アーベル・ルフィニの定理

数学において、アーベル・ルフィニの定理（アーベルの不確定性定理とも呼ばれる）は、任意の係数を持つ 5次以上の一般多項式方程式には、根号による解が存在しないことを述べている。ここで「一般」とは、方程式の係数が不定値として扱われ、操作されることを意味する。

この定理は、1799年に不完全な証明を行ったパオロ・ルフィーニ^{[ 1 ]}（これは1813年に改良され完成し、コーシーによって受け入れられた^{[ 2 ]}）と、1824年に証明を提供したニールス・ヘンリック・アーベル^[³^]^[⁴^{]にちなんで名付けられました。}

この用語は、5次以上の方程式の中には根号で解けないものもあるという、やや強い結果を指す場合もある。これはアーベルの定理の記述からは導かれないが、彼の証明の系である。なぜなら、彼の証明は、方程式の係数に含まれる多項式の中には零多項式ではないものがあるという事実に基づいているからである。この改良された記述は、ガロア理論§ 解けない5次方程式の例から直接導かれる。ガロア理論はまた、

x^{5}-x-1=0

これは、根号を用いて解くことができない最も単純な方程式であり、5次以上の多項式のほとんどすべてが根号を用いて解くことができない。

5次以上の方程式を解くことが不可能であることは、それより低い次数の場合とは対照的です。2次、 3次、4次の方程式については、それぞれ2 次方程式、3次方程式、4次方程式の解の公式があります。

コンテクスト

2次多項式方程式は、古代から知られている二次方程式の解の公式を用いて解くことができる。同様に、 3次方程式の解の公式、および4次方程式の解の公式は16世紀に発見された。当時、より高次の方程式も同様の方法で解けるかどうかが根本的な問題であった。

正の次数を持つすべての多項式方程式には、非実数を含む解が存在するという事実は、17世紀に提唱されましたが、完全に証明されたのは19世紀初頭になってからのことです。これは代数学の基本定理であり、解を計算するための具体的な方法は示されていませんが、任意の精度ですべての解を近似する方法はいくつか知られています。

16世紀から19世紀初頭にかけて、代数学の主な課題は、5次以上の多項式方程式の解を求める公式を見つけることでした。これが「代数学の基本定理」と呼ばれる所以です。これは、根号による解、つまり方程式の係数と、加算、減算、乗算、除算、 n乗根の抽出といった $演算$ のみを含む式を意味していました。

アーベル・ルフィニの定理は、これが不可能であることを証明しています。しかし、この不可能性は、任意の次数の特定の方程式が根号で解けないことを意味するものではありません。それどころか、任意の次数で根号で解ける方程式が存在します。これは、次の方程式の場合です。 $x^{n}-1=0$ $任意のn$ に対して、円分多項式で定義される方程式はすべて、根号で表すことができます。

アーベルの定理の証明には、根号で解けない特定の方程式が存在するという主張は明示的に含まれていません。そのような主張は、アーベルの定理の記述の結果ではありません。なぜなら、その記述は「すべての特定の5 次方程式は、各方程式に特別な公式で解ける可能性がある」という可能性を排除していないからです。^{[ 5 ]}しかし、根号で解けない特定の方程式の存在は、アーベルの証明の結果であるように思われます。なぜなら、証明では、係数内のいくつかの多項式がゼロ多項式ではないこと、そして有限個の多項式が与えられた場合、どの多項式もゼロの値にならないような変数の値が存在するという事実を使用しているからです。

アベルが証明を発表した直後、エヴァリスト・ガロアは、任意の方程式が根号で解けるかどうかを判定できる理論（現在ではガロア理論と呼ばれている）を導入した。これは電子計算機の登場以前は純粋に理論的なものであった。現代のコンピュータとプログラムを使えば、次数が100を超える多項式でも根号で解けるかどうかを判定できる。 ^{[ 6 ]}解ける多項式の根号による解を計算するには膨大な計算量が必要となる。次数が5の場合でも、解の式は非常に大きいため、実用的な意味はない。

