コカーネル

ベクトル空間f $:$ $X$ $\to$ $Y$ $の$ 線型写像の余核は、 $f$ の余域を $f$ の像で割った商空間 $Y$ $/ im($ $f$ $)$ である。余核の次元は $f$ の余階数と呼ばれる。

余核は圏論の核と双対であるため、この名前が付けられています。核は領域のサブオブジェクト(領域にマップ) であり、余核は余領域の商オブジェクト(余領域からマップ) です。

直感的に言えば、解こうとしている方程式 $f (x) = y が$ $与えられた場合、コカーネルは方程式が解を持つためにy が$ 満たさなければならない制約(解に対する障害) を測定し、カーネルは解の自由度(存在する場合) を測定します。これは、以下で直感的に詳しく説明します。

より一般的には、あるカテゴリ（例えば、群間の準同型写像やヒルベルト空間間の有界線型作用素）における射 $f : X \to Y$ のコカーネルは、オブジェクト $Q$ と射 $q$ $:$ $Y$ $\to$ $Q$ であり、その合成 $qf$ はカテゴリの零射であり、さらに $q は$ この性質に関して普遍的である。多くの場合、写像 $q$ が理解され、 $Q自体は$ $f$ のコカーネルと呼ばれる。

抽象代数の多くの状況、例えばアーベル群、ベクトル空間、加群などでは、準同型写像 $f : X \to Y$ の余核は $Y を$ $f$ の像で割った商である。ヒルベルト空間間の有界線型作用素などの位相的な設定では、通常、商を取る前に像の閉包を取らなければならない。

正式な定義

余核は、カテゴリ理論の一般的な枠組みで定義できます。定義が意味を成すためには、問題のカテゴリはゼロ射を持たなければなりません。射 $f$ $:$ $X$ $\to$ $Y$ の余核は、 $f$ とゼロ射 $0$ $XY$ $:$ $X$ $\to$ $Y$ の余等化子として定義されます。

$明示的$ には $、$ $これ$ $は次のことを$ $意味$ $します。f :$ $X \to Y$ $の$ コカーネルは、 $図$

は可換である。さらに、この図式では射 $q は$ 普遍的でなければならない。つまり、他の任意の $q' : Y \to Q' は、$ $q を$ 唯一の射 $u : Q \to Q'$ と合成することによって得られる。

すべての普遍的な構成と同様に、コカーネルは、存在する場合、一意の同型性を除いて一意です。より正確には、 $q$ $:$ $Y$ $\to$ $Q$ と $q$ $' :$ $Y$ $\to$ $Q$ $'が$ $f$ $:$ $X$ $\to$ $Y$ の 2 つのコカーネルである場合、 $q'$ $=$ $u$ $q$ となる一意の同型性 $u$ $:$ $Q$ $\to$ $Q$ $'$ が存在します。

すべての共等化子と同様に、コカーネル $q : Y \to Q$ は必然的にエピモーフィズムです。逆に、エピモーフィズムが何らかの射のコカーネルである場合、そのエピモーフィズムは正規(または共正規) と呼ばれます。カテゴリは、すべてのエピモーフィズムが正規である場合 (たとえば、グループのカテゴリは共正規です)、 共正規と呼ばれます。

例

群のカテゴリでは、群準同型 $f : G \to H$ の余核は、 $Hを$ $f$ の像の正規閉包で割った商です。アーベル群の場合、すべての部分群は正規なので、余核は $f$ の像を法とした $H$ になります。

\operatorname {coker} (f)=H/\operatorname {im} (f).

特別なケース

前加法的なカテゴリでは、射を加算したり減算したりすることは理にかなっています。そのようなカテゴリでは、2 つの射 $f$ と $gの$ 共等化子(存在する場合) は、それらの差の共核にすぎません。

\operatorname {coeq} (f,g)=\operatorname {coker} (gf).

アーベル圏（前加法圏の特殊な種類）では、射 $fの$ 像と共像は次のように与えられる。

{\begin{aligned}\operatorname {im} (f)&=\ker(\operatorname {coker} f),\\\operatorname {coim} (f)&=\operatorname {coker} (\ker f).\end{aligned}}

特に、すべてのアーベル圏は正規（および余正規）です。つまり、すべての単射 $m は$ 、何らかの射の核として記述できます。具体的には、 $m は$ 自身の余核の核です。

m=\ker(\operatorname {coker} (m))

直感

カーネルが解の空間であるのと同様に、コカーネルは、方程式が満たさなければならない制約の空間、つまり障害の空間と考えることができます。

形式的には、写像 $T : V \to W$ の核と余核を次の正確な順序で結び付けることができる。

0\to \ker T\to V{\overset {T}{\longrightarrow }}W\to \operatorname {coker} T\to 0.

これらは次のように解釈できる。線形方程式 $T (v) = w$ を解くと、

核は同次方程式 $T$ $($ $v$ $)=0$ の解の空間であり、その次元は $T$ $($ $v$ $)=$ $w$ の解が存在する場合の自由度の数である。
コカーネルは、方程式が解を持つために満たさなければならないw上の制約の空間であり、その次元は、方程式が解を持つために満たさなければならない独立した制約の数です。

コカーネルの次元と像の次元（ランク）を足すとターゲット空間の次元になります。これは、商空間 $W / T (V)$ の次元が、単に空間の次元から像の次元を引いたものであるためです。

$簡単な例として、 T$ $($ $x$ $,$ $y$ $) = (0,$ $y$ $)$ で与えられる写像 $T : R 2 \to R 2$ を考えます。方程式 $T$ $($ $x$ $,$ $y$ $) = ($ $a$ $,$ $b$ $)$ が解を持つためには、 $a$ $= 0$ (1 つの制約) でなければなりません。その場合、解空間は $($ $x$ $,$ $b$ $)$ 、または同等に、 $(0,$ $b$ $) + ($ $x$ $, 0)$ 、 (1 つの自由度) です。カーネルは、部分空間 $($ $x$ $, 0) \subseteq$ $V$ $として表現できます。x$ の値は、解における自由度です。コカーネルは、実数値写像 $W$ $: ($ $a$ $,$ $b$ $) \to ($ $a$ $)$ を介して表現できます。ベクトル $($ $a$ $,$ $b$ $)が与えられた場合、$ $a$ の値は、解が存在することに対する障害です。

さらに、コカーネルは、カーネルが単射を「検出」するのと同じように、全射を「検出」するものと考えることができます。マップが単射となるのは、そのカーネルが自明な場合のみです。また、マップが全射となるのは、そのコカーネルが自明な場合、つまり $W = im(T)$ の場合のみです。

参考文献

サンダース・マクレーン著『働く数学者のためのカテゴリー』第2版、1978年、64ページ
エミリー・リール：「文脈におけるカテゴリー理論」、Aurora Modern Math Originals、2014 年、p. 82、p. 139 脚注 8。