フレンドリーな番号

数論において、友好数とは、共通の豊富さ指数、つまりある数の約数の合計とその数自体の比を持つ2 つ以上の自然数です。同じ「豊富さ」を持つ 2 つの数は友好的なペアを形成します。同じ豊富さを持つn個の数は友好的なn組を形成します。

相互に友好的であることは同値関係であり、したがって、正の自然数を相互に友好的な数のクラブ(同値類) に分割することを誘導します。

友好的なペアの一部ではない数字は、孤立した数字と呼ばれます。

nの豊富さ指数は有理数σ( n ) / nであり、 σ は約数関数の和を表します。数nがフレンドリ数であるとは、 m ≠ n が存在し、 σ( m ) / m = σ( n ) / nであるときです。豊富さは、 σ( n ) − 2 nとして定義される存在量とは異なります。

豊富さは、 がnの約数のk乗の合計に等しい約数関数を表す場合のように表現することもできます。 ${\displaystyle \sigma _{-1}(n)}$${\displaystyle \sigma_{k}}$${\displaystyle \sigma _{k}(n)}$

1 から 5 までの数字はすべて孤立しています。最小の友好的な数字は 6 で、たとえば友好的なペア 6 と 28 は、存在率 σ(6) / 6 = (1+2+3+6) / 6 = 2 で形成され、σ(28) / 28 = (1+2+4+7+14+28) / 28 = 2 と同じです。共有値 2 は、この場合整数ですが、他の多くの場合は整数ではありません。存在率 2 の数字は完全数とも呼ばれます。友好的な数字に関連する未解決の問題がいくつかあります。

名前が似ているにもかかわらず、友好数と友好数または社交数の間には特別な関係はありません。ただし、後者 2 つの定義には除数関数も含まれています。

別の例として、30と140は同じ存在量を持っているため、30と140は友好的なペアを形成します。^[1]

${\displaystyle {\dfrac {\sigma (30)}{30}}={\dfrac {1+2+3+5+6+10+15+30}{30}}={\dfrac {72}{30}}={\dfrac {12}{5}}}$

${\displaystyle {\dfrac {\sigma (140)}{140}}={\dfrac {1+2+4+5+7+10+14+20+28+35+70+140}{140}}={\dfrac {336}{140}}={\dfrac {12}{5}}.}$

2480、6200、40640 の数字もこのクラブのメンバーであり、それぞれの豊富さは 12/5 に等しいです。

奇数が友好的である例として、135 と 819 (存在率 16/9 (不足)) を考えてみましょう。また、42、3472、56896、... ( OEISのシーケンスA347169 )、544635 (存在率 16/7) など、偶数が奇数と友好的であるケースもあります。84729645 と 155315394 (存在率 896/351)、または 6517665、14705145、2746713837618 (存在率 64/27) のように、奇数の友人が偶数の友人より少ない場合もあります。

平方数は友好的である場合があります。たとえば、693479556 (26334 の平方) と 8640 はどちらも存在数が 127/36 です (この例は Dean Hickerson によるものです)。

以下の表では、青い数字は友好的であることが証明されており ( OEISのシーケンスA074902 )、赤い数字は孤立していることが証明されており ( OEISのシーケンスA095739 )、nと nが互いに素である数字n ( OEISのシーケンスA014567 ) は孤立していることが分かっているにもかかわらず、色付けされていません。その他の数字は状態が不明で黄色です。 ${\displaystyle \sigma (n)}$

他の数がそれと親しくないために単独数クラブに属する数は孤立数です。すべての素数は孤立数であることが知られており、素数の累乗も同様です。より一般的には、数nと σ( n ) が互いに素である場合、つまりこれらの数の最大公約数が 1 であり、したがって σ( n )/ nが既約分数である場合、数nは孤立数です ( OEISのシーケンスA014567 )。素数pの場合、 σ( p ) = p + 1となり、これはpと互いに素です。

ある数が友好的か孤立的かを判断する一般的な方法は知られていない。分類が不明な最小の数は10であり、孤立的であると推測される。そうでない場合、その最小の友は少なくともである。^{[2] [3]}比較的大きな最小の友を持つ小さな数は存在する。たとえば、24は友好的であり、その最小の友は91,963,648である。^{[2] [3]}${\displaystyle 10^{30}}$

互いに友好的な数からなるクラブが無限に存在するかどうかは未解決の問題である。完全数はクラブを形成し、完全数は無限に存在すると予想されている（少なくともメルセンヌ素数と同じ数である）が、証明は知られていない。より多数のメンバーが知られているクラブが存在する。特に、その存在量が整数である複数完全数からなるクラブである。いくつかはかなり大きいことが知られているが、複数完全数のクラブ（完全数自体を除く）は有限であると予想されている。

友好的な数のすべてのペアa、b は、 gcd ( n、ab ) = 1の乗数nについてペアna、nb を考慮することにより、すべての自然数が友好的である (ただし、異なるクラブ内) という正の割合を生み出します。たとえば、「原始的な」友好的なペア 6 と 28 は、1、5、11、13、17、19、23、25、29、31、37、または 41 を法として42 となるすべてのnについて友好的なペア 6 nと 28 nを生み出します。 ^[4]

これは、友好的な数の 自然密度（存在する場合）が正であることを示しています。

アンダーソンとヒッカーソンは、密度は実際には1であるべきであると提案した（または、孤立数の密度は0であるべきであると同等である）。^[4]孤立数に関するMathWorldの記事（以下の参考文献セクションを参照）によると、この予想は解決されていないが、ポメランスはある時点でそれを反証したと考えていた。

• グライム、ジェームズ。数字 10 についてのビデオ。Numberphile。
• Weisstein、Eric W.「Friendly Number」。MathWorld。
• Weisstein、Eric W.「Friendly Pair」。MathWorld。
• Weisstein、Eric W.「孤立数」。MathWorld。
• ワイスタイン、エリック W.「豊かさ」。MathWorld。