証拠

アーベル・ルフィニの定理の証明はガロア理論より前に存在していた。しかし、ガロア理論によってこの主題の理解が深まり、現代の証明は一般的にそれに基づいているが、アーベル・ルフィニの定理の元の証明は歴史的な目的で今でも提示されている。^{[ 1 ]}^{[ 7 ]}^{[ 8 ]}^{[ 9 ]}

ガロア理論に基づく証明は、主に次の4つのステップから構成されます。体論の観点から可解方程式を特徴づけること。与えられた体の部分体とそのガロア群の部分群との間のガロア対応を利用して、この特徴づけを可解群の観点から表現すること。次数が5以上の場合、対称群は可解ではないことを証明すること。そして、対称ガロア群を持つ多項式が存在することを証明すること。

代数的解と場の理論

多項式方程式の代数的解とは、四則演算（加算、減算、乗算、除算）と平方根の抽出を含む式である。このような式は、解くべき方程式の係数から始まり、いくつかの数値を順に計算していく過程を記述したものと考えることができる。

計算の各段階において、これまでに計算されたすべての数値を含む最小の体を考えることができる。この体は、 $n$ 乗根の計算を含む段階でのみ変更される。

したがって、代数的解法は数列を生成する。

F_{0}\subseteq F_{1}\subseteq \cdots \subseteq F_{k}

フィールドと要素 $x_{i}\in F_{i}$ そのため $F_{i}=F_{i-1}(x_{i})$ のために $i=1,\ldots ,k,$ と $x_{i}^{n_{i}}\in F_{i-1}$ ある整数に対して $n_{i}>1.$ 初期多項式方程式の代数解が存在するのは、次のようなフィールドの列が存在する場合に限る。 $F_{k}$ 解決策が含まれています。

理論の基本となる通常の拡張を持つためには、次のように体のシーケンスを洗練する必要がある。 $F_{i-1}$ すべては含まれていません $n_{i}$ 1のべき乗根、フィールドを導入する $K_{i}$ 拡張する $F_{i-1}$ 統一の原始的な根源によって、そして再定義する $F_{i}$ として $K_{i}(x_{i}).$

したがって、根号による解から始めると、最後の解を含むような増加列の体が得られ、それぞれの体は、巡回的なガロア群を持つ前の体の正規拡張となります。

逆に、そのような体列があれば、方程式は根号を用いて解くことができる。これを証明するには、巡回ガロア群を持つ正規拡大が根号拡大の連続から構築できることを証明すれば十分である。

ガロア対応

ガロア対応は、正規体拡張の部分拡張間の1対1対応を確立する。 $F/E$ そして拡大のガロア群の部分群。この対応は体 $K$ を写像し、 $E\subseteq K\subseteq F$ ガロア群へ $\operatorname {Gal} (F/K)$ $K$ を固定したままの $F$ の自己同型写像の 1 つであり、逆に、の部分群 $Hを写像する。$ $\operatorname {Gal} (F/E)$ $H$ によって固定される $F$ の要素の体へ。

前述の節で示したように、方程式が根号で解けるのは、その分解体（すべての根を含む最小の体）のガロア群が可解である場合、すなわち、ガロア群が、各部分群が前の部分群の正規部分群であり、商群が巡回群であるような部分群の列を含む場合に限る。（可解群は、巡回商群ではなくアーベル商群で定義されることが多いが、有限アーベル群の基本定理によれば、この2つの定義は同等である。）

