そしてその場合に限り( de  Bruijn 1981 、§1.4)$$\lim_{x\to\infty}{f(x)}{g(x)}}=1.}$$

記号~はチルダです。この関係は、xの関数の集合上の同値関係です。関数fとgは漸近的に同値であると言われます。fとgの定義域は、極限が定義されている任意の集合です。例えば、実数、複素数、正の整数などです。

極限への移行を表す他の方法にも、同じ表記法が用いられます。例えば、x → 0、x ↓ 0、| x | → 0などです。文脈から明らかな場合は、極限への移行方法を明示的に示さないこともよくあります。

上記の定義は文献では一般的ですが、xが極限値に近づくにつれてg ( x )が無限にゼロになる場合、問題が生じます。そのため、一部の著者は別の定義を使用しています。小文字の o 表記では、 f ~ gは、次の場合に 限ります。$${\displaystyle f(x)=g(x)(1+o(1)).}$$

この定義は、 g ( x )が極限値の近傍でゼロでない場合、前述の定義と同等である。 ^{[ 5 ]： §1.2}

ゼロ関数、${\textstyle f(z)=0}$、他のどの関数とも等価にはなり得ない。^{[ 6 ]}

リトルオー関係は、 次のように定義される部分順序特性を持つ。${\textstyle f(x)=o(g(x))}$そして${\textstyle g(x)=o(h(x))}$それから${\textstyle f(x)=o(h(x))}$[ ^{6 ]​}

漸近的同値性は、反射律、対称律、推移律の性質を持つ。

これらの関数が同等である場合、${\textstyle f(x)\sim g(x)\,(x\to L)}$すると、実数乗の指数関数${\textstyle r}$も同様です: ^{[ 7 ]}$${\displaystyle (f(x))^{r}\sim (g(x))^{r}\ (x\to L)}$$

これらの関数が同等である場合${\textstyle f(x)\sim g(x)\,(x\to L)}$、そしてこれらの関数は同等である${\textstyle h(x)\sim k(x)\,(x\to L)}$すると商は等しくなります: ^{[ 7 ]}$${\displaystyle {\frac {f(x)}{h(x)}}\sim {\frac {g(x)}{k(x)}}\ (x\to L)}$$ これらの性質により、漸近的に等価な関数を多くの代数式において自由に交換することが可能になる。

漸近的に等価な関数は、収束に関する要件が満たされれば、積分においても漸近的に等価なままである。漸近的に等価な関数が微分においても漸近的に等価なままであるためには、より厳しい要件がある。^{[ 8 ]}

• 階乗$${\displaystyle n!\sim {\sqrt {2\pi n}}\left({\frac {n}{e}}\right)^{n}}$$—これはスターリングの近似式です
• 分割関数
  正の整数nに対して、分割関数p ( n ) は、加数の順序を考慮しない正の整数の和として整数nを表す方法の数を示します。$${\displaystyle p(n)\sim {\frac {1}{4n{\sqrt {3}}}}e^{\pi {\sqrt {\frac {2n}{3}}}}}$$
• エアリー機能
  エアリー関数 Ai( x ) は微分方程式y ″ − xy = 0の解であり、物理学において多くの応用例があります。$${\displaystyle \operatorname {Ai} (x)\sim {\frac {e^{-{\frac {2}{3}}x^{\frac {3}{2}}}}{2{\sqrt {\pi }}x^{1/4}}}}$$
• ハンケル関数$${\displaystyle {\begin{aligned}H_{\alpha }^{(1)}(z)&\sim {\sqrt {\frac {2}{\pi z}}}e^{i\left(z-{\frac {2\pi \alpha -\pi }{4}}\right)}\\H_{\alpha }^{(2)}(z)&\sim {\sqrt {\frac {2}{\pi z}}}e^{-i\left(z-{\frac {2\pi \alpha -\pi }{4}}\right)}\end{aligned}}}$$

関数f ( x )の漸近展開は、実際には、その関数を級数で表したものであり、その級数の部分和は必ずしも収束するとは限りませんが、任意の初期部分和を取ることでfの漸近式が得られます。その考え方は、連続する項がfの成長の次数をますます正確に記述するというものです。

記号で表すと、次のようになります。${\displaystyle f\sim g_{1},}$だけでなく、${\displaystyle f-g_{1}\sim g_{2}}$そして${\displaystyle f-g_{1}-\cdots -g_{k-1}\sim g_{k}}$各固定kに対して。定義を考慮すると、${\displaystyle \sim }$記号、最後の式は${\displaystyle f-(g_{1}+\cdots +g_{k})=o(g_{k})}$小文字の o 表記では、${\displaystyle f-(g_{1}+\cdots +g_{k})}$よりずっと小さい${\displaystyle g_{k}.}$

関係${\displaystyle f-g_{1}-\cdots -g_{k-1}\sim g_{k}}$完全な意味を持つのは${\displaystyle g_{k+1}=o(g_{k})}$すべてのkに対して、つまり${\displaystyle g_{k}}$漸近スケールを形成する。その場合、一部の著者は不適切に次のように書くかもしれない。${\displaystyle f\sim g_{1}+\cdots +g_{k}}$声明を表す${\displaystyle f-(g_{1}+\cdots +g_{k})=o(g_{k}).}$ただし、これは標準的な使用法ではないので注意する必要がある。${\displaystyle \sim }$記号であり、 § 定義で与えられた定義に一致しない。

