漸近論

漸近論は「応用数学システムを限界ケースで扱う技術」^[1]、また「局所化による単純さと正確さの統合に関する科学」^{[2]と定義されています。}

漸近論の分野は、通常、学校の幾何学で、曲線が無限遠で向かう直線である漸近線の紹介とともに初めて出会う。ギリシャ語の Ασύμπτωτος (asymptotos) という単語は、一致しないという意味で、近似が一致に変わることはないという点を強く強調している。これは漸近論の顕著な特徴であるが、この特性だけでは漸近論の考え方を完全に網羅するものではなく、語源的にも、この用語はまったく不十分であるように思われる。

物理学やその他の科学分野では、減衰、軌道運動、摂動運動の安定化など、漸近的な性質の問題に頻繁に遭遇します。それらの解法は、現代の応用数学、力学、物理学で広く使用されている漸近解析（摂動論）に適しています。しかし、漸近的方法は、古典数学の一部以上のものであると主張しています。K .フリードリヒスは、「漸近的記述は自然の数学的分析における便利なツールであるだけでなく、より根本的な重要性を持っています」と述べています。M .クラスカルは、上で定義した特別な用語「漸近学」を導入し、漸近学の技術を科学に変換するために蓄積された経験を形式化することを要求しました。一般的な用語は、重要なヒューリスティックな価値を持つことができます。H .ポアンカレは、エッセイ「数学の未来」 ^[3]で次のように書いています。

新しい言葉を発明するだけで、関係性を引き出すのに十分であることが多く、その言葉は創造的であろう...。マッハがよく言っていたように、適切に選択された用語によって思考の経済性がもたらされるとは、ほとんど信じがたいことである...。数学は、異なるものに同じ名前を付ける技術である...。言語が適切に選択されると、既知の対象に対して行われたすべての証明が、多くの新しい対象にすぐに適用されることに気付いて驚かされる。名前が同じになったので、用語さえも、何も変更する必要がない...。したがって、単なる事実は、時には大きな関心を持たず...より注意深い思想家が、それがもたらすつながりに気づき、それを用語で象徴するときにのみ、価値を獲得する。

さらに、「『サイバネティクス』、『アトラクター』、『カタストロフィー理論』の成功は、言葉の創造が科学的研究としてどれほど実り多いものであるかを示している」^[4]

最も一般的な方法で定式化されたほぼすべての物理理論は、数学的な観点からはかなり困難です。したがって、理論の創成期とその後の発展期の両方で、解析的な解法を可能にする最も単純な極限ケースが特に重要です。これらの極限では、通常、方程式の数は減少し、方程式の次数は減少し、非線形方程式は線形方程式に置き換えられ、初期システムはある意味で平均化されます。

これらすべての理想化は、見た目は異なっていても、検討中の現象の数学的モデルの対称性の度合いを高めます。

本質的に、複雑な問題に対する漸近的アプローチは、不十分な対称性を持つ支配システムを、可能な限り特定の対称性を持つ支配システムに近いものとして扱うことです。

与えられた問題に対する正確な解のよりよい近似値を得ようとする場合、限界ケースから逸脱する修正解の決定が、支配システムを直接調査するよりもはるかに簡単であることが極めて重要です。一見すると、このようなアプローチの可能性は、システムを決定するパラメータを狭い範囲内でのみ変更することに限定されているように見えます。しかし、さまざまな物理的問題の調査の経験から、システムのパラメータが十分に変化し、システムが対称的な限界ケースから大きく逸脱した場合、多くの場合はそれほど明白ではない対称性を持つ別の限界システムが見つかり、それにも漸近解析を適用できることがわかっています。これにより、パラメータの変化の全範囲にわたる少数の限界ケースに基づいて、システムの挙動を記述できます。このようなアプローチは、直観の最大レベルに対応し、さらなる洞察を促進し、最終的には新しい物理的概念の形成につながります。

漸近解析が異なる物理理論間の関係を確立するのに役立つことも重要です。漸近的アプローチの目的は、オブジェクトを単純化することです。この単純化は、検討中の特異点の近傍を減らすことによって達成されます。漸近展開の精度は局所化とともに高くなるのが一般的です。正確さと単純さは、一般的に相互に排他的な概念と見なされています。単純さを追求すると、正確さが犠牲になり、正確さを達成しようとすると、単純さは期待されません。ただし、局所化の下では、反対称は収束します。この矛盾は、漸近と呼ばれる統合で解決されます。言い換えると、単純さと正確さは「不確定性原理」の関係によって結び付けられ、ドメイン サイズは小さなパラメーター、つまり不確実性の尺度として機能します。

