算術フックス群

算術フックス群は、四元数代数の順序を使用して構築されたフックス群の特別なクラスです。算術群の特定のインスタンスです。算術フックス群の典型的な例はモジュラー群です。これらと、双曲面へのそれらの作用に関連する双曲面は、フックス群と双曲面の中で特に規則的な動作を示すことがよくあります。 ${\displaystyle \mathrm {PSL} _{2}(\mathbb {Z} )}$

体上の四元数代数は、4 次元の中心単純-代数です。四元数代数は、およびとなる基底を持ちます。 ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle F}$${\displaystyle 1,i,j,ij}$${\displaystyle i^{2},j^{2}\in F^{\times }}$${\displaystyle ij=-ji}$

四元数代数は、 -代数として行列代数に同型である場合に、上で分割されると言われます。 ${\displaystyle F}$${\displaystyle F}$${\displaystyle M_{2}(F)}$

が体へのの埋め込みである場合、から へのスカラーを拡張することによって得られる代数を で表します。ここで、を介してをのサブフィールドと見なします。 ${\displaystyle \sigma}$${\displaystyle F}$${\displaystyle E}$${\displaystyle A\otimes _{\sigma }E}$${\displaystyle F}$${\displaystyle E}$${\displaystyle F}$${\displaystyle E}$${\displaystyle \sigma}$

の部分群は、次の構成によって得られる場合、四元数代数から導出されるといいます。が全実数体で、 上の四元数代数が次の条件を満たすものとします。まず、 が 上で分割されるような一意の埋め込みがあり、を-代数の同型 で表します。また、他のすべての埋め込みに対して代数が分割されないことも求めます (これは、代数がハミルトン四元数に同型であることと同等です)。次に、における順序が必要です。を、既約ノルム 1 のの元の群とし、を を介して におけるその像とします。すると、 の像はの部分群となり(行列代数の既約ノルムはまさに行列式であるため)、 におけるその像であるフックス群を考えることができます。 ${\displaystyle \mathrm {PSL} _{2}(\mathbb {R} )}$${\displaystyle F}$${\displaystyle A}$${\displaystyle F}$${\displaystyle \sigma :F\hookrightarrow \mathbb {R} }$${\displaystyle A\otimes _{\sigma }\mathbb {R} }$${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle \phi :A\otimes _{\sigma }\mathbb {R} \to M_{2}(\mathbb {R} )}$${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle \tau}$${\displaystyle A\otimes _{\tau }\mathbb {R} }$${\displaystyle {\mathcal {O}}}$${\displaystyle A}$${\displaystyle {\mathcal {O}}^{1}}$${\displaystyle {\mathcal {O}}}$${\displaystyle \ガンマ}$${\displaystyle M_{2}(\mathbb {R} )}$${\displaystyle \phi}$${\displaystyle \ガンマ}$${\displaystyle \mathrm {SL} _{2}(\mathbb {R} )}$${\displaystyle \mathrm {PSL} _{2}(\mathbb {R} )}$

これらの群に関する主な事実は、それらが離散部分群であり、 上のハール測度に対して有限の共体積を持つということです。さらに、上記の構成により、代数が上で分割されない場合に限り、ココンパクト部分群が得られます。離散性は、 が 1 つの実埋め込みでのみ分割されるという事実から直接導かれる結果です。共体積の有限性は証明するのがより困難です。^[1]${\displaystyle \mathrm {PSL} _{2}(\mathbb {R} ).}$${\displaystyle A}$${\displaystyle F}$${\displaystyle A}$

算術フックス群は、四元数代数から導かれる群と通約可能な任意の部分群である。この定義から、算術フックス群は離散的であり、有限の共体積を持つ（つまり、内の格子である）ことが直ちにわかる。 ${\displaystyle \mathrm {PSL} _{2}(\mathbb {R} )}$${\displaystyle \mathrm {PSL} _{2}(\mathbb {R} )}$

算術フックス群の最も単純な例は、上記の構成によって得られるモジュラー群です。 およびでアイヒラー順序を取ると、の有限指数の の部分群が得られ、 は次のように明示的に記述できます。 ${\displaystyle \mathrm {PSL} _{2}(\mathbb {Z} ),}$${\displaystyle A=M_{2}(\mathbb {Q} )}$${\displaystyle {\mathcal {O}}=M_{2}(\mathbb {Z} ).}$${\displaystyle A}$${\displaystyle \Gamma _{0}(N)}$${\displaystyle N\geqslant 2}$${\displaystyle \mathrm {PSL} _{2}(\mathbb {Z} )}$