したがって、アーベル・ルフィニの定理を証明するには、対称群が $S_{5}$ 解けないこと、そして対称ガロア群を持つ多項式が存在すること。

可解対称群

$n \geq 5$ の場合、対称群 ${\mathcal {S}}_{n}$ $n$ 次のものは交代群のみを持つ ${\mathcal {A}}_{n}$ 非自明な正規部分群として（対称群§ 正規部分群を参照）。n ≥ 5 の場合 $、交代$ 群 ${\mathcal {A}}_{n}$ は単純（つまり、非自明な正規部分群を持たない）であり、かつアーベル群ではない。これは、両方が ${\mathcal {A}}_{n}$ そして ${\mathcal {S}}_{n}$ $n$ $\geq 5$ の場合、解くことができません。したがって、アベル・ルフィニの定理は、対称ガロア群を持つ多項式の存在から導かれます。これは次のセクションで示します。

一方、 $n \leq 4$ の場合、対称群とそのすべての部分群は可解群となります。これは、ガロア理論の主要な結果の一つとして、多項式方程式が根号で解けるのは、そのガロア群が可解群である場合に限るということがあるため、二次式、三次式、四次式が存在する理由を説明しています（「可解群」という用語はこの定理に由来します）。

対称ガロア群を持つ多項式

一般式

次数 $n$ の一般多項式方程式は次の式です。

x^{n}+a_{1}x^{n-1}+\cdots +a_{n-1}x+a_{n}=0,

どこ $a_{1},\ldots ,a_{n}$ これらは異なる不定元です。これは体上で定義された方程式です。 $F=\mathbb {Q} (a_{1},\ldots ,a_{n})$ 有理分数の $a_{1},\ldots ,a_{n}$ 係数は有理数である。元のアーベル・ルフィニの定理は、 $n \geq 5$ の場合、この方程式は根号で解けないことを主張している。前の節を考慮すると、これは方程式の $F$ 上のガロア群が対称群であるという事実から生じる。 ${\mathcal {S}}_{n}$ （このガロア群は、方程式の分解体の体自己同型群であり、 $F$ の要素を固定する。ここで、分解体とは、方程式のすべての根を含む最小の体である。）

ガロア群を証明するには ${\mathcal {S}}_{n},$ 根源から始める方が簡単だ。 $x_{1},\ldots ,x_{n}$ 新しい不定元であり、根となることを目指し、多項式を考慮する

P(x)=x^{n}+b_{1}x^{n-1}+\cdots +b_{n-1}x+b_{n}=(x-x_{1})\cdots (x-x_{n}).

させて $H=\mathbb {Q} (x_{1},\ldots ,x_{n})$ 有理分数の体とする $x_{1},\ldots ,x_{n},$ そして $K=\mathbb {Q} (b_{1},\ldots ,b_{n})$ 係数によって生成される部分体とする $P(x).$ 順列 $x_{i}$ $H$ の自己同型を誘導する。ヴィエタの公式は、 $K$ のすべての要素が、 $x_{i},$ したがって、ガロア群は、これらの自己同型写像によって固定される。 $\operatorname {Gal} (H/K)$ は対称群です $\displaystyle {\mathcal {S}}_{n}.}$

対称多項式の基本定理は、 $b_{i}$ 代数的に独立しており、したがって各 $a_{i}$ 対応する $b_{i}$ $これは、 Fから$ $K$ への体同型写像である。これは、 $P(x)=0$ 一般的な方程式として。これで、一般方程式のガロア群が対称群であるという証明が完了し、したがって、 $n$ $\geq 5の場合、$ $n 次$ 一般多項式方程式は根号で解くことができないと主張する元のアーベル・ルフィニの定理が証明されます。