「漸近的不確定性原理」を説明しましょう。漸近列における関数の展開をとります: , → 。 ${\displaystyle f(x)}$${\displaystyle {\phi _{n}(x)}}$
${\displaystyle f(x)=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}\phi _{n}(x)}$${\displaystyle x}$${\displaystyle 0}$

級数の部分和は で表され、与えられた における近似の正確さはで推定されます。ここでは、単純さは の数によって特徴付けられ、局所性は 区間 の長さによって特徴付けられます。 ${\displaystyle S_{N}(x)}$${\displaystyle N}$${\displaystyle \Delta _{N}(x)=|f(x)-S_{N}(x)|}$${\displaystyle N}$${\displaystyle x}$

漸近展開の既知の特性に基づいて、値、、のペアワイズ相互関係を検討します。 を固定すると、展開は最初に収束します。つまり、簡潔さを犠牲にして正確さが増します。 を固定すると、正確さと区間サイズが競合し始めます。区間が小さいほど、 の指定値に簡単に到達できます。 ${\displaystyle x}$${\displaystyle N}$${\displaystyle \Delta }$${\displaystyle x}$${\displaystyle N}$${\displaystyle \Delta }$

これらの規則性を簡単な例を使って説明します。指数積分関数を考えます。
${\displaystyle \operatorname {Ei} (y)=\int _{-\infty }^{y}e^{\zeta }\zeta ^{-1}d{\zeta },y<0}$

部分積分すると、次の漸近展開が得られます→ 。
${\displaystyle \operatorname {Ei} (y)\sim e^{y}\sum _{n=1}^{\infty }(n-1)!y^{-n},\;y}$${\displaystyle -\infty}$

、と置きます。この数列の部分和と、さまざまな利回り に対する値とを計算すると、次のようになります。${\displaystyle f(x)=-ey\operatorname {Ei} (y)}$${\displaystyle y=-x-1}$${\displaystyle \Delta _{N}(x)}$${\displaystyle f(x)}$${\displaystyle x}$

 ${\displaystyle x}$	${\displaystyle f(x)}$     ${\displaystyle \Delta _{1}}$      ${\displaystyle \Delta _{2}}$      ${\displaystyle \Delta _{3}}$      ${\displaystyle \Delta _{4}}$      ${\displaystyle \Delta _{5}}$	${\displaystyle \Delta _{6}}$      ${\displaystyle \Delta _{7}}$
 1/3 0.262 0.071 0.040 0.034 0.040 0.060 0.106 0.223
 1/5 0.171 0.029 0.011 0.006 0.004 0.0035 0.0040 0.0043
 1/7 0.127 0.016 0.005 0.002 0.001 0.0006 0.0005 0.0004

したがって、与えられた では、正確さはまず の増加とともに増加し、その後減少します (したがって漸近展開があります)。与えられた では、 の減少とともに正確さが向上することがわかります。 ${\displaystyle x}$${\displaystyle N}$${\displaystyle N}$${\displaystyle x}$

最後に、コンピュータと数値解析がこれほど高度なレベルに達した場合、漸近解析を使用する価値はあるのでしょうか？ DG Crightonが述べたように、^[5]

漸近情報のガイダンスなしで計算または実験スキームを設計することは、プロセスの重要な (固定された) 特徴と、それらの座標およびパラメータ空間における位置を特定できない可能性があるため、よく言っても無駄であり、最悪の場合危険です。さらに、すべての経験から、漸近解は、その公称有効範囲をはるかに超えて数値的に有用であり、多くの場合、少なくとも予備的な製品設計段階では直接使用できることがわかっています。これにより、多くの変数が狭い範囲に制限される最終設計段階まで正確な計算を行う必要がなくなります。

• Andrianov IV、Manevitch LI 「漸近論：アイデア、方法、およびアプリケーション」Kluwer Academic Publishers、2002年。
• Dewar RL「アシンプトトロジー - 警告の物語」、ANZIAM Journal、2002年、44、33-40。doi :10.1017/ S1446181100007884
• フリードリヒスKO「数理物理学における漸近現象」、アメリカ数学会報、1955年、61、485-504。
• Segel LA「応用数学における漸近解析の重要性」、American Mathematical Monthly、1966年、73、7-14。
• ホワイトRB 『微分方程式の漸近解析』改訂版、ロンドン：インペリアル・カレッジ・プレス、2010年。