宇宙空間

数学において、普遍空間とは、ある一定の定数によって次元が制限されるすべての距離空間を含む特定の距離空間です。位相力学にも同様の定義が存在します。

位相空間のクラスが与えられた場合、の各要素がに埋め込まれるなら、 はに対して普遍的です。メンガーは次の定理の成立を述べ、証明しました。この定理の完全な一般性は、ノーベリングによって証明されました。 ${\displaystyle \textstyle {\mathcal {C}}}$${\displaystyle \textstyle \mathbb {U} \in {\mathcal {C}}}$${\displaystyle \textstyle {\mathcal {C}}}$${\displaystyle \textstyle {\mathcal {C}}}$${\displaystyle \textstyle \mathbb {U} }$${\displaystyle \textstyle d=1}$

定理: ^[1]次元立方体は、 ルベーグ被覆次元が未満のコンパクト距離空間のクラスに対して普遍的である。 ${\displaystyle \textstyle (2d+1)}$${\displaystyle \textstyle [0,1]^{2d+1}}$${\displaystyle \textstyle d}$

ノーベリングはさらに進んで次のことを証明しました。

定理:最大でもその座標が有理数である点の集合からなるの部分空間は、ルベーグ被覆次元が 未満の可分距離空間のクラスに対して普遍的である。 ${\displaystyle \textstyle [0,1]^{2d+1}}$${\displaystyle \textstyle d}$${\displaystyle \textstyle d}$

最後の定理は、リップスコムによって重み の距離空間のクラスに一般化された。1 次元の距離空間が存在し、最大でもその座標が「有理数」 （適切に定義される）である点の集合からなるの部分空間が、ルベーグ被覆次元が 未満で重みが 未満の距離空間のクラスに対して普遍的である。^[2]${\displaystyle \textstyle \alpha }$${\displaystyle \textstyle \alpha >\aleph _{0}}$${\displaystyle \textstyle J_{\alpha }}$${\displaystyle \textstyle J_{\alpha }^{2d+1}}$${\displaystyle \textstyle d}$${\displaystyle \textstyle d}$${\displaystyle \textstyle \alpha }$

コンパクトな計量空間と同相写像からなる位相的力学系 のカテゴリを考えてみましょう。位相的力学系は、適切な空でない閉じた-不変部分集合を持たない場合、極小と呼ばれます。の場合、無限と呼ばれます。位相的力学系は、同変 である連続的な全射写像が存在する場合、つまりすべての に対して存在する場合、 の因子と呼ばれます。 ${\displaystyle \textstyle (X,T)}$${\displaystyle \textstyle X}$${\displaystyle \textstyle T:X\rightarrow X}$${\displaystyle \textstyle (X,T)}$${\displaystyle \textstyle T}$${\displaystyle \textstyle |X|=\infty }$${\displaystyle \textstyle (Y,S)}$${\displaystyle \textstyle (X,T)}$${\displaystyle \textstyle \varphi :X\rightarrow Y}$${\displaystyle \textstyle \varphi (Tx)=S\varphi (x)}$${\displaystyle \textstyle x\in X}$

上記の定義と同様に、位相動的システムのクラスが与えられた場合、 の各メンバーが同変連続写像を通じて に埋め込まれると、 はに対して普遍的になります。リンデンシュトラウスは次の定理を証明しました。 ${\displaystyle \textstyle {\mathcal {C}}}$${\displaystyle \textstyle \mathbb {U} \in {\mathcal {C}}}$${\displaystyle \textstyle {\mathcal {C}}}$${\displaystyle \textstyle {\mathcal {C}}}$${\displaystyle \textstyle \mathbb {U} }$

定理^[3] ：とする。およびがシフト同相写像である コンパクト計量位相力学系${\displaystyle \textstyle d\in \mathbb {N} }$${\displaystyle \textstyle (X,T)}$${\displaystyle \textstyle X=([0,1]^{d})^{\mathbb {Z} }}$${\displaystyle \textstyle T:X\rightarrow X}$${\displaystyle \textstyle (\ldots ,x_{-2},x_{-1},\mathbf {x_{0}} ,x_{1},x_{2},\ldots )\rightarrow (\ldots ,x_{-1},x_{0},\mathbf {x_{1}} ,x_{2},x_{3},\ldots )}$

は、平均次元が より小さく、無限の極小因子を持つ コンパクトな計量位相動的システムのクラスに対して普遍的です。${\displaystyle \textstyle {\frac {d}{36}}}$

同じ論文で、リンデンシュトラウスは、平均次元が より小さく、無限の極小因子を持つコンパクトな計量位相動的システムが に埋め込まれるような最大の定数は何かと尋ねました。上記の結果は を意味します 。この質問に対する回答は、リンデンシュトラウスと塚本^[4]が であることを示し 、ガットマンと塚本^[5]が であることを示しました 。したがって、答えは です 。 ${\displaystyle \textstyle c}$${\displaystyle \textstyle cd}$${\displaystyle \textstyle ([0,1]^{d})^{\mathbb {Z} }}$${\displaystyle \textstyle c\geq {\frac {1}{36}}}$${\displaystyle \textstyle c\leq {\frac {1}{2}}}$${\displaystyle \textstyle c\geq {\frac {1}{2}}}$${\displaystyle \textstyle c={\frac {1}{2}}}$

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