材料条件付き

実質条件（実質含意とも呼ばれる）は、論理学で一般的に使用される二項演算です。条件記号が${\displaystyle \to }$は、実質的な意味合い、公式として解釈される。${\displaystyle P\to Q}$真である場合を除き${\displaystyle P}$真実であり、${\displaystyle Q}$誤りです。

実質含意は、古典論理のすべての基本体系だけでなく、一部の非古典論理でも使用されています。数学においては正しい条件推論のモデルとして想定されており、多くのプログラミング言語のコマンドの基礎となっています。しかし、多くの論理体系では、実質含意を厳密条件や可変厳密条件などの他の演算子に置き換えています。実質含意のパラドックスや関連する問題のため、実質含意は一般的に自然言語における条件文の有効な分析方法とは考えられていません。

論理学および関連分野では、実質条件文は慣習的に中置演算子を用いて表記される。${\displaystyle \to }$( U+2192 →右向き矢印) ^{[ 1 ]}実質条件文も中置記法を用いて表記される${\displaystyle \supset }$そして${\displaystyle \Rightarrow }$( U+2283 ⊃ SUPERSET OFおよびU+21D2 ⇒右向き二重矢印)。^{[ 2 ]}接頭辞付きポーランド記法では、条件文は次のように表記されます。${\displaystyle Cpq}$条件式では${\displaystyle p\to q}$、サブフォーミュラ${\displaystyle p}$は前件と呼ばれ、${\displaystyle q}$は条件文の帰結と呼ばれます。条件文は入れ子にすることができ、前件または帰結自体が条件文になることもあります。例えば、次の式のようにです。${\displaystyle (p\to q)\to (r\to s)}$。

ペアノは、 『算術プリンキピア: 新星メソッド エクスポジタ』 (1889)の中で、次のような命題を表現しました。${\displaystyle A}$、 それから${\displaystyle B}$" として${\displaystyle A}$Ɔ${\displaystyle B}$Cの反対である記号Ɔを用いて。^{[ 3 ]}彼はまた、命題を表現した。${\displaystyle A\supset B}$として${\displaystyle A}$Ɔ${\displaystyle B}$^{[ 4 ] [ 5 ]}ヒルベルトは「 AならばB」という命題を次のように表現した。${\displaystyle A\to B}$1918年に。^{[ 1 ]}ラッセルは、彼の『プリンキピア・マテマティカ』 （1910～1913年）でペアノに倣い、「 AならばB」という命題を次のように表現した。${\displaystyle A\supset B}$ラッセルに倣って、ゲンツェンは「 AならばB」という命題を次のように表現した。${\displaystyle A\supset B}$ヘイティングは「 AならばB」という命題を次のように表現した。${\displaystyle A\supset B}$最初はそうだったが、後にそれを次のように表現するようになった${\displaystyle A\to B}$右向きの矢印で表す。ブルバキは命題「AならばB」を次のように表現した。 ${\displaystyle A\Rightarrow B}$1954年に。^{[ 6 ] [ 7 ]}

真理値表による意味論的定義では、異なる性質が示される可能性のある様々な論理体系において、構造的に同一の命題形式を検証することはできない。ここで検討する言語は、 f-含意式に限定される。

以下の（候補となる）自然演繹規則を検討してみましょう。

• 最小限の論理:自然演繹規則を含意導入に限定することによって(${\displaystyle \to }$I）および含意除去（${\displaystyle \to }$^{E) から、 [ 10 ]}最小論理 (ヨハンソンによって定義されたもの)の含意断片が得られます。^{[ 11 ]}

• 直観主義論理:偽値除去を追加することによって(${\displaystyle \bot }$E) 原則として、^{[ 10 ]}直観主義論理の含意断片が得られます。

声明${\displaystyle P\to \neg \neg P}$は（最小論理では既に）有効であり、排中律を招く逆の含意とは異なります。

• 古典論理:二重否定の除去(${\displaystyle \neg \neg }$E)も許可されており、^{[ 14 ]}システムは（完全な！）古典論理を定義します。^{[ 12 ] [ 13 ] [ 15 ]}

古典論理では、実質含意は以下を検証する。

• 輸出入：${\displaystyle P\to (Q\to R)\equiv (P\land Q)\to R}$
• 否定条件文：${\displaystyle \neg (P\to Q)\equiv P\land \neg Q}$
• または、もし:${\displaystyle P\to Q\equiv \neg P\lor Q}$
• 前件の可換性：${\displaystyle {\big (}P\to (Q\to R){\big )}\equiv {\big (}Q\to (P\to R){\big )}}$
• 左分配性：${\displaystyle {\big (}R\to (P\to Q){\big )}\equiv {\big (}(R\to P)\to (R\to Q){\big )}}$

