プレシェーフ（圏論）

数学の一分野である圏論では、圏の前層は関手である。が位相空間内の開集合の半集合であり、圏として解釈される場合、位相空間の前層の通常の概念が回復される。 ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle F\colon C^{\mathrm {op} }\to \mathbf {Set} }$${\displaystyle C}$

前層の射は、関数の自然な変換として定義されます。これにより、 上のすべての前層のコレクションがカテゴリになり、関数カテゴリの例になります。これは と記述されることが多く、上の前層のカテゴリと呼ばれます。 への関数は、前関数と呼ばれることもあります。 ${\displaystyle C}$${\displaystyle {\widehat {C}}=\mathbf {集合} ^{C^{\mathrm {op} }}}$${\displaystyle C}$${\displaystyle {\widehat {C}}}$

Cの何らかのオブジェクトAに対する反変hom 関数Hom(–, A )に自然に同型な前層は、表現可能前層と呼ばれます。

一部の著者は関数を-値前層と呼ぶ。^[1]${\displaystyle F\colon C^{\mathrm {op} }\to \mathbf {V} }$${\displaystyle \mathbf {V} }$

• 単体集合は、単体カテゴリ上のSet値前層です。 ${\displaystyle C=\Delta }$

• が小さいカテゴリのとき、関数カテゴリは直積閉です。${\displaystyle C}$${\displaystyle {\widehat {C}}=\mathbf {Set} ^{C^{\mathrm {op} }}}$
• が小さい に対しての対象である場合、の部分対象の半集合はHeyting 代数を形成します。${\displaystyle P}$${\displaystyle P}$${\displaystyle {\widehat {C}}=\mathbf {Set} ^{C^{\mathrm {op} }}}$${\displaystyle C}$
• の任意の射に対して、部分オブジェクトの引き戻し関手は、 と表記される右随伴関数と、左随伴関数を持ちます。これらは、普遍量化子と存在量化子です。${\displaystyle f:X\to Y}$${\displaystyle {\widehat {C}}}$${\displaystyle f^{*}:\mathrm {Sub} _{\widehat {C}}(Y)\to \mathrm {Sub} _{\widehat {C}}(X)}$${\displaystyle \forall _{f}}$${\displaystyle \exists _{f}}$
• 局所的に小さなカテゴリは、 のすべてのオブジェクトに hom 関数を関連付けるYoneda埋め込みを介して、集合値前層のカテゴリに完全に忠実に埋め込まれます。${\displaystyle C}$${\displaystyle {\widehat {C}}}$${\displaystyle A}$${\displaystyle C}$ ${\displaystyle C(-,A)}$
• このカテゴリは小さな極限と小さな余極限を許容する。^[2]詳しい議論については前層の極限と余極限を参照。${\displaystyle {\widehat {C}}}$
• 密度定理は、すべての前層は表現可能な前層の余極限であると述べています。実際、はの余極限完備化です(下記の #普遍性 を参照)。${\displaystyle {\widehat {C}}}$${\displaystyle C}$

この構成は、次の普遍的性質により、Cの余極限完備化と呼ばれます。 ${\displaystyle C\mapsto {\widehat {C}}=\mathbf {Fct} (C^{\text{op}},\mathbf {Set} )}$

証明: 前層Fが与えられ、密度定理により、 がC内のオブジェクトである場合にと書くことができます。次に、が仮定により存在するとします。 は関数型であるため、これにより関数 が決定されます。簡単に言うと、はyに沿ったの左Kan 拡大です。そのため、「米田拡大」と呼ばれます。小さな余極限との可換性を確認するために、が (ある関数への) 左随伴であることを示します。を関数として定義します。 D内の各オブジェクトMとC内の各オブジェクトUに対して、 ${\displaystyle F=\varinjlim yU_{i}}$${\displaystyle U_{i}}$${\displaystyle {\widetilde {\eta }}F=\varinjlim \eta U_{i},}$${\displaystyle \varinjlim -}$${\displaystyle {\widetilde {\eta }}:{\widehat {C}}\to D}$${\displaystyle {\widetilde {\eta }}}$${\displaystyle \eta }$${\displaystyle {\widetilde {\eta }}}$${\displaystyle {\widetilde {\eta }}}$${\displaystyle {\mathcal {H}}om(\eta ,-):D\to {\widehat {C}}}$

${\displaystyle {\mathcal {H}}om(\eta ,M)(U)=\operatorname {Hom} _{D}(\eta U,M).}$

すると、 D内の各オブジェクトMに対して、米田の補題により、次の式が得られます。 ${\displaystyle {\mathcal {H}}om(\eta ,M)(U_{i})=\operatorname {Hom} (yU_{i},{\mathcal {H}}om(\eta ,M))}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {Hom} _{D}({\widetilde {\eta }}F,M)&=\operatorname {Hom} _{D}(\varinjlim \eta U_{i},M)=\varprojlim \operatorname {Hom} _{D}(\eta U_{i},M)=\varprojlim {\mathcal {H}}om(\eta ,M)(U_{i})\\&=\operatorname {Hom} _{\widehat {C}}(F,{\mathcal {H}}om(\eta ,M)),\end{aligned}}}$

つまり、 はの左随伴関数です。${\displaystyle {\widetilde {\eta }}}$${\displaystyle {\mathcal {H}}om(\eta ,-)}$${\displaystyle \square }$

この命題はいくつかの系を生み出します。例えば、この命題は、構成が関数的であることを意味します。つまり、各関数は関数を決定します。 ${\displaystyle C\mapsto {\widehat {C}}}$${\displaystyle C\to D}$${\displaystyle {\widehat {C}}\to {\widehat {D}}}$

∞-圏C上の空間の前層は、Cから空間の ∞-圏への反変関数です(たとえば、 CW-複体の圏の神経)。^[4]これは、集合の前層の∞-圏バージョンであり、「集合」が「空間」に置き換えられています。 この概念は、とりわけ、 は完全に忠実であるという米田の補題の ∞-圏定式化で使用されます(ここで、C は単なる単体集合 である可能性があります)。^[5]${\displaystyle C\to PShv(C)}$

カテゴリCの共前層はC ^opの前層である。言い換えれば、それはCからSetへの共変関数である。^[6]

• トポス
• 要素のカテゴリ
• 単体前層（この概念は「集合」を「単体集合」に置き換えることによって得られる）
• 転送付きプレシェーブ

• nラボの Presheaf
• nラボにおける前束のカテゴリ
• nラボでの無料共同修了
• Daniel Dugger、「Sheaves and Homotopy Theory」、nlab が提供する PDF ファイル。