${\displaystyle \Gamma_{0}(N)=\left\{{\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}\in \mathrm {PSL} _{2}(\mathbb {Z} ):c=0{\pmod {N}}\right\}.}$

もちろん、そのような部分群の算術性は、それらが算術群において有限指数であるという事実から生じます 。それらは、有限指数部分群のより一般的なクラスである合同部分群に属します。 ${\displaystyle \mathrm {PSL} _{2}(\mathbb {Z} )}$

上は分割されないが上は分割される四元数代数の任意の順序は、ココンパクト算術フックス群をもたらす。そのような代数は豊富に存在する。^[2]${\displaystyle \mathbb {Q} }$${\displaystyle \mathbb {Q} }$${\displaystyle \mathbb {R} }$

より一般的には、 ではない四元数代数（上記の条件を満たす）のすべての順序は、ココンパクト部分群を生成します。特に興味深いさらなる例は、 をフルヴィッツ四元数と見なすことによって得られます。 ${\displaystyle M_{2}(\mathbb {Q} )}$${\displaystyle A}$

自然な疑問は、算術フックス群のうち、より大きな離散部分群に厳密に含まれないものを特定することです。これらは最大クライン群と呼ばれ、与えられた算術通約クラスで完全な分類を与えることが可能です。マーギュリスの定理は、 の格子が算術的であるためには、それが無限に多くの最大クライン群と通約可能である必要があることを意味していることに注意してください。 ${\displaystyle \mathrm {PSL} _{2}(\mathbb {C} )}$

の主合同部分群は次の形式の部分群である: ${\displaystyle \Gamma =\mathrm {SL} _{2}(\mathbb {Z} )}$

${\displaystyle \Gamma (N)=\left\{{\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}\in \mathrm {PSL} _{2}(\mathbb {Z} ):a,d=1{\pmod {N}},\,b,c=0{\pmod {N}}\right\}}$

いくつかの に対してこれらは有限指数正規部分群であり、その商は有限群 と同型です。の合同部分群は、定義により主合同部分群 (これらは、整数を法として特定の合同性を満たす行列をとることによって定義される群であるため、この名前が付けられています) を含む部分群です。 ${\displaystyle N\geqslant 1.}$${\displaystyle \Gamma /\Gamma (N)}$${\displaystyle \mathrm {SL} _{2}(\mathbb {Z} /N\mathbb {Z} ).}$${\displaystyle \ガンマ}$${\displaystyle \ガンマ}$

注目すべきことに、 の有限指数部分群のすべてが合同部分群であるわけではない。これを見る良い方法は、 には任意の に対して交代群に全射する部分群があり、 が大きい に対して群は任意の に対しての部分群ではないため、これらの部分群は合同部分群にはなり得ないことを観察することである。実際、 には合同部分群よりも非合同部分群の方がはるかに多くあることもわかる。^[3]${\displaystyle \mathrm {SL} _{2}(\mathbb {Z} )}$${\displaystyle \mathrm {SL} _{2}(\mathbb {Z} )}$ ${\displaystyle A_{n}}$${\displaystyle n,}$${\displaystyle n}$${\displaystyle A_{n}}$${\displaystyle \mathrm {SL} _{2}(\mathbb {Z} /N\mathbb {Z} )}$${\displaystyle N}$${\displaystyle \mathrm {SL} _{2}(\mathbb {Z} )}$

合同部分群の概念は、ココンパクト算術フックス群に一般化され、上記の結果はこの一般的な設定でも成立します。

と直交群の連結成分の間には同型性があり、これは前者のトレースゼロの行列空間への共役による作用によって与えられ、その上で行列式は符号 (2,1) の実二次空間の構造を誘導する。後者の群では、数体上で定義された二次形式に関連付けられた直交群の積分点を取ることによって算術フックス群を直接構成できる (そして特定の条件を満たす)。 ${\displaystyle \mathrm {PSL} _{2}(\mathbb {R} )}$ ${\displaystyle \mathrm {SO} (2,1)}$

この対応において、モジュラー群は、通約性まで群^{[4]に関連付けられる。}${\displaystyle \mathrm {SO} (2,1)(\mathbb {Z} ).}$

上記の構成は、 の部分群を取得するために適用できます。が全実であり、ちょうど 1 つの実埋め込みで分割されることを要求する代わりに、 が複素共役までのちょうど 1 つの複素埋め込みを持つことを要求します。複素共役では が自動的に分割され、どの埋め込みでも分割されません。この構成によって取得される部分群と通約可能な の部分群は、算術クライン群と呼ばれます。フックスの場合と同様に、算術クライン群は有限共役体積の離散部分群です。 ${\displaystyle \mathrm {PSL} _{2}(\mathbb {C} )}$${\displaystyle F}$${\displaystyle A}$${\displaystyle F}$${\displaystyle A}$${\displaystyle A}$${\displaystyle F\hookrightarrow \mathbb {R} }$${\displaystyle \mathrm {PSL} _{2}(\mathbb {C} )}$

フックス群の不変トレース体（または、基本群のモノドロミー像を介した双曲面の不変トレース体）は、その元の平方のトレースによって生成される体です。基本群が数体上の四元数代数から導出されるフックス群と通約可能な算術曲面の場合、不変トレース体は に等しくなります。 ${\displaystyle F}$${\displaystyle F}$

実際、算術多様体はその基本群の元の痕跡を通して特徴づけることができ、これは竹内の基準として知られている。^[5]フックス群は、次の3つの条件が満たされる場合にのみ算術群である。

• その不変トレース体は完全な実数体です。${\displaystyle F}$
• その要素のトレースは代数的整数です。
• 群内の任意の に対して となる埋め込みが存在し、他の任意の埋め込みに対して となります。${\displaystyle \sigma :F\to \mathbb {R} }$${\displaystyle \gamma}$${\displaystyle t=\mathrm {トレース} (\gamma ^{2})}$${\displaystyle \sigma \neq \sigma ':F\to \mathbb {R} }$${\displaystyle |\sigma '(t)|\leqslant 2}$

リー群は、双曲平面の正の等長変換の群です。したがって、がの離散部分群である場合、 は に正しく不連続に作用します。さらにがねじれなしである場合、作用は自由であり、商空間は双曲計量(断面曲率が一定 −1 のリーマン計量)を持つ曲面(2 次元多様体)です。が算術フックス群である場合、そのような曲面は算術双曲面と呼ばれます(算術幾何学の算術曲面と混同しないでください。ただし、文脈が明らかな場合は「双曲」指定子を省略できます)。算術フックス群は有限の共体積であるため、算術双曲面は常に有限のリーマン体積を持ちます (つまり、体積形式の上の積分は有限です)。 ${\displaystyle \mathrm {PSL} _{2}(\mathbb {R} )}$${\displaystyle \mathbb {H} ^{2}}$${\displaystyle \Gamma }$${\displaystyle \mathrm {PSL} _{2}(\mathbb {R} )}$${\displaystyle \Gamma }$${\displaystyle \mathbb {H} ^{2}}$${\displaystyle \Gamma }$${\displaystyle \Gamma \setminus \mathbb {H} ^{2}}$${\displaystyle \Gamma }$${\displaystyle S}$${\displaystyle S}$

区別された算術曲面の体積は、それが構築された算術データから公式を与えることが可能である。 を体 上の判別式の四元数代数の最大次数とし、 をその次数、を判別式、をデデキントゼータ関数とする。を上記の手順で得られた算術群およびオービフォールドとする。その体積は公式^{[6]で計算される。}${\displaystyle {\mathcal {O}}}$${\displaystyle A}$ ${\displaystyle D_{A}}$${\displaystyle F}$${\displaystyle r=[F:\mathbb {Q} ]}$${\displaystyle D_{F}}$${\displaystyle \zeta _{F}}$${\displaystyle \Gamma _{\mathcal {O}}}$${\displaystyle {\mathcal {O}}}$${\displaystyle S}$ ${\displaystyle \Gamma _{\mathcal {O}}\setminus \mathbb {H} ^{2}}$

${\displaystyle \operatorname {vol} (S)={\frac {2|D_{F}|^{\frac {3}{2}}\cdot \zeta _{F}(2)}{(2\pi )^{2r-2}}}\cdot \prod _{{\mathfrak {p}}\mid D_{A}}(N({\mathfrak {p}})-1);}$

積はの素イデアルにわたって取られ、 はイデアル上のノルム関数、すなわち有限環 の濃度であることを思い出してください。読者は、この式の出力が、モジュラー曲面の双曲的体積が に等しいというよく知られた結果を回復するかどうかを確認できます。 ${\displaystyle O_{F}}$${\displaystyle (D_{A})}$${\displaystyle N(\cdot )}$${\displaystyle N({\mathfrak {p}})}$${\displaystyle O_{F}/{\mathfrak {p}}}$${\displaystyle {\mathcal {O}}=M_{2}(\mathbb {Z} )}$${\displaystyle \pi /3}$

この式は、最大部分群の記述と数体の有限性の結果と組み合わせることで、次の命題を証明することができます。

任意の が与えられた場合、体積が より小さい算術曲面は有限個しか存在しません。${\displaystyle V>0}$${\displaystyle V}$

4次元以上では、ワンの有限性定理（局所剛性の帰結）は、「算術」を「有限体積」に置き換えてもこの記述が真であることを主張していることに注意してください。ある体積の算術多様体の数の漸近的等価物は、ベロリペツキー、ゲランダー、ルボツキー、モーゼスによって与えられました。^[7]

最小体積の双曲オービフォールドは、特定の順序、フルヴィッツ四元数順序に関連付けられた面として取得でき、体積 のコンパクトです。 ${\displaystyle \pi /21}$

リーマン多様体上の閉測地線は、測地線でもある閉曲線である。算術曲面または三次元多様体におけるそのような曲線の集合を効果的に記述することができる。それらは、基本体の特定の二次拡大における特定の単位に対応する（記述は長くなるため、ここではすべては示さない）。たとえば、モジュラー曲面における原始閉測地線の長さは、実二次体におけるノルム 1 の単位の絶対値に対応する。この記述は、実二次体の類群の平均順序に関するガウスの予想を確立するためにサルナックによって使用された。^[8]

^{算術曲面は[9]、}任意の種数に対して（最適、定数まで）シストリック不等式を満たす曲面の族を構築するために使用できる。${\displaystyle g}$${\displaystyle g}$

${\displaystyle \operatorname {sys} (S)\geqslant {\frac {4}{3}}\log g.}$

が双曲面である場合、 上の滑らかな関数上には特別な作用素 が存在します。がコンパクトな場合、上の平方可積分関数のヒルベルト空間上の非有界で本質的に自己随伴な作用素 に拡張されます。 リーマン幾何学のスペクトル定理によれば、に対しては固有関数の正規直交基底が存在するとされています。 関連する固有値は非有界であり、その漸近的挙動はワイルの法則によって決まります。 ${\displaystyle S}$${\displaystyle \Delta }$${\displaystyle S}$${\displaystyle S}$${\displaystyle L^{2}(S)}$${\displaystyle S}$ ${\displaystyle \phi _{0},\phi _{1},\ldots ,\phi _{n},\ldots }$${\displaystyle \Delta }$ ${\displaystyle \lambda _{0}=0<\lambda _{1}\leqslant \lambda _{2}\leqslant \cdots }$

が算術的である場合、これらの固有関数は、マース形式と呼ばれるの特殊なタイプの保型形式です。 の固有値は、の分布と節点集合と同様に、数論学者にとって興味深いものです。 ${\displaystyle S=\Gamma \setminus \mathbb {H} ^{2}}$${\displaystyle \Gamma }$${\displaystyle \Delta }$${\displaystyle \phi _{n}}$

が有限体積の場合はより複雑ですが、カスプ形式の概念を介して同様の理論を確立できます。 ${\displaystyle S}$

表面のスペクトルギャップは、定義により、最小の固有値と 2 番目に小さい固有値の間のギャップです。したがって、その値は に等しく、次のように表記します。一般に、スペクトルギャップは任意に小さくすることができます (Randol を参照) (ただし、固定体積の表面では、下限は正になります)。セルバーグ予想は、算術的なケースで予想上の一様下限を提供する次のステートメントです。 ${\displaystyle S}$${\displaystyle \lambda _{0}=0}$${\displaystyle \lambda _{1}>0}$${\displaystyle \lambda _{1}}$${\displaystyle \lambda _{1}(S).}$

が四元数代数から導かれる格子であり、の捩れのない合同部分群である場合、に対して次式が成り立つ。${\displaystyle \Gamma \subset \mathrm {PSL} _{2}(\mathbb {R} )}$${\displaystyle \Gamma '}$${\displaystyle \Gamma ,}$${\displaystyle S=\Gamma '\setminus \mathbb {H} ^{2}}$ ${\displaystyle \lambda _{1}(S)\geqslant {\tfrac {1}{4}}.}$