現状では、この関係は${\displaystyle g_{k}=o(g_{k-1})}$実際には、ステップkとk −1 を組み合わせることで、${\displaystyle f-g_{1}-\cdots -g_{k-2}=g_{k-1}+o(g_{k-1})}$から${\displaystyle f-g_{1}-\cdots -g_{k-2}-g_{k-1}=g_{k}+o(g_{k}),}$1つ手に入れる${\displaystyle g_{k}+o(g_{k})=o(g_{k-1}),}$つまり${\displaystyle g_{k}=o(g_{k-1}).}$

漸近展開が収束しない場合、引数の特定の値に対して、最適な近似値を与える特定の部分和が存在し、項を追加すると精度が低下します。この最適な部分和は、引数が極限値に近づくにつれて、通常はより多くの項を持つようになります。

数理統計学において、漸近分布とは、ある意味で一連の分布の「極限」分布である仮想的な分布のことです。分布とは、正の整数nに対してi = 1, …, nとなる確率変数Z _iの順序付き集合です。漸近分布では、 i は無限に変化します。つまり、nは無限大です。

漸近分布の特殊なケースとして、後続の値がゼロに近づく場合、つまりi が無限大に近づくにつれてZ _{i が}0 に近づく場合が挙げられます。「漸近分布」という言葉の中には、この特殊なケースのみを指すものもあります。

これは、独立変数が無限大に近づくにつれて定数値（漸近線）にきれいに近づく漸近関数の概念に基づいています。ここでいう「きれい」とは、任意の望ましい近さεに対して、関数が定数からε以上ずれることのない独立変数の値が存在することを意味します。

漸近線とは、曲線が近づくものの決して交わらない直線のことです。非公式には、曲線が漸近線に「無限遠で」交わると言うこともありますが、これは厳密な定義ではありません。${\displaystyle y={\frac {1}{x}},}$xが増加するにつれて、 yの値は限りなく小さくなる。

漸近解析は、いくつかの数学分野で用いられています。統計学においては、漸近理論は、尤度比統計量や逸脱度の期待値など、標本統計量の確率分布の極限近似値を提供します。しかしながら、漸近理論は標本統計量の有限標本分布を評価する方法を提供しません。非漸近的な境界は、近似理論の手法によって提供されます。

応用例は以下のとおりです。

• 応用数学において、漸近解析は方程式の解を近似するための数値解法を構築するために用いられる。
• 数理統計学および確率論において、漸近解析は、確率変数および推定量の長期的な挙動または大標本における挙動の分析に用いられる。
• コンピュータサイエンスにおいて、アルゴリズムの分析はアルゴリズムの性能を評価するものであり、ビッグオー記法で表現されます。
• 物理システムの挙動、例えば統計力学など。
• 事故分析において、特定の時間と空間における多数の衝突件数を用いたカウントモデリングによって衝突の原因を特定する場合。

漸近解析は、現実世界の現象の数学的モデリングで生じる常微分方程式や偏微分方程式を解析するための重要なツールです。 ^{[ 9 ]} 例として、流体の流れを支配する完全なナビエ・ストークス方程式から境界層方程式を導出することが挙げられます。多くの場合、漸近展開は小さなパラメータεのべき乗で表されます。境界層の場合、これは境界層の厚さと問題の典型的な長さスケールとの無次元比です。実際、数理モデリングにおける漸近解析の応用は、多くの場合、対象となる問題のスケールを考慮することで小さいと示された、または仮定された無次元パラメータを中心に展開されます。^{[ 9 ]}

漸近展開は、特定の積分の近似（ラプラス法、鞍点法、最急降下法）や確率分布の近似（エッジワース級数）において一般的に用いられます。量子場理論におけるファインマングラフも漸近展開の一例であり、しばしば収束しません。

• Balser, W. (1994), From Divergent Power Series To Analytic Functions , Springer-Verlag , ISBN 9783540485940
• de Bruijn、NG (1981)、Asymptotic Methods in Analysis、Dover Publications、ISBN 9780486642215
• Estrada, R.; Kanwal, RP (2012), A Distributional Approach to Asymptotics , Birkhäuser , ISBN 9780817681302
• ハウイソン、サム（2005）。実践応用数学：モデリング、解析、近似。ケンブリッジ大学出版局。ISBN 978-0-521-84274-7。
• ミラー、PD（2006）、『応用漸近解析』、アメリカ数学会、ISBN 9780821840788
• Murray, JD (2012).漸近解析. Springer Science & Business Media. ISBN 978-1-4612-1122-8。
• オルバー、フランク・ウィリアム・ジョン。（1974）。漸近解析と特殊関数入門。ニューヨーク：アカデミック・プレス。ISBN 0-12-525856-9。
• Paris, RB; Kaminsky, D. (2001), 『漸近解析とメリン・バーンズ積分』、ケンブリッジ大学出版局
• ポールセン、ウィリアム（2013）。漸近解析と摂動理論。CRC Press。ISBN 978-1-4665-1512-3。

• 漸近解析― IOS Press が発行する学術誌のホームページ
• 漸近分布を用いた時系列分析に関する論文