具体的な例

方程式 $x^{5}-x-1=0$ 後述するように、これはラジカルでは解けません。

$q$ を $x^{5}-x-1$ $G を$ そのガロア群とし、これは $q$ の複素根の集合に忠実に作用する。根に番号を付けることで、 $G を$ 対称群の部分群と同一視することができる。 $\displaystyle {\mathcal {S}}_{5}}$ 。以来 $q{\bmod {2}}$ 要因として $(x^{2}+x+1)(x^{3}+x^{2}+1)$ で $\mathbb {F} _{2}[x]$ グループ $G$ には順列が含まれています $g$ それは長さ2と3の互いに素なサイクルの積である（一般に、単整数多項式が素数を法として異なる単既約多項式の積に還元される場合、因子の次数はガロア群に属する何らかの置換における互いに素なサイクルの長さを与える）。そして、 $G$ にはさらに以下が含まれる。 $g^{3}$ これは転置です。 $q{\bmod {3}}$ 還元不可能 $\mathbb {F} _{3}[x]$ 同じ原理により、 $Gには$ 5 サイクルが含まれていることがわかります。5 は素数なので、任意の転置と 5 サイクルは $\displaystyle {\mathcal {S}}_{5}}$ 群全体を生成する。対称群§ 生成子と関係を参照。したがって $G={\mathcal {S}}_{5}$ グループが $\displaystyle {\mathcal {S}}_{5}}$ 解けない方程式 $x^{5}-x-1=0$ ラジカルでは解けない。

ケイリーの決意

特定の5次式が根号で解けるかどうかを判定するには、ケイリーのレゾルベントを使用します。これは、係数が一般的な5次式の係数に関する多項式である6次の単変数多項式です。特定の既約5次式が根号で解けるのは、その係数をケイリーのレゾルベントに代入したときに、結果として得られる6次多項式が有理根を持つ場合のみです。この有理根は、有理根定理を使用して簡単に判定できます。

歴史

1770 年頃、ジョセフ・ルイ・ラグランジュは、それまで方程式を解くために使われていたさまざまな方法を統一する基礎を築き始め、ラグランジュのレゾルベントの形で置換群の理論と関連付けました。^[¹⁰^]ラグランジュによるこの革新的な研究はガロア理論の先駆けであり、5 次以上の方程式の解を開発できなかったことは、そのような解が不可能かもしれないことを示唆していましたが、決定的な証明は提供しませんでした。5 次方程式を根号で解く問題は解けないかもしれないと最初に推測したのはカール・フリードリヒ・ガウスで、1798 年に著書『算術研究』 （1801 年に出版）の第 359節で、「この問題は現代の解析方法に反するというよりは、不可能なことを提案しているということに疑いの余地はない」と書いています。翌年、彼は論文の中で「多くの幾何学者の努力によって一般方程式を代数的に解く望みがほとんどなくなった後、この解法は不可能で矛盾している可能性がますます高まっているように思われる」と書き、さらに「おそらく、5次方程式の不可能性を厳密に証明することはそれほど難しくないだろう。この点に関する私の研究については、別の場所でより詳しく述べるつもりだ」と付け加えた。実際、ガウスはこの主題に関して他に何も発表していない。^[¹^]

この定理は、 1799 年にパオロ・ルフィーニによって初めてほぼ証明されました。^{[ 11 ]}彼は、その証明を認めてもらうために、ラグランジュ（返信なし）やオーギュスタン＝ルイ・コーシーなど、数人の数学者に証明を送りました。コーシーは彼に手紙を送り、「方程式の一般解に関するあなたの論文は、数学者が常に心に留めておくべき作品であり、私の意見では、4 次以上の一般方程式の代数的解法の不可能性を決定的に証明するものです」と述べています。^{[ 12 ]}しかし、一般的に、ルフィーニの証明は説得力があるとは考えられていませんでした。アーベルは次のように書いています。「私より前に、一般方程式の代数的解法の不可能性を証明しようとした最初の、そして私の記憶が正しければ唯一の人物は、数学者のルフィーニです。しかし、彼の論文は非常に複雑なので、彼の議論の妥当性を判断するのは非常に困難です。彼の議論は完全に満足のいくものではないように思われます。」^{[ 12 ]}^{[ 13 ]}