同様に、他の接続詞の古典的な解釈では、実質的含意によって以下の含意が正当化される。

• 先行条件の強化：${\displaystyle P\to Q\models (P\land R)\to Q}$
• 推移性：${\displaystyle (P\to Q)\land (Q\to R)\models P\to R}$
• 選言的前件の簡略化：${\displaystyle (P\lor Q)\to R\models (P\to R)\land (Q\to R)}$

物質的含意を伴うトートロジーには以下が含まれる。

• 反省性：${\displaystyle \models P\to P}$
• 全体性：${\displaystyle \models (P\to Q)\lor (Q\to P)}$
• 条件付き除外中間:${\displaystyle \models (P\to Q)\lor (P\to \neg Q)}$

実質条件文は、形式言語における文接続詞である。これは、メタ言語で表現された文間の関係として一般的に扱われる論理的帰結（論理的含意または論理的帰結とも呼ばれる）の関係と混同してはならない。

実質条件と論理的帰結関係の関係は演繹定理によって与えられる。

${\displaystyle \Gamma \cup \{A\}\vdash B\;}$かつその場合に限り${\displaystyle \;\Gamma \vdash A\to B}$

これは、一連の文が${\displaystyle \Gamma }$AとBが論理的に意味するのは、${\displaystyle \Gamma }$論理的に物質条件を暗示する${\displaystyle A\to B}$。

特別な場合${\displaystyle \Gamma }$空の場合、これは以下のように簡略化されます。

${\displaystyle A\vdash B\;}$かつその場合に限り${\displaystyle \;\vdash A\to B}$

これは、Aが論理的にBを意味するのは、実質条件が満たされる場合に限る、と述べている。${\displaystyle A\to B}$これは論理学の定理である。

多くの教科書では、論理的帰結（または論理的含意）という用語は、記号との意味的帰結関係に限定して用いられている。${\displaystyle \models }$[ ^{16 ] [ 17 ]}この場合、関係は次のように^なる

${\displaystyle A\models B\;}$かつその場合に限り${\displaystyle \;\models A\to B}$

Aが論理的にBを意味するのは、実質条件が満たされる場合に限る。${\displaystyle A\to B}$これは同義反復である。

実質含意は、自然言語における条件文の使用法とは必ずしも一致しません。例えば、偽の前件を持つ実質条件文は空虚に真であるにもかかわらず、自然言語の文「8が奇数ならば、3は素数である」は通常偽と判断されます。同様に、真後件を持つ実質条件文はそれ自体は真ですが、話し手は通常、「ポケットに1ペニーあれば、パリはフランスにある」のような文を拒否します。これらの古典的な問題は、実質含意のパラドックスと呼ばれています。^{[ 18 ]}パラドックスに加えて、実質含意分析に反対するさまざまな議論がなされてきました。例えば、そのような説明では反事実条件文はすべて空虚に真になりますが、実際には偽であるものもあります。^{[ 19 ]}

20 世紀半ば、HP グライスやフランク・ジャクソンを含む多くの研究者が、実用主義の原理によって自然言語の条件文と実質条件文の不一致を説明できると提唱した。彼らの説明によれば、条件文は実質含意を表すが、グライスの格率などの会話規範と相互作用すると、追加の情報を伝えることになる。^{[ 18 ] [ 20 ]}形式意味論と言語哲学における最近の研究は、一般的に自然言語の条件文の分析として実質含意を避けている。^{[ 20 ]}特に、そのような研究は、 「 PならばQ」の真理値がPとQの真理値のみによって決定されるという意味で、自然言語の条件文が真理関数であるという仮定をしばしば拒否している。^{[ 18 ]}したがって、条件文の意味論的分析は、通常、様相論理、関連性論理、確率論、因果モデルなどの基盤に基づいて構築された代替解釈を提案している。^{[ 20 ] [ 18 ] [ 21 ]}

同様の不一致は、条件付き推論を研究する心理学者によっても観察されており、例えば、悪名高いワソン選択課題研究では、参加者の 10% 未満しか物質条件に従って推論しなかった。一部の研究者はこの結果を、参加者が規範的な推論法則に従わなかったと解釈しているが、他の研究者は、参加者が非古典的な法則に従って規範的に推論していると解釈している。^{[ 22 ] [ 23 ] [ 24 ]}

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