この命題は算術曲面のサブクラスに対してのみ有効であり、四元数代数から導かれる格子の有限指数の一般サブグループに対しては偽であることがわかることに注意されたい。セルバーグの元の命題^[10]はモジュラー曲面の合同被覆に対してのみなされたものであり、いくつかの小グループに対して検証されている。^[11]セルバーグ自身が下限を証明しており、これは「セルバーグの 1/16 定理」として知られる結果である。完全な一般性を持つ最もよく知られた結果は、Luo-Rudnick-Sarnak によるものである。^[12]${\displaystyle \lambda _{1}\geqslant {\tfrac {1}{16}},}$

スペクトルギャップの均一性は、シュライアーグラフのような拡張グラフの構築に影響を及ぼします^[13]${\displaystyle \mathrm {SL} _{2}(\mathbb {Z} ).}$

セルバーグのトレース公式は、有限体積の双曲面の場合、長さスペクトル（ 上の重複度を持つすべての閉じた測地線の長さの集合）と のスペクトルを知ることが同等であることを示しています。ただし、正確な関係は明示的ではありません。 ${\displaystyle S}$${\displaystyle \Delta }$

スペクトルと幾何学の間の別の関係は、チーガーの不等式によって与えられます。これは、表面の場合、のスペクトルギャップの正の下限が、 2 つの連結成分に分離する滑らかな閉曲線の集合の合計長さの正の下限に変換されることを大まかに述べています。 ${\displaystyle S}$${\displaystyle S}$${\displaystyle S}$

Shnirelman、Colin de Verdière、Zelditch の量子エルゴード性定理は、平均すると、固有関数は 上で均等に分布すると述べている。Rudnick と Sarnak の唯一の量子エルゴード性予想は、個々の固有関数が均等に分布するというより強い主張が正しいかどうかを問うものである。正式には、主張は以下のとおりである。 ${\displaystyle S}$

を算術曲面とし、をその 上の関数の列とし、${\displaystyle S}$${\displaystyle \phi _{j}}$${\displaystyle S}$

${\displaystyle \Delta \phi _{j}=\lambda _{j}\phi _{j},\qquad \int _{S}\phi _{j}(x)^{2}\,dx=1.}$

すると、任意の滑らかでコンパクトに支えられた関数に対して、${\displaystyle \psi }$${\displaystyle S}$

${\displaystyle \lim _{j\to \infty }\left(\int _{S}\psi (x)\phi _{j}(x)^{2}\,dx\right)=\int _{S}\psi (x)\,dx.}$

この予想は、 がコンパクトで が上のヘッケ作用素の固有関数である場合に、E. リンデンシュトラウス^[14]によって証明されました。モジュラーの合同被覆の場合は、いくつかの追加の困難が生じますが、これは K. サウンダララジャン^[15]によって扱われました。${\displaystyle S}$${\displaystyle \phi _{j}}$${\displaystyle S}$

算術曲面の場合、算術データによってラプラス演算子のスペクトルが決定されるという事実は、 MFヴィニェラス^[16]によって指摘され、彼女はこれを用いて等スペクトルコンパクト双曲面の例を構築した。正確な記述は次の通りである。 ${\displaystyle \Delta }$

が四元数代数であり、が の最大位数であり、関連するフックス群が捩れなしである場合、双曲面は同じラプラススペクトルを持ちます。${\displaystyle A}$${\displaystyle {\mathcal {O}}_{1},{\mathcal {O}}_{2}}$${\displaystyle A}$${\displaystyle \Gamma _{1},\Gamma _{2}}$${\displaystyle S_{i}=\Gamma _{i}\setminus \mathbb {H} ^{2}}$

次に、ヴィニェラスは、上記の条件を満たし、加えてがの元によって に共役にならないような明示的なインスタンスを構築しました。その結果得られる等スペクトル双曲面は等長ではありません。 ${\displaystyle A,{\mathcal {O}}_{1},{\mathcal {O}}_{2}}$${\displaystyle {\mathcal {O}}_{2}}$${\displaystyle A}$${\displaystyle {\mathcal {O}}_{1}}$

• カトク、スヴェトラーナ (1992)。フクシアン グループ。大学シカゴプレスの。