The proof also, as it was discovered later, was incomplete. Ruffini assumed that all radicals that he was dealing with could be expressed from the roots of the polynomial using field operations alone; in modern terms, he assumed that the radicals belonged to the splitting field of the polynomial. To see why this is really an extra assumption, consider, for instance, the polynomial $P(x)=x^{3}-15x-20$ . According to Cardano's formula, one of its roots (all of them, actually) can be expressed as the sum of a cube root of $10+5i$ with a cube root of $10-5i$ . On the other hand, since $P(-3)<0$ , $P(-2)>0$ , $P(-1)<0$ , and $P(5)>0$ , the roots $r_{1}$ , $r_{2}$ , and $r_{3}$ of $P(x)$ are all real and therefore the field $\mathbf {Q} (r_{1},r_{2},r_{3})$ is a subfield of $\mathbf {R}$ . But then the numbers $10\pm 5i$ cannot belong to $\mathbf {Q} (r_{1},r_{2},r_{3})$ . While Cauchy either did not notice Ruffini's assumption or felt that it was a minor one, most historians believe that the proof was not complete until Abel proved the theorem on natural irrationalities, which asserts that the assumption holds in the case of general polynomials.^[8]^[14] The Abel–Ruffini theorem is thus generally credited to Abel, who published a proof compressed into just six pages in 1824.^[3] (Abel adopted a very terse style to save paper and money: the proof was printed at his own expense.^[9]) A more elaborated version of the proof would be published in 1826.^[4]

Proving that the general quintic (and higher) equations were unsolvable by radicals did not completely settle the matter, because the Abel–Ruffini theorem does not provide necessary and sufficient conditions for saying precisely which quintic (and higher) equations are unsolvable by radicals. Abel was working on a complete characterization when he died in 1829.^[15]

ネイサン・ジェイコブソンによれば、「ルフィニとアベルの証明は、この研究分野の最高傑作であるガロアの方程式論の発見によってすぐに取って代わられた」^{[ 16 ]。} 1830年、ガロア（18歳）は、根号による可解性の理論に関する論文をパリ科学アカデミーに提出したが、1831年に、あまりにも概略的であり、方程式の係数ではなく根号で条件を与えているとして最終的に却下された。ガロアはルフィニとアベルの貢献を認識しており、「今日では、 $4$ 次を超える一般方程式は根号では解けないというのは周知の事実である...幾何学者がアベルとルフィニの証明を無視したにもかかわらず、この事実は（伝聞によって）周知のものとなった...」^{[ 1 ]}と記している。ガロアはその後 1832 年に亡くなり、彼の論文「根号による方程式の解の条件に関する覚書」 ^{[ 17 ]}は 1846 年にジョセフ・リウヴィルによって彼自身の説明を添えて出版されるまで未発表のままだった。^{[ 15 ]}この出版に先立ち、リウヴィルは1843年7月4日にアカデミーで行った講演でガロアの結果を発表した。^{[ 5 ]}アーベルの証明の簡略化は、1845年にピエール・ワンツェルによって出版された。 ^{[ 18 ]}ワンツェルがそれを出版したとき、彼はすでにガロアの貢献を認識しており、アーベルの証明は一般的な多項式にのみ有効であるのに対し、ガロアのアプローチは、係数から根号で表すことができない次数5の具体的な多項式を提供するために使用できると述べている。

1963年、ウラジミール・アーノルドはアベル・ルフィニの定理の位相的証明を発見し、 ^{[ 19 ]}^{[ 20 ]}これは位相的ガロア理論の出発点となった。^{[ 21 ]}

参考文献

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外部リンク

5次多項式方程式は解けないというアーベルの定理の簡単な証明（YouTube）
YouTubeで「なぜ5次方程式を解けないのか（ガロア理論アプローチ）」という動画が公開されています。

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[20] ゴールドマッカー、レオ、「アーノルドによる五次方程式の解不可能性の初等的証明（PDF）」

[21] Khovanskii, Askold (2014), Topological Galois Theory: Solvability and Unsolvability of Equations in Finite Terms , Springer Monographs in Mathematics, Springer-Verlag , doi : 10.1007/978-3-642-38871-2 , ISBN 978-3-642-38870-5

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