表現のトレースフィールド

数学において、線型群のトレース体とは、その元のトレースによって生成される体である。トレース体は主にクライン群とフックス群について研究されるが、関連する対象はリー群の格子理論で、しばしば定義体という名前で使われる。

フックス群は の離散部分群です。 の元のトレースは符号を除いて明確に定義され（ の任意の逆像のトレースをとることによって）、のトレース体はのすべての元のトレースによって上に生成される体です（たとえば Maclachlan & Reid (2003) を参照）。 ${\displaystyle \mathrm {PSL} _{2}(\mathbb {R} )}$${\displaystyle \mathrm {PSL} _{2}(\mathbb {R} )}$${\displaystyle \mathrm {SL} _{2}(\mathbb {R} )}$${\displaystyle \ガンマ}$${\displaystyle \mathbb {Q} }$${\displaystyle \ガンマ}$

不変トレース体は（の有限指数部分群）の元のすべての平方によって生成される部分群のトレース体に等しい。^[1]${\displaystyle \Gamma ^{(2)}}$${\displaystyle \ガンマ}$${\displaystyle \ガンマ}$

フックス群の不変トレース体は、通約可能群の採択に対して安定である。トレース体の場合はそうではない。^[2]特にトレース体は一般に不変トレース体とは異なる。

をフックス群とそのトレース体とする。を の元の原像によって生成される行列代数の -部分代数とする。このとき代数は可能な限り単純であり、より正確には次のようになる。^[3]${\displaystyle \ガンマ}$${\displaystyle k}$${\displaystyle A}$${\displaystyle k}$${\displaystyle M_{2}(\mathbb {R} )}$${\displaystyle \ガンマ}$${\displaystyle A}$

が第 1 型または第 2 型の場合、 は上の四元数代数です。${\displaystyle \ガンマ}$${\displaystyle A}$${\displaystyle k}$

代数は の四元数代数と呼ばれます。 の四元数代数はの不変四元数代数と呼ばれ、 と表記されます。トレース体に関しては、前者は同じ通約性類のすべてのグループに対して同じではありませんが、後者は同じです。 ${\displaystyle A}$${\displaystyle \ガンマ}$${\displaystyle \Gamma ^{(2)}}$${\displaystyle \ガンマ}$${\displaystyle A\Gamma }$

が算術フックス群である場合、およびは数体と四元数代数であり、それらから に通約可能な群を導くことができる。^[4]${\displaystyle \ガンマ}$${\displaystyle k\Gamma }$${\displaystyle A\Gamma }$${\displaystyle \ガンマ}$

クライン群（の離散部分群）の理論はフックス群の理論とほぼ同様である。^[5]一つの大きな違いは有限共体積の群のトレース体は常に数体であるということである。^[6]${\displaystyle \mathrm {PSL} _{2}(\mathbb {C} )}$

一般リー群の部分群（必ずしも行列群として定義されるわけではない）を考える場合、群の線型表現を使用して要素のトレースをとる必要がある。最も自然なのは随伴表現である。応用上、自然な低次元線型表現を持つ群（特殊線型群 など）であっても、随伴表現を使用してトレース場を常に定義する方がよいことが判明している。したがって、次の定義が得られる。これはもともとアーネスト・ヴィンバーグ^[7]によるもので、彼は「定義体」という用語を使用した。^[8]${\displaystyle \mathrm {SL} _{n}(\mathbb {R} )}$

をリー群、 を部分群とします。を の随伴表現とします。 のトレース体は次の体です。${\displaystyle G}$${\displaystyle \Gamma \subset G}$${\displaystyle \rho}$${\displaystyle G}$${\displaystyle \ガンマ}$

${\displaystyle k\Gamma =\mathbb {Q} (\{\operatorname {trace} (\rho (\gamma )):\gamma \in \Gamma \}).}$

の 2 つのザリスキ稠密な部分群が通約可能である場合、それらはこの意味で同じトレース フィールドを持ちます。 ${\displaystyle G}$

を半単純リー群、を格子とします。さらに、 が既約で に局所同型でないか、に に局所同型の因子が存在しないとします。すると、局所剛性により次の結果が導かれます。 ${\displaystyle G}$${\displaystyle \Gamma \subset G}$${\displaystyle \ガンマ}$${\displaystyle G}$${\displaystyle \mathrm {SL} _{2}(\mathbb {R} )}$${\displaystyle \ガンマ}$${\displaystyle \mathrm {SL} _{2}(\mathbb {R} )}$

フィールドは数値フィールドです。${\displaystyle k\Gamma }$

さらに、実数点群が に同型での共役に含まれるような上の代数群が 存在する。^{[7] [9]}したがって、 は、随伴表現における そのザリスキ閉包の定義体であるという意味で、の「定義体」である。${\displaystyle \mathbf {G} }$${\displaystyle k\Gamma }$ ${\displaystyle \mathbf {G} (\mathbb {R} )}$${\displaystyle \rho (G)}$${\displaystyle \rho (\Gamma )}$${\displaystyle \mathbf {G} (k\Gamma )}$${\displaystyle k\Gamma }$${\displaystyle \ガンマ}$

が算術的である場合、 によって定義される算術群と通約可能です。 ${\displaystyle \ガンマ}$${\displaystyle \mathbf {G} }$

フックス群の場合、上で定義した体はその不変トレース体に等しい。クライン群の場合、複素数上の随伴表現を使用するとそれらは同じになる。^[10]${\displaystyle k\Gamma }$

• Vinberg, Ernest (1971)。「半単純線型群の稠密部分群の定義環」。Izv . Akad. Nauk SSSR Ser. Mat. (ロシア語)。第 35 巻。pp. 45–55。MR 0279206  。
• Maclachlan, Colin; Reid, Alan (2003).双曲型3次元多様体の算術. Springer.
• マルグリス、グリゴリー (1991)。半単純リー群の離散部分群。 Ergebnisse de Mathematik および ihrer Grenzgebiete。スプリンガー・フェルラーグ。ISBN 3-540-12179-XMR  